Fondements mathématiques de la masse manquante galactique : Disque, sphère, densité, potentiel et échelle radiale
TL;DR : Le problème de la masse manquante apparaît lorsque la masse déduite des courbes de rotation galactiques dépasse la masse directement observée dans les étoiles, le gaz et la poussière. Mathématiquement, il faut pour cela relier la densité de surface sur un disque, la densité de volume en trois dimensions, le potentiel gravitationnel, l’accélération radiale et la masse enfermée.
1. Coordonnées radiales et géométrie
Nous distinguons deux géométries :
- Géométrie du disque : la matière galactique visible est principalement distribuée dans un mince disque en rotation.
- Géométrie sphérique : la masse sombre ou manquante est souvent modélisée comme un halo à peu près sphérique.
Élément de la surface du disque :
\[ dA = R\N,dR\N,d\Nphi \]
Élément de volume sphérique :
\[ dV = 4\pi r^2\,dr \]
Le même symbole \(r\) est souvent utilisé pour le rayon galactocentrique, mais la signification dépend de la géométrie. Dans un disque, \(R\) est un rayon cylindrique. Dans un halo, \(r\) est généralement un rayon sphérique.
2. Masse visible sur un disque galactique
Le disque visible est souvent approximé par une densité de surface exponentielle :
\[ \Sigma(R)=\Sigma_0 e^{-R/R_d} \]
La masse d’un anneau compris entre \(R\) et \(R+d\) est :
\[ dM_{\rm disk}=2\pi R\Sigma(R)\,dR \]
\[ dM_{\rm disk}=2\pi R\Sigma_0e^{-R/R_d}\N-, dR \]
La masse cumulée du disque visible est donc de
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\int_0^R R’\Sigma_0e^{-R’/R_d}\N dR’ \]
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\Sigma_0R_d^2 \N- gauche[ 1-e^{-R/R_d} \left( 1+\frac{R}{R_d} \right) \N- \N- \N- \N- \N- \N] \]
A grand rayon :
\[ M_{\rm disk}(R)\rightarrow 2\\\Sigma_0R_d^2 \]
La masse du disque visible approche une valeur finie.
3. Masse volumique et densité volumique d’une sphère
Pour une distribution de masse sphérique, la densité volumique \(\rho(r)\) détermine la masse enfermée :
\[ M(r)=4\pi\int_0^r \rho(r’)r’^2\,dr’ \]
La relation inverse est la suivante :
\[ \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dM}{dr} \]
Cette relation est au cœur du problème de la masse manquante. Si la masse déduite croît linéairement avec le rayon, la densité sphérique correspondante diminue comme \(1/r^2\).
4. Masse dynamique du mouvement circulaire
Pour un mouvement circulaire, l’accélération gravitationnelle satisfait :
\[ \frac{v(r)^2}{r}=\frac{GM(r)}{r^2} \]
C’est pourquoi :
\[ M_{\rm dyn}(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
Pour une courbe de rotation plate :
\[ v(r)\Napprox v_0 \]
\[ M_{\rm dyn}(r)\approx \frac{v_0^2}{G}r \]
On obtient ainsi l’échelle standard :
\[ M_{\rm dyn}(r)\propto r \]
\[ \rho_{\rm dyn}(r)\propto \frac{1}{r^2} \]
5. Définition de la masse manquante
La masse manquante est la différence entre la masse dynamique et la masse visible :
\[ M_{\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm vis}(r) \]
Pour un disque visible exponentiel :
\[ M_{{rm miss}(r)= \frac{v(r)^2r}{G} – 2\pi\Sigma_0R_d^2 \n- gauche[ 1-e^{-r/R_d} \left( 1+\frac{r}{R_d} \right) \N- \N- \N- \N- \N- \N] \]
Pour \(v(r)\approx v_0\) :
\[ M_{\rm miss}(r)\approx \frac{v_0^2}{G}r – 2\pi\Sigma_0R_d^2 \La gauche[ 1-e^{-r/R_d} \left( 1+\frac{r}{R_d} \right) \N- \N- \N- \N- \N- \N] \]
A grand rayon, le terme disque sature, tandis que le terme dynamique continue à croître approximativement comme \(r\).
