الأسس الرياضية للكتلة المجرية المفقودة: القرص والكرة والكثافة والإمكانات والقياس الشعاعي
TL;DR: تظهر مشكلة الكتلة المفقودة عندما تتجاوز الكتلة المستنتجة من منحنيات دوران المجرة الكتلة المرصودة مباشرة في النجوم والغاز والغبار. رياضيًا، يتطلب ذلك الربط بين كثافة السطح على القرص، وكثافة الحجم في ثلاثة أبعاد، وإمكانات الجاذبية، والتسارع الشعاعي، والكتلة المحصورة.
1. الإحداثيات الشعاعية والهندسة
نحن نميز بين شكلين هندسيين:
- هندسة القرص: تتوزع المادة المجرية المرئية بشكل أساسي في قرص دوار رفيع.
- الهندسة الكروية: غالبًا ما تُصمم الكتلة المظلمة أو المفقودة على شكل هالة كروية تقريبًا.
عنصر مساحة القرص:
\[ dA = R\,dR\,dR\,d\phi \]
عنصر الحجم الكروي:
\[ d\V = 4\pi r^2\\,dr \]
يُستخدم الرمز \(r\) نفسه غالبًا لنصف قطر المجرة لكن المعنى يعتمد على الهندسة. في القرص، \(R\) هو نصف قطر أسطواني. في الهالة، \(r\) عادةً ما يكون \(r\) نصف قطر كروي.
2. الكتلة المرئية على قرص المجرة
غالبًا ما يتم تقريب القرص المرئي بكثافة سطحية أسية:
\[ \سيغما(R)=\سيغما_0 ه^^{-R/R/R_d} \]
كتلة الحلقة بين \(R\) و\(R+dR\) هي
\[ dM_{\قرص}=2\pi R\Sigma(R)\,dR \]
\[ dM_{\{\قرص}=2\pi R\Sigma_0e^^{R\R_R_d}\,dR \]
وبذلك تكون كتلة القرص المرئية التراكمية هي
\[ M_{\القرص}(R)=2\pi\int_0^^R R’\Sigma_0e^{-R’/R_d}\,dR’ \]
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\Sigma_0R_d^2 \ اليسار[ 1-هـ^^{R\R\R_d} \ يسار( 1+ \\frac{R}{R_d} \يمين) \ يمين] \]
في دائرة نصف قطرها كبير:
\[ M_{\القرص}(R)\R)\Rrightarrow 2\pi\Sigma_0R_R_d^2 \]
تقترب كتلة القرص المرئية من قيمة محدودة.
3. كثافة الكتلة الكروية والحجم الكروي
بالنسبة للتوزيع الكروي للكتلة، تحدد كثافة الحجم \(\rho(r)\) الكتلة المحيطة:
\[ M(r)=4\pi\int_int_0^r \r \rho(r’)r’^2\\،د \]
العلاقة العكسية هي:
\[ \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dM}{dr} \]
هذه العلاقة أساسية لمشكلة الكتلة المفقودة. إذا كانت الكتلة المستنبطة تنمو خطيًّا مع نصف القطر، فإن الكثافة الكروية المناظرة تتناقص مع \(1/r^2\).
4. الكتلة الديناميكية من الحركة الدائرية
بالنسبة إلى الحركة الدائرية، تحقِّق عجلة الجاذبية:
\[ \frac{v(r)^2}{r}=\frac{GM(r)}{r^2} \]
لذلك:
\[ M_{\rm dyn}(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
للحصول على منحنى دوران مسطح:
\[ v(r)\تقريبًا v_0 \]
\[ M_{\\rm dyn}(r)\مقربًا \frac{v_0^2}{G}r \]
وهذا يعطي القياس القياسي:
\[ M_{\r\rm dyn}(r)\r\r\r\r\r\r\r \]
\[ \\rho_{\r_rm dyn}(r)\r(r)\propto \frac{1}{r^2} \]
5. تعريف الكتلة المفقودة
الكتلة المفقودة هي الفرق بين الكتلة الديناميكية والكتلة المرئية:
\[ M_{\r\rm miss}(r)= M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm vis}(r) \]
بالنسبة للقرص المرئي الأسي:
\[ م_{/فأخطأ}(ص)= \frac{v(r)^2r}{G} – 2 \pi\سيغما_0R_R_d^2 \اليسار[ 1-هـ^^^^R_R_d \ليسار( 1+ \\frac{r}{R_d} \يمين) \ يمين] \]
بالنسبة لـ \(v(r)\) \تقريباً v_0\):
\[ M_{/{ر فوت}(ص)}(ص) \تقريبًا \frac{v_0^2}{G}r – 2 \pi\سيغما_0R_0R_d^2 \ اليسار[ 1-هـ^^{ر/ر/ر_د} \ يسار( 1+ \\frac{r}{R_d} \يمين) \ يمين] \]
عند نصف القطر الكبير، يتشبع حد القرص، بينما يستمر الحد الديناميكي في النمو تقريبًا \(r\).
6. إمكانات الجاذبية في الأبعاد الثلاثية
جهد الجذب النيوتوني الناتج عن كتلة نقطية هو
\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]
مجال الجاذبية المناظر هو المشتق الشعاعي للجهد:
\[ g(r)=-\frac{d\Phi}{dr} \]
\[ g(r)=- \\frac{GM}{r^2} \]
وهذا يفسر العلاقة بين \(\(1/r\) و\(1/r^2\): تنخفض إمكانات الكتلة الموضعية بمقدار \(1/r\)، بينما تنخفض القوة أو العجلة بمقدار \(1/r^2\).
