银河系缺失质量的数学基础：星盘、球体、密度、势能和径向缩放
简要说明：当从星系旋转曲线推断出的质量超过直接观测到的恒星、气体和尘埃的质量时，就会出现质量缺失问题。在数学上，这需要将圆盘的表面密度、三维空间的体积密度、重力势能、径向速度和封闭质量联系起来。
1.径向坐标和几何
我们将其分为两种几何形状：
- 盘状几何：可见银河物质主要分布在一个薄薄的旋转盘中。
- 球形几何： 暗质量或缺失质量通常被模拟为大致球形的光环。
磁盘区域元素：
\[ dA = R\,dR\,d\phi \]
球形体积元素
\[ dV = 4\pi r^2\,dr \]
同样的符号\(r\)也经常被用来表示银河系的半径，但其含义取决于几何形状。在圆盘中，\(R\)是圆柱半径。在光环中，\(r\) 通常是球形半径。
2.星系盘上可见的质量
可见磁盘通常用指数表面密度近似表示：
\[ \Sigma(R)=\Sigma_0 e^{-R/R_d} \]
介于（R）和（R+dR）之间的环面的质量为：
\[ dM_{\rm disk}=2\pi R\Sigma(R)\,dR \]
\[ dM_{rm disk}=2\pi R\Sigma_0e^{-R/R_d}\,dR \]
因此，可见磁盘的累积质量为
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\int_0^R R’\Sigma_0e^{-R’/R_d}\,dR’ \]
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\Sigma_0R_d^2 \左[ 1-e^{-R/R_d} \left( 1+frac{R}{R_d} \（right) \（右） \]
半径较大：
\[ M_{\rm disk}(R)\rightarrow 2\pi\Sigma_0R_d^2 \]
可见磁盘质量接近有限值。
3.球体质量和体积密度
对于球形质量分布，体积密度（\rho(r)\）决定了所包围的质量：
\[ M(r)=4\pi\int_0^r \rho(r’)r’^2\,dr’ \]
反比关系是
\[ \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dM}{dr} \]
这一关系是质量缺失问题的核心。如果推断出的质量随半径线性增长，那么相应的球形密度就会以（1/r^2）的形式减小。
4.圆周运动的动力质量
对于圆周运动，重力加速度满足
\[ \frac{v(r)^2}{r}=\frac{GM(r)}{r^2} \]
因此
\[ M_{\rm dyn}(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
对于平坦的旋转曲线：
\[ v(r)\approx v_0 \]
\[ M_{\rm dyn}(r)\approx rafrac{v_0^2}{G}r \]
这就是标准比例：
\[ M_{\rm dyn}(r)\propto r \]
\[ \rho_{rm dyn}(r)\propto \frac{1}{r^2} \]
5.缺失质量的定义
缺失的质量是动态质量和可见质量之间的差值：
\[ M_{\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm vis}(r) \]
对于指数可见磁盘来说
\[ M_{\rm miss}(r)= \frac{v(r)^2r}{G} – 2pi\Sigma_0R_d^2 \左 1-e^{-r/R_d} \left( 1+frac{r}{R_d} \right) \（右） \]
For （v(r)approx v_0\)：
\[ M_{\rm miss}(r)/approx \frac{v_0^2}{G}r – 2pi\Sigma_0R_d^2 \左 1-e^{-r/R_d} \left( 1+frac{r}{R_d} \right) \（右） \]
在大半径时，圆盘项饱和，而动力学项继续增长，近似于 \（r\）。
6.三维引力势
点质量产生的牛顿引力势为
\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]
相应的引力场是势的径向导数：
\[ g(r)=-\frac{d\Phi}{dr} \]
\[ g(r)= -\frac{GM}{r^2} \]
这就解释了\(1/r\)和\(1/r^2\)之间的关系：局部质量的势能下降为\(1/r\)，而力或加速度下降为\(1/r^2\)。
7.泊松方程
质量密度和重力势能通过泊松方程相连：
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \]
在球面对称中，这变成了
\[ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left（ r^2\frac{d\Phi}{dr} \（右） = 4pi G\rho(r) \]
这个方程将三个量联系起来：
\[ \rho(r) \Longrightarrow M(r) \长斜线 \Phi(r) \长直角箭头 v(r) \]
8.扩展三维密度的潜力
对于一般的三维密度分布，电势为
\[ \Phi(\mathbf{x}) = -gint \frac{\rho(\mathbf{x}’)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|} \d^3x \]
核\(1/|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|\)是三维空间中\(1/r\)势的数学起源。
9.薄圆盘的电位
对于表面密度为 （ （Sigma(R’)\）的薄圆盘，圆盘平面上的重力势能可写为：
\[ \Phi(R) = -G \（int_0^{2\pi}） \（int_0^{2\pi}） \frac {Sigma(R’)R’\,dR’\,d\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
半径为 \(R\) 的场点与半径为 \(R’\) 的源点之间的距离是：
\[ d(R,R’,\phi) = \sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi} \]
圆盘中的径向加速度是通过微分势能得到的：
\[ g_R(R)=-\frac{partial \Phi}{partial R} \]
旋转速度根据
\[ v^2(R)=R\,|g_R(R)| \]
10.将 3D 互动投影到磁盘上
如果相互作用在三维空间传播，但在圆盘平面上进行评估，则径向投影会引入一个几何因子。对于圆盘上相距（d）的两点，径向投影系数为
\[ \cos\theta = \frac{R-R’\cos\phi}{d(R,R’,\phi)} \]
