Landasan Matematis Massa Galaksi yang Hilang: Piringan, Bola, Kerapatan, Potensi, dan Penskalaan Radial
TL; DR: Masalah massa yang hilang muncul ketika massa yang disimpulkan dari kurva rotasi galaksi melebihi massa yang diamati secara langsung pada bintang, gas, dan debu. Secara matematis, hal ini membutuhkan hubungan antara kerapatan permukaan pada piringan, kerapatan volume dalam tiga dimensi, potensial gravitasi, percepatan radial, dan massa yang tertutup.
1. Koordinat dan geometri radial
Kami membedakan dua geometri:
- Geometri piringan: materi galaksi yang tampak sebagian besar terdistribusi dalam piringan tipis yang berputar.
- Geometri bola: massa gelap atau massa yang hilang sering kali dimodelkan sebagai halo yang berbentuk bola.
Elemen area disk:
\[ dA = R \, dR \, d\phi \]
Elemen volume bola:
\[ dV = 4\pi r^2\,dr \]
Simbol \(r\) yang sama sering digunakan untuk jari-jari galaksi, tetapi maknanya tergantung pada geometrinya. Pada sebuah cakram, \(R\) adalah radius silinder. Pada sebuah lingkaran, \(r\) biasanya merupakan radius bola.
2. Massa yang tampak pada piringan galaksi
Piringan yang terlihat sering didekati dengan densitas permukaan eksponensial:
\[ \Sigma (R) = \Sigma_0 e^{-R/R_d} \]
Massa anulus antara \(R\) dan \(R+dR\) adalah:
\[ dM_{\rm disk}=2\pi R\Sigma(R)\,dR \]
\[ dM_{\rm disk}=2\pi R\Sigma_0e^{-R/R_d}\,dR \]
Oleh karena itu, massa piringan yang terlihat secara kumulatif:
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\int_0^R R’\Sigma_0e^{-R’/R_d}\,dR’ \]
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\Sigma_0R_d^2 \[ kiri[ 1-e^{-R/R_d} \kiri( 1+\frac{R}{R_d} \ kanan) \right] \]
Pada radius besar:
\[ M_{\rm disk}(R)\ panah kanan 2\pi\Sigma_0R_d^2 \]
Massa piringan yang terlihat mendekati nilai yang terbatas.
3. Kepadatan massa dan volume bola
Untuk distribusi massa bola, densitas volume \(\rho(r)\) menentukan massa yang tertutup:
\[ M(r)=4\pi\int_0^r \rho(r’)r’^2\,dr’ \]
Hubungan kebalikannya adalah:
\[ \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dM}{dr} \]
Hubungan ini merupakan inti dari masalah massa yang hilang. Jika massa yang disimpulkan bertambah secara linier dengan jari-jari, maka kerapatan bola yang sesuai akan berkurang sebesar \(1/r^2\).
4. Massa dinamis dari gerakan melingkar
Untuk gerakan melingkar, percepatan gravitasi memenuhi:
\[ \frac{v(r)^2}{r}=\frac{GM(r)}{r^2} \]
Oleh karena itu:
\[ M_{\rm dyn}(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
Untuk kurva rotasi datar:
\[ v (r) \ kira-kira v_0 \]
\[ M_{\rm dyn}(r)\approx \frac{v_0^2}{G}r \]
Ini memberikan penskalaan standar:
\[ M_{\rm dyn}(r)\propto r \]
\[ \rho_{\rm dyn}(r)\propto \frac{1}{r^2} \]
5. Definisi massa yang hilang
Massa yang hilang adalah perbedaan antara massa dinamis dan massa yang terlihat:
\[ M_{\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm vis}(r) \]
Untuk disk yang terlihat eksponensial:
\[ M_{\rm miss}(r)= \frac{v(r)^2r}{G} – 2\pi\Sigma_0R_d^2 \kiri[ 1-e^{-r/R_d} \left( 1+\frac{r}{R_d} \right) \right] \]
Untuk \(v(r)\pendekatan v_0\):
\[ M_{\rm miss}(r)\approx \frac{v_0^2}{G}r – 2\pi\Sigma_0R_d^2 \kiri[ 1-e^{-r/R_d} \left( 1+\frac{r}{R_d} \right) \right] \]
Pada radius yang besar, istilah disk jenuh, sementara istilah dinamis terus bertambah kira-kira sebesar \(r\).
6. Potensi gravitasi dalam 3D
Potensial gravitasi Newton yang dihasilkan oleh massa titik adalah:
\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]
Medan gravitasi yang sesuai adalah turunan radial dari potensial:
\[ g(r)=-\frac{d\Phi}{dr} \]
\[ g(r)=-\frac{GM}{r^2} \]
Hal ini menjelaskan hubungan antara \(1/r\) dan \(1/r^2\): potensi massa yang terlokalisasi jatuh sebagai \(1/r\), sedangkan gaya atau akselerasi jatuh sebagai \(1/r^2\).