6. Potentiel gravitationnel en 3D
Le potentiel gravitationnel newtonien généré par une masse ponctuelle est :
\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]
Le champ gravitationnel correspondant est la dérivée radiale du potentiel :
\[ g(r)=-\frac{d\Phi}{dr} \]
\[ g(r)=-\frac{GM}{r^2} \]
Cela explique la relation entre \(1/r\) et \(1/r^2\) : le potentiel d’une masse localisée diminue comme \(1/r\), tandis que la force ou l’accélération diminue comme \(1/r^2\).
7. Équation de Poisson
La densité de masse et le potentiel gravitationnel sont liés par l’équation de Poisson :
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \]
Dans la symétrie sphérique, cela devient :
\[ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left( r^2\frac{d\Phi}{dr} \Ndroite) = 4\pi G\rho(r) \]
Cette équation met en relation trois quantités :
\[ \rho(r) \longrightarrow M(r) \longrightarrow \NPhi(r) \longrightarrow v(r) \]
8. Potentiel d’une densité 3D étendue
Pour une distribution générale de densité en 3D, le potentiel est le suivant :
\[ \Phi(\mathbf{x}) = -G\int \frac{\rho(\mathbf{x}’)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|} \N- d^3x’ \]
Le noyau \(1/|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|\) est l’origine mathématique du potentiel \(1/r\) en trois dimensions.
9. Potentiel d’un disque mince
Pour un disque mince avec une densité de surface \(\Sigma(R’)\), le potentiel gravitationnel dans le plan du disque peut être écrit comme suit :
\[ \NPhi(R) = -G \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \frac{\Sigma(R’)R’\N,dR’\N,d\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
La distance entre un point de champ de rayon \(R\) et un point source de rayon \(R’\) est :
\[ d(R,R’,\phi) = \sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi} \]
L’accélération radiale dans le disque est obtenue en différenciant le potentiel :
\[ g_R(R)=-\frac{\partial \Phi}{\partial R} \]
La vitesse de rotation découle de :
\[ v^2(R)=R\\,|g_R(R)| \]
10. Projection d’une interaction 3D sur le disque
Si une interaction se propage en trois dimensions mais est évaluée dans le plan du disque, la projection radiale introduit un facteur géométrique. Pour deux points du disque séparés par la distance \(d\), le facteur de projection radiale est :
\[ \cos\theta = \frac{R-R’\cos\phi}{d(R,R’,\phi)} \]
Ainsi, un noyau radial générique 3D \(K(d)\), projeté sur le disque, se présente comme suit :
\[ K_{\rm disk}(R,R’,\phi) = K(d) \frac{R-R’\cos\phi}{d} \]
Par exemple, un noyau semblable à une force newtonienne a :
\[ K(d)\propto \frac{1}{d^2} \]
\[ K_{\rm disk}\propto \frac{R-R’\cos\phi}{d^3} \]
Un noyau exponentiel 3D peut être écrit comme suit :
\[ K(d)\propto e^{-d/\lambda} \]
\[ K_{\rm disk}\propto e^{-d/\lambda} \frac{R-R’\cos\phi}{d} \]
11. Noyaux exponentiels en trois dimensions
Un facteur radial purement exponentiel a la forme suivante :
\[ e^{-r/\lambda} \]
Dans la théorie des champs tridimensionnelle, un potentiel à écran exponentiel apparaît souvent sous une forme semblable à celle de Yukawa :
\[ \Phi_Y(r)\propto -\frac{e^{-r/\lambda}}{r} \]
La force radiale associée contient à la fois des termes \(1/r^2\) et exponentiels :
\[ g_Y(r) = -\frac{d}{dr} \left( \frac{e^{-r/\lambda}}{r} \Ndroite) \]
\[ g_Y(r)\propto e^{-r/\lambda} \left( \frac{1}{r^2} + \frac{1}{\lambda r} \Ndroite) \]
Cela montre pourquoi le comportement radial exponentiel en 3D n’est pas indépendant de la géométrie de \(1/r\). L’exponentielle contrôle l’atténuation, tandis que \(1/r\) et \(1/r^2\) proviennent de l’étalement tridimensionnel.