因此，投影到圆盘上的一般三维径向核（K(d)\）显示为：
\[ K_{\rm disk}(R,R’,\phi) = K(d) \frac{R-R’\cos\phi}{d} \]
例如，类似牛顿力的内核有
\[ K(d)\propto \frac{1}{d^2} \]
\[ K_{rm disk}\propto \frac{R-R’\cos\phi}{d^3} \]
指数三维核可以写成
\[ K(d)\propto e^{-d/\lambda} \]
\[ K_{rm disk}\propto e^{-d/\lambda} \frac{R-R’\cos\phi}{d} \]
11.三维指数核
纯指数径向因子的形式是
\[ e^{-r/\lambda} \]
在三维场论中，指数屏蔽势常常以类似于汤川的形式出现：
\[ \Phi_Y(r)\propto -\frac{e^{-r/\lambda}}{r} \]
相关的径向力包含 \(1/r^2\) 和指数项：
\[ g_Y(r) = -frac{d}{dr} \left( \frac{e^{-r/\lambda}}{r} \right) \]
\[ g_Y(r)/propto e^{-r/\lambda} \left( \frac{1}{r^2} + \r \（右) \]
这说明了为什么三维的指数径向行为与 \(1/r\) 几何形状无关。指数控制衰减，而 \(1/r\) 和 \(1/r^2\) 来自三维扩散。
12.径向缩放定律
质量缺失问题与径向缩放密切相关。几个重要的径向定律反复出现：
| 数量 | 典型比例 | 意义 |
|---|---|---|
| 点质量电势 | \Phi(r)\sim 1/r\) | 重力的三维绿色函数 |
| 点质量的力 | \g(r)/sim 1/r^2 | \(1/r\) 的衍生物 |
| 平面旋转速度 | \v(r)/sim constant\) | 在外星系盘中观测到 |
| 动态质量 | \M(r)/sim r\) | 平旋所需 |
| 晕密度 | \(\rho(r)/sim 1/r^2\) | Gives （M（r）\sim r\) |
| 指数盘 | \(\Sigma(R)/sim e^{-R/R_d}\) | 可见圆盘迅速消失 |
| 筛选三维势 | \Phi(r)/sim e^{-r/\lambda}/r\) | 指数衰减加三维扩散 |
13.从密度到旋转曲线
对于密度为
\[ \rho(r)\propto \frac{1}{r^2} \]
所包围的质量为
\[ M(r)=4\pi\int_0^r （rho(r’)r’^2dr’） \]
\[ M(r)\propto r \]
那么
\[ v^2(r)=\frac{GM(r)}{r} \]
\[ v^2(r)/approx constant \]
\[ v(r)/approx constant \]
这是连接（1/r^2）晕密度和平坦的星系旋转曲线的数学桥梁。
14.从圆盘质量到缺失质量
可见磁盘质量起初增长迅速，随后趋于饱和：
\[ M_{\rm disk}(R)\rightarrow M_d \]
从平坦的旋转曲线推断出的动力质量不断增加：
\[ M_{\rm dyn}(r)\propto r \]
因此，缺失质量的表现近似于
\[ M_{\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm disk}(r) \]
\[ M_{\rm miss}(r)approx rafrac{v_0^2}{G}r-M_d \]
半径足够大：
\[ M_{\rm miss}(r)\sim r \]
\[ \rho_{rm miss}（r）\sim \frac{1}{r^2} \]
15.数学警告：圆盘和球体不能互换
方程
\[ M(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
对于球面对称来说是精确的。对于扁平的圆盘，应该通过对圆盘进行积分来计算势能，然后得出径向加速度。球面表达式经常被用作有效近似值，尤其是在讨论支持给定旋转曲线所需的质量时。
16.关键方程汇总
磁盘表面密度：
\[ \Sigma(R)=\Sigma_0e^{-R/R_d} \]
磁盘质量元素
\[ dM_{\rm disk}=2\pi R\Sigma(R)dR \]
可见磁盘质量
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\Sigma_0R_d^2 \左[ 1-e^{-R/R_d} \left( 1+frac{R}{R_d} \（right) \（右） \]
球体质量
\[ M(r)=4\pi\int_0^r\rho(r’)r’^2dr’ \]
来自封闭质量的密度：
\[ \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dM}{dr} \]
动态质量
\[ M_{\rm dyn}(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
缺失质量
\[ M_{\rm miss}(r)=M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm vis}(r) \]
牛顿势能
\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]
泊松方程
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \]
3D potential integral：
\[ \Phi(\mathbf{x}) = -gint \frac{\rho(\mathbf{x}’)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|} d^3x’ \]
薄圆盘势：
\[ \Phi(R) = -G \（int_0^{2\pi}） \（int_0^{2\pi}） \frac{Sigma(R’)R’dR’d\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
投影径向核：
\[ \cos\theta= \frac{R -R’\cos\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
指数三维屏蔽势
\[ \Phi_Y(r)\propto -\frac{e^{-r/\lambda}}{r} \]
结论
质量缺失问题是两个径向行为之间的数学不匹配。可见圆盘的表面密度呈指数分布，累积质量有限。从近似平缓的旋转曲线推断出的动力学质量与半径大致呈线性增长。如果将其解释为一个球形光环，这就相当于密度大约以 \(1/r^2\)的形式递减。圆盘积分方程、球壳、引力势能和径向投影为分析这种不匹配提供了所需的数学语言。