Galaktisen puuttuvan massan matemaattiset perusteet: Kiekko, pallo, tiheys, potentiaali ja säteittäinen skaalautuminen.
TL;DR: Puuttuvan massan ongelma ilmenee, kun galaktisten kiertokäyrien perusteella päätelty massa ylittää tähtien, kaasun ja pölyn suoraan havaitun massan. Matemaattisesti tämä edellyttää kiekon pintatiheyden, kolmiulotteisen tilavuustiheyden, gravitaatiopotentiaalin, säteittäisen kiihtyvyyden ja suljetun massan yhdistämistä.
1. Radiaalikoordinaatit ja geometria
Erotamme kaksi geometriaa:
- Kiekon geometria: näkyvä galaktinen aine jakautuu pääasiassa ohueen pyörivään kiekkoon.
- Pallomainen geometria: pimeä tai puuttuva massa mallinnetaan usein suunnilleen pallomaisena halona.
Levyn pinta-alaelementti:
\[ dA = R\,dR\,d\phi \]
Pallomainen tilavuuselementti:
\[ dV = 4\pi r^2\,dr \]
Samaa symbolia \(r\) käytetään usein galaktosentrisestä säteestä, mutta merkitys riippuu geometriasta. Levyssä \(R\) on sylinterin säde. Halossa \(r\) on yleensä pallomainen säde.
2. Näkyvä massa galaktisella kiekolla
Näkyvää kiekkoa approksimoidaan usein eksponentiaalisella pintatiheydellä:
\[ \Sigma(R)=\Sigma_0 e^{-R/R_d} \]
Kehän massa välillä \(R\) ja \(R+dR\) on:
\[ dM_{\\rm disk}=2\pi R\Sigma(R)\,dR \]
\[ dM_{\rm disk}=2\pi R\Sigma_0e^{-R/R_d}\,dR \]
Näkyvän levyn kumulatiivinen massa on siis:
\[ M_{\\rm disk}(R)=2\pi\int_0^R R’\Sigma_0e^{-R’/R_d}\,dR’ \]
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\Sigma_0R_d^2 \left[ 1-e^{-R/R_d} \left( 1+\\frac{R}{R_d} \right) \right] \]
Suurella säteellä:
\[ M_{\\rm disk}(R)\rightarrow 2\pi\Sigma_0R_d^2 \]
Näkyvän kiekon massa lähestyy äärellistä arvoa.
3. Pallon massa ja tilavuuspaino
Pallomaisen massajakauman osalta tilavuuden tiheys \(\rho(r)\) määrittää suljetun massan:
\[ M(r)=4\pi\int_0^r \rho(r’)r’^2\,dr’ \]
Käänteinen suhde on:
\[ \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dM}{dr} \]
Tämä suhde on keskeinen puuttuvan massan ongelman kannalta. Jos päätelty massa kasvaa lineaarisesti säteen myötä, vastaava pallon tiheys pienenee \(1/r^2\).
4. Dynaaminen massa ympyräliikkeestä
Ympyräliikkeessä painovoiman kiihtyvyys täyttää:
\[ \frac{v(r)^2}{r}=\frac{GM(r)}{r^2} \]
Siksi:
\[ M_{\rm dyn}(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
Tasainen kiertokäyrä:
\[ v(r)\approx v_0 \]
\[ M_{\\rm dyn}(r)\approx \frac{v_0^2}{G}r \]
Näin saadaan vakioskaalaus:
\[ M_{\\rm dyn}(r)\propto r \]
\[ \rho_{\rm dyn}(r)\propto \frac{1}{r^2} \]
5. Puuttuvan massan määritelmä
Puuttuva massa on dynaamisen massan ja näkyvän massan erotus:
\[ M_{\\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm vis}(r) \]
Eksponentiaalisen näkyvän levyn osalta:
\[ M_{\\rm miss}(r)= \frac{v(r)^2r}{G} – 2\pi\Sigma_0R_d^2 \left[ 1-e^{-r/R_d} \left( 1+\\frac{r}{R_d} \right) \right] \]
\(v(r)\approx v_0\):
\[ M_{\\rm miss}(r)\approx \frac{v_0^2}{G}r – 2\pi\Sigma_0R_d^2 \left[ 1-e^{-r/R_d} \left( 1+\\frac{r}{R_d} \right) \right] \]
Suurella säteellä kiekkotermi kyllästyy, kun taas dynaaminen termi kasvaa edelleen suunnilleen \(r\).
6. Gravitaatiopotentiaali 3D:ssä
Newtonin painovoimapotentiaali, jonka pistemäinen massa tuottaa, on:
\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]
Vastaava gravitaatiokenttä on potentiaalin radiaalinen derivaatta:
\[ g(r)=-\frac{d\Phi}{dr} \]
\[ g(r)=-\frac{GM}{r^2} \]
Tämä selittää \(1/r\) ja \(1/r^2\) välisen suhteen: paikallisen massan potentiaali laskee \(1/r\), kun taas voima tai kiihtyvyys laskee \(1/r^2\).