7. Persamaan Poisson
Kerapatan massa dan potensi gravitasi dihubungkan melalui persamaan Poisson:
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \]
Dalam simetri bola, hal ini menjadi:
\[ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \kiri( r^2\frac{d\Phi}{dr} \right) = 4\pi G\rho(r) \]
Persamaan ini menghubungkan tiga kuantitas:
\[ \rho(r) \ longrightarrow M (r) \longrightarrow \phi (r) \Panah kanan atas v(r) \]
8. Potensi densitas 3D yang diperluas
Untuk distribusi densitas 3D secara umum, potensinya adalah:
\[ \Phi(\mathbf{x}) = -G\int \frac{\rho(\mathbf{x}’)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|} \,d^3x’ \]
Kernel \(1/||mathbf{x}-\mathbf{x}’|\) adalah asal matematis dari potensial \(1/r\) dalam tiga dimensi.
9. Potensi dari sebuah cakram tipis
Untuk piringan tipis dengan kerapatan permukaan \(\Sigma (R’)), potensial gravitasi pada bidang piringan dapat dituliskan sebagai:
\[ \Phi (R) = -G \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \frac{\Sigma(R’)R’\,dR’\,d\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
Jarak antara titik medan pada radius \(R\) dan titik sumber pada radius \(R’\) adalah:
\[ d(R,R’,\phi) = \sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi} \]
Akselerasi radial dalam piringan diperoleh dengan membedakan potensialnya:
\[ g_R (R) = -\frac{\parsial \Phi}{\parsial R} \]
Kecepatan rotasi mengikuti dari:
\[ v^2 (R) = R \, g_R (R) \]
10. Proyeksi interaksi 3D pada disk
Jika interaksi merambat dalam tiga dimensi tetapi dievaluasi pada bidang piringan, proyeksi radial memperkenalkan faktor geometris. Untuk dua titik pada piringan yang dipisahkan oleh jarak \(d\), faktor proyeksi radial adalah:
\[ \cos\theta = \frac{R-R’\cos\phi}{d(R,R’,\phi)} \]
Dengan demikian, kernel radial 3D generik \(K(d)\), yang diproyeksikan ke disk, muncul sebagai:
\[ K_{\rm disk}(R,R’,\phi) = K (d) \frac{R-R’\cos\phi}{d} \]
Sebagai contoh, kernel seperti gaya Newton yang dimiliki oleh Newton:
\[ K(d)\propto \frac{1}{d^2} \]
\[ K_{\rm disk}\propto \frac{R-R’\cos\phi}{d^3} \]
Kernel 3D eksponensial dapat ditulis sebagai:
\[ K(d)\propto e^{-d/\lambda} \]
\[ K_{\rm disk}\propto e^{-d/\lambda} \frac{R-R’\cos\phi}{d} \]
11. Kernel eksponensial dalam tiga dimensi
Faktor radial eksponensial murni memiliki bentuk:
\[ e^{-r/\lambda} \]
Dalam teori medan tiga dimensi, potensi yang disaring secara eksponensial sering muncul dalam bentuk seperti Yukawa:
\[ \Phi_Y(r)\propto -\frac{e^{-r/\lambda}}{r} \]
Gaya radial yang terkait mengandung suku \(1/r^2\) dan eksponensial:
\[ g_Y(r) = -\frac{d}{dr} \ kiri( \frac{e^{-r/\lambda}}{r} \right( \frac{e^{-r/\lambda}}{r}) \]
\[ g_Y(r)\propto e^{-r/\lambda} \kiri( \frac{1}{r^2} + \frac{1}{\lambda r} \ kanan) \]
Hal ini menunjukkan, mengapa perilaku radial eksponensial dalam 3D tidak bergantung pada geometri \(1/r\). Eksponensial mengontrol pelemahan, sedangkan \(1/r\) dan \(1/r^2\) muncul dari penyebaran tiga dimensi.