12. Lois d’échelle radiale
Le problème de la masse manquante est fortement lié à l’échelle radiale. Plusieurs lois radiales importantes apparaissent de manière répétée :
| Quantité | Échelle typique | Signification |
|---|---|---|
| Potentiel de la masse ponctuelle | \(\Phi(r)\sim 1/r\) | Fonction de Green 3D de la gravité |
| Force de la masse ponctuelle | \(g(r)\sim 1/r^2\) | Dérivée de \(1/r\) |
| Vitesse de rotation à plat | \(v(r)\sim constante\) | Observée dans les disques galactiques externes |
| Masse dynamique | \(M(r)\sim r\) | Nécessaire à la rotation plate |
| Densité du halo | \N(\Nrho(r)\Nsim 1/r^2\N) | Donne \(M(r)\sim r\) |
| Disque exponentiel | \(\Sigma(R)\sim e^{-R/R_d}\) | Le disque visible s’estompe rapidement |
| Potentiel 3D criblé | \N(\NPhi(r)\Nsim e^{-r/\lambda}/r\N) | Atténuation exponentielle plus étalement 3D |
13. De la densité à la courbe de rotation
Pour un halo sphérique de densité :
\[ \rho(r)\propto \frac{1}{r^2} \]
la masse enfermée est :
\[ M(r)=4\pi\int_0^r \rho(r’)r’^2dr’ \]
\[ M(r)\propto r \]
Ensuite :
\[ v^2(r)=\frac{GM(r)}{r} \]
\[ v^2(r)\approx constant \]
\[ v(r)\Nconstante approximative \]
C’est le pont mathématique entre une densité de halo de \(1/r^2\) et une courbe de rotation galactique plate.
14. De la masse du disque à la masse manquante
La masse du disque visible croît rapidement au début, puis sature :
\[ M_{\rm disk}(R)\N-rightarrow M_d \]
La masse dynamique déduite d’une courbe de rotation plate ne cesse de croître :
\[ M_{\rm dyn}(r)\propto r \]
Par conséquent, la masse manquante se comporte approximativement comme suit
\[ M_{\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm disk}(r) \]
\[ M_{\rm miss}(r)\approx \frac{v_0^2}{G}r-M_d \]
Pour un rayon suffisamment grand :
\[ M_{\rm miss}(r)\sim r \]
\[ \rho_{\rm miss}(r)\sim \frac{1}{r^2} \]
15. Avertissement mathématique : disque et sphère ne sont pas interchangeables
L’équation
\[ M(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
est exacte pour la symétrie sphérique. Pour un disque aplati, il faut calculer le potentiel en l’intégrant sur le disque, puis en déduire l’accélération radiale. L’expression sphérique est souvent utilisée comme une approximation efficace, notamment lorsqu’il s’agit de déterminer la masse nécessaire pour soutenir une courbe de rotation donnée.
16. Résumé des équations clés
Densité de la surface du disque :
\[ \Sigma(R)=\Sigma_0e^{-R/R_d} \]
Élément de masse du disque :
\[ dM_{\rm disque}=2\pi R\Sigma(R)dR \]
Masse du disque visible :
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\Sigma_0R_d^2 \La gauche[ 1-e^{-R/R_d} \left( 1+\frac{R}{R_d} \right) \N- \N- \N- \N- \N- \N] \]
Masse volumique sphérique :
\[ M(r)=4\pi\int_0^r\rho(r’)r’^2dr’ \]
Densité de la masse enfermée :
\[ \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dM}{dr} \]
Masse dynamique :
\[ M_{\rm dyn}(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
Masse manquante :
\[ M_{\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm vis}(r) \]
Potentiel newtonien :
\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]
Équation de Poisson :
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \]
Intégrale de potentiel 3D :
\[ \NPhi(\Nmathbf{x}) = -G\int \frac{\rho(\mathbf{x}’)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|} d^3x’ \]
Potentiel de disque mince :
\[ \NPhi(R) = -G \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \frac{\Sigma(R’)R’dR’d\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
Noyau radial projeté :
\[ \cos\theta= \frac{R-R’\cos\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
Potentiel criblé exponentiel 3D :
\[ \Phi_Y(r)\propto -\frac{e^{-r/\lambda}}{r} \]
Conclusion
Le problème de la masse manquante est une incohérence mathématique entre deux comportements radiaux. Le disque visible suit une densité de surface exponentielle et atteint une masse cumulée finie. La masse dynamique déduite des courbes de rotation approximativement plates croît de façon à peu près linéaire avec le rayon. Si on l’interprète comme un halo sphérique, cela correspond à une densité diminuant approximativement comme \(1/r^2\). Les équations d’intégration du disque, des coquilles sphériques, du potentiel gravitationnel et de la projection radiale fournissent le langage mathématique nécessaire à l’analyse de ce décalage.