7. Poissonin yhtälö
Massatiheys ja gravitaatiopotentiaali liittyvät toisiinsa Poissonin yhtälön kautta:
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \]
Pallosymmetriassa tämä muuttuu seuraavasti:
\[ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left( r^2\frac{d\Phi}{dr} \right) = 4\pi G\rho(r) \]
Tämä yhtälö yhdistää kolme suureen:
\[ \rho(r) \longrightarrow M(r) \longrightarrow \Phi(r) \longrightarrow v(r) \]
8. Laajennetun 3D-tiheyden mahdollisuudet
Yleiselle 3D-tiheysjakaumalle potentiaali on:
\[ \Phi(\mathbf{x}) = -G\int \frac{\rho(\mathbf{x}’)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|} \,d^3x’ \]
Ydin \(1/|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|\) on \(1/r\) -potentiaalin matemaattinen alkuperä kolmessa ulottuvuudessa.
9. Ohuen levyn potentiaali
Ohuelle kiekolle, jonka pintatiheys on \(\Sigma(R’)\), kiekon tasossa oleva gravitaatiopotentiaali voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\[ \Phi(R) = -G \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \frac{\Sigma(R’)R’\,dR’\,d\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
Säteen \(R\) päässä olevan kenttäpisteen ja säteen \(R’\) päässä olevan lähdepisteen välinen etäisyys on:
\[ d(R,R’,\phi) = \sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi} \]
Levyn säteittäinen kiihtyvyys saadaan differentioimalla potentiaali:
\[ g_R(R)=-\frac{\partial \Phi}{\partial R} \]
Pyörimisnopeus seuraa:
\[ v^2(R)=R\,|g_R(R)| \]
10. 3D-vuorovaikutuksen projisointi levylle
Jos vuorovaikutus etenee kolmiulotteisesti mutta arvioidaan levytasossa, säteittäinen projektio tuo mukanaan geometrisen tekijän. Kun levyn kaksi pistettä ovat etäisyydellä \(d\) toisistaan, säteittäinen projektiokerroin on:
\[ \cos\theta = \frac{R-R’\cos\phi}{d(R,R’,\phi)}{d(R,R’,\phi)} \]
Näin ollen yleinen 3D-säteisydän \(K(d)\), joka projisoidaan levylle, näyttää seuraavalta:
\[ K_{\\rm disk}(R,R’,\phi) = K(d) \frac{R-R’\cos\phi}{d} \]
Esimerkiksi Newtonin voiman kaltaisella ytimellä on:
\[ K(d)\propto \frac{1}{d^2} \]
\[ K_{\\rm disk}\propto \frac{R-R’\cos\phi}{d^3} \]
Eksponentiaalinen 3D-ydin voidaan kirjoittaa seuraavasti:
\[ K(d)\propto e^{-d/\lambda} \]
\[ K_{\\rm disk}\propto e^{-d/\lambda} \frac{R-R’\cos\phi}{d} \]
11. Eksponentiaaliset ytimet kolmessa ulottuvuudessa
Puhtaasti eksponentiaalinen säteittäinen tekijä on muotoa:
\[ e^{-r/\lambda} \]
Kolmiulotteisessa kenttäteoriassa eksponentiaalisesti varjostettu potentiaali esiintyy usein Yukawan kaltaisessa muodossa:
\[ \Phi_Y(r)\propto -\frac{e^{-r/\lambda}}{r} \]
Siihen liittyvä säteittäinen voima sisältää sekä \(1/r^2\) että eksponentiaalisia termejä:
\[ g_Y(r) = -\frac{d}{dr} \left( \frac{e^{-r/\lambda}}{r} \right) \]
\[ g_Y(r)\propto e^{-r/\lambda} \left( \frac{1}{r^2} + \frac{1}{\lambda r} \right) \]
Tämä osoittaa, miksi eksponentiaalinen säteittäinen käyttäytyminen 3D:ssä ei ole riippumaton \(1/r\)-geometriasta. Eksponentiaali ohjaa vaimenemista, kun taas \(1/r\) ja \(1/r^2\) johtuvat kolmiulotteisesta leviämisestä.