12. Hukum penskalaan radial
Masalah massa yang hilang sangat terkait dengan penskalaan radial. Beberapa hukum radial yang penting muncul berulang kali:
| Kuantitas | Penskalaan yang khas | Arti |
|---|---|---|
| Potensi massa titik | \(\Phi (r) \sim 1/r\) | Fungsi gravitasi hijau 3D |
| Gaya massa titik | \(g(r) \sim 1/r^2\) | Turunan dari \(1/r\) |
| Kecepatan rotasi datar | \(v (r) \sim konstan \) | Teramati di cakram galaksi luar |
| Massa dinamis | \(M (r) \sim r \) | Diperlukan oleh rotasi datar |
| Kepadatan Halo | \(\rho (r) \sim 1/r^2\) | Memberikan \(M (r) \sim r \) |
| Disk eksponensial | \(\Sigma (R) \sim e^{-R / R_d}\) | Disk yang terlihat memudar dengan cepat |
| Potensi 3D yang disaring | \(\Phi(r)\sim e^{-r/\lambda}/r\) | Atenuasi eksponensial ditambah penyebaran 3D |
13. Dari kurva densitas hingga rotasi
Untuk lingkaran cahaya bulat dengan kepadatan:
\[ \rho(r)\propto \frac{1}{r^2} \]
massa yang tertutup adalah:
\[ M(r)=4\pi\int_0^r \rho(r’)r’^2dr’ \]
\[ M(r)\propto r \]
Kalau begitu:
\[ v^2(r)=\frac{GM(r)}{r} \]
\[ v^2 (r) \ perkiraan konstanta \]
\[ v (r) \ perkiraan konstan \]
Ini adalah jembatan matematis antara kerapatan halo \(1/r^2\) dan kurva rotasi galaksi yang datar.
14. Dari massa cakram ke massa yang hilang
Massa cakram yang terlihat, pada awalnya tumbuh dengan cepat dan kemudian jenuh:
\[ M_{\rm disk}(R)\ panah kanan M_d \]
Massa dinamis yang disimpulkan dari kurva rotasi datar terus bertambah:
\[ M_{\rm dyn}(r)\propto r \]
Oleh karena itu, massa yang hilang berperilaku kira-kira seperti:
\[ M_{\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm disk}(r) \]
\[ M_{\rm miss}(r)\approx \frac{v_0^2}{G}r-M_d \]
Pada radius yang cukup besar:
\[ M_{\rm miss}(r)\sim r \]
\[ \rho_{\rm miss}(r)\sim \frac{1}{r^2} \]
15. Peringatan matematis: disk dan bola tidak dapat dipertukarkan
Persamaan
\[ M(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
tepat untuk simetri bola. Untuk piringan yang rata, kita harus menghitung potensi dengan mengintegrasikannya pada piringan dan kemudian mendapatkan percepatan radial. Ekspresi bola sering digunakan sebagai perkiraan yang efektif, terutama ketika membahas massa yang dibutuhkan untuk mendukung kurva rotasi yang diberikan.
16. Ringkasan persamaan utama
Kepadatan permukaan disk:
\[ \Sigma(R)=\Sigma_0e^{-R/R_d} \]
Elemen massa disk:
\[ dM_{\rm disk}=2\pi R\Sigma (R) dR \]
Massa disk yang terlihat:
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\Sigma_0R_d^2 \ Kiri[ 1-e^{-R/R_d} \ kiri( 1+\frac{R}{R_d} \ kanan) \right] \]
Massa volume bola:
\[ M (r) = 4\pi\int_0^r\rho(r’)r’^2dr’ \]
Massa jenis dari massa tertutup:
\[ \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dM}{dr} \]
Massa dinamis:
\[ M_{\rm dyn}(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
Massa yang hilang:
\[ M_{\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm vis}(r) \]
Potensi Newton:
\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]
Persamaan Poisson:
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \]
Integral potensial 3D:
\[ \Phi(\mathbf{x}) = -G\int \frac{\rho(\mathbf{x}’)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|} d^3x’ \]
Potensi disk tipis:
\[ \Phi (R) = -G \int_0^\infty \int_0^{2\pi} \frac{\Sigma(R’)R’dR’d\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
Kernel radial yang diproyeksikan:
\[ \cos\theta= \frac{R-R’\cos\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
Potensi yang disaring 3D eksponensial:
\[ \Phi_Y(r)\propto -\frac{e^{-r/\lambda}}{r} \]
Kesimpulan
Masalah massa yang hilang adalah ketidakcocokan matematis antara dua perilaku radial. Piringan yang terlihat mengikuti kerapatan permukaan eksponensial dan mencapai massa kumulatif yang terbatas. Massa dinamis yang disimpulkan dari kurva rotasi yang kira-kira datar tumbuh secara linier dengan jari-jari. Jika ditafsirkan sebagai lingkaran cahaya bola, ini sesuai dengan penurunan kerapatan kira-kira sebesar \(1/r^2\). Persamaan integrasi cakram, cangkang bola, potensial gravitasi, dan proyeksi radial menyediakan bahasa matematika yang diperlukan untuk menganalisis ketidakcocokan ini.