12. Säteittäiset skaalauslait
Puuttuvan massan ongelma on vahvasti sidoksissa säteittäiseen skaalautumiseen. Useita tärkeitä säteittäisiä lakeja esiintyy toistuvasti:
| Määrä | Tyypillinen skaalaus | Merkitys |
|---|---|---|
| Pistemassan potentiaali | \(\Phi(r)\sim 1/r\) | Painovoiman 3D Green-funktio |
| Pistemassan voima | \(g(r)\sim 1/r^2\) | Derivaatta \(1/r\) |
| Tasainen pyörimisnopeus | \(v(r)\sim vakio\) | Havaittu ulommissa galaktisissa kiekoissa |
| Dynaaminen massa | \(M(r)\sim r\)) | Tasainen pyöriminen edellyttää |
| Halon tiheys | \(\rho(r)\sim 1/r^2\) | Antaa \(M(r)\sim r\) |
| Eksponentiaalinen levy | \(\Sigma(R)\sim e^{-R/R_d}\)) | Näkyvä kiekko himmenee nopeasti |
| Seulottu 3D-potentiaali | \(\Phi(r)\sim e^{-r/\lambda}/r\)) | Eksponentiaalinen vaimennus plus 3D-levitys |
13. Tiheydestä kiertokäyrään
Pallomainen halo, jonka tiheys on:
\[ \rho(r)\propto \frac{1}{r^2} \]
suljettu massa on:
\[ M(r)=4\pi\int_0^r \rho(r’)r’^2dr’ \]
\[ M(r)\propto r \propto r \]
Sitten:
\[ v^2(r)=\frac{GM(r)}{r} \]
\[ v^2(r)\lähes vakio \]
\[ v(r)\approx vakio \]
Tämä on matemaattinen silta \(1/r^2\) halotiheyden ja tasaisen galaktisen kiertokäyrän välillä.
14. Kiekon massasta puuttuvaan massaan
Näkyvän kiekon massa kasvaa aluksi nopeasti ja kyllästyy sitten:
\[ M_{\\rm disk}(R)\rightarrow M_d \]
Tasaisesta pyörimisliikkeestä johdettu dynaaminen massa kasvaa jatkuvasti:
\[ M_{\\rm dyn}(r)\propto r \]
Näin ollen puuttuva massa käyttäytyy suunnilleen seuraavasti:
\[ M_{\\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm disk}(r) \]
\[ M_{\rm miss}(r)\approx \frac{v_0^2}{G}r-M_d \]
Riittävän suurella säteellä:
\[ M_{\\rm miss}(r)\sim r \]
\[ \rho_{\rm miss}(r)\sim \frac{1}{r^2} \]
15. Matemaattinen varoitus: levy ja pallo eivät ole keskenään vaihdettavissa.
Yhtälö
\[ M(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
on tarkka pallosymmetrian osalta. Litteälle levylle on laskettava potentiaali integroimalla se levyn yli ja johdettava sitten säteittäinen kiihtyvyys. Pallomaista lauseketta käytetään usein tehokkaana approksimaationa, erityisesti kun keskustellaan massasta, joka tarvitaan tietyn pyörimisliikkeen tukemiseen.
16. Keskeisten yhtälöiden yhteenveto
Levyn pintatiheys:
\[ \Sigma(R)=\Sigma_0e^{-R/R_d} \]
Levyn massaelementti:
\[ dM_{\\rm disk}=2\pi R\Sigma(R)dR \]
Näkyvän levyn massa:
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\Sigma_0R_d^2 \left[ 1-e^{-R/R_d} \left( 1+\\frac{R}{R_d} \right) \right] \]
Pallon tilavuusmassa:
\[ M(r)=4\pi\int_0^r\rho(r’)r’^2dr’ \]
Tiheys suljetusta massasta:
\[ \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dM}{dr} \]
Dynaaminen massa:
\[ M_{\rm dyn}(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
Puuttuva massa:
\[ M_{\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm vis}(r)) \]
Newtonin potentiaali:
\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]
Poissonin yhtälö:
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \]
3D-potentiaaliintegraali:
\[ \Phi(\mathbf{x}) = -G\int \frac{\rho(\mathbf{x}’)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|} d^3x’ \]
Ohuen levyn potentiaali:
\[ \Phi(R) = -G \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \frac{\Sigma(R’)R’dR’d\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
Projisoitu säteittäinen ydin:
\[ \cos\theta= \frac{R-R’\cos\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
Eksponentiaalinen 3D-seulottu potentiaali:
\[ \Phi_Y(r)\propto -\frac{e^{-r/\lambda}}{r} \]
Päätelmä
Puuttuvan massan ongelma on matemaattinen epäsuhta kahden säteittäisen käyttäytymisen välillä. Näkyvä kiekko noudattaa eksponentiaalista pintatiheyttä ja saavuttaa äärellisen kumulatiivisen massan. Lähestulkoon tasaisista kiertokäyristä päätelty dynaaminen massa kasvaa suunnilleen lineaarisesti säteen mukana. Jos tämä tulkitaan pallomaiseksi haloksi, se vastaa tiheyttä, joka pienenee suunnilleen \(1/r^2\). Levyn integroinnin, pallokuorien, gravitaatiopotentiaalin ja säteittäisprojektioiden yhtälöt tarjoavat matemaattisen kielen, jota tarvitaan tämän epäsuhdan analysoimiseksi.