7. معادلة بواسون
ترتبط كثافة الكتلة وجهد الجاذبية من خلال معادلة بواسون:
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \]
في التماثل الكروي، يصبح ذلك:
\[ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \ اليسار( r^2\frac{r^2\frac{d\Phi}{dr} \يمين) = 4\pi G\rho(r) \]
تربط هذه المعادلة بين ثلاث كميات:
\[ \rho(ص) \longrightarrow م(ص) \longrightarrow \بهي(ص) \longrightarrow ت(ص) \]
8. إمكانات الكثافة الممتدة ثلاثية الأبعاد
بالنسبة للتوزيع العام للكثافة الثلاثية الأبعاد، فإن الإمكانات هي
\[ \phi(\mathbf{x}) = \G\int \frac{\rho(\mathbf{x}’)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|} \، د^3x’ \]
النواة \(\(\(1/ ||mathbf{x}-\mathbf{x}’\) هي الأصل الرياضي لإمكانات \(1/r\) في ثلاثة أبعاد.
9. إمكانات القرص الرقيق
بالنسبة للقرص الرقيق ذي الكثافة السطحية \(\سيجما (R’)\)، يمكن كتابة جهد الجاذبية في مستوى القرص على النحو التالي
\[ \بهي (R) = -G \ int_0^\nfty \int_0^^{2\pi} \frac{\سيغما (R’)R’\,dR’\,d\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
المسافة بين نقطة المجال عند نصف القطر \(R\) ونقطة المصدر عند نصف القطر \(R’\) هي
\[ d(R,R’,\phi) = \sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi} \]
يتم الحصول على العجلة الشعاعية في القرص من خلال اشتقاق الإمكانات:
\[ g_R(R)=- \- \frac{\partial \Phi}{\partial R} \]
تتبع سرعة الدوران من:
\[ v^2(R)= \R\,|g_R(R)| \]
10. إسقاط تفاعل ثلاثي الأبعاد على القرص
إذا كان التفاعل ينتشر في ثلاثة أبعاد ولكن يتم تقييمه في مستوى القرص، فإن الإسقاط الشعاعي يقدم عاملًا هندسيًا. بالنسبة لنقطتين في القرص تفصل بينهما المسافة \(د\)، يكون عامل الإسقاط الشعاعي هو
\[ \cos\theta = \frac{R’R-R’\cos\phi}{d(R,R’، \phi)} \]
وهكذا، تظهر النواة الشعاعية ثلاثية الأبعاد العامة \(K(d)\)، المسقطة على القرص، على النحو التالي
\[ كـ{القرص}(ر، ر’، \في) = ك(د) \frac{R-R’\cos\phi}{d} \]
على سبيل المثال، تحتوي النواة الشبيهة بالقوة النيوتونية على:
\[ K(d)\\propto \frac{1}{d^2} \]
\[ كـ \{القرص}\propto \frac{R-R’\cos\phi}{d^3} \]
يمكن كتابة النواة الأسية ثلاثية الأبعاد على الصورة
\[ ك(د)\بروبوتو ه^^{-د/\لامبدا} \]
\[ كـ \{د\قرص}\\بروبتو ه^^{-د///لامبدا} \frac{R-R’\cos\phi}{d} \]
11. النواة الأسية في ثلاثة أبعاد
يكون العامل الشعاعي الأسي البحت على الصورة:
\[ ه^^{ص/ر/لامبدا} \]
في نظرية الحقل ثلاثي الأبعاد، غالبًا ما تظهر الإمكانات الممسوحة أسيًا في صورة تشبه يوكاوا:
\[ \Phi_Y(r)\propto -\frac{e^{-r/\lambda}}{r} \]
تحتوي القوة الشعاعية المرتبطة بها على كل من \(1/r^2\) والحدود الأسية:
\[ g_Y(ص) = -\فراك{د}{د}{د} \ اليسار( \frac{e^{-r/\lambda}}{r} \يمين) \]
\[ g_Y(r)\r)\propto ه^^{ر/ر//لامبدا} \ يسار( \frac{1}{r^2} + \frac{1}{\lambda r} \يمين) \]
وهذا يوضح سبب عدم استقلال السلوك الأسي الشعاعي في الأبعاد الثلاثية عن \(1/ر2\) الهندسة. يتحكم الأسي في التوهين بينما ينشأ \(1/r\) و\(1/r^2\) من الانتشار ثلاثي الأبعاد.
12. قوانين القياس الشعاعي
ترتبط مشكلة الكتلة المفقودة بقوة بالقياس الشعاعي. تظهر عدة قوانين شعاعية مهمة بشكل متكرر:
| الكمية | القياس النموذجي | المعنى |
|---|---|---|
| إمكانات الكتلة النقطية | \(\phi(r)\sim 1/r\) | دالة خضراء ثلاثية الأبعاد للجاذبية |
| قوة الكتلة النقطية | \(g(r)\sim 1/r^2\) | مشتقة \(\(\1/ر\) |
| سرعة الدوران المسطحة | \(v(r)\sim ثابت\) | مرصودة في الأقراص المجرية الخارجية |
| الكتلة الديناميكية | \(م(ص)\سيم ص\) | مطلوبة بواسطة الدوران المسطح |
| كثافة الهالة | \(\(\rho(r)\sim 1/r^2\) | يعطي \(M(r)\(r)\sim r\) |
| القرص الأسي | \(\(\سيغما (R)\sim e^^^{-R/R_R_d}\) | يتلاشى القرص المرئي بسرعة |
| إمكانات ثلاثية الأبعاد مكشوفة | \(\phi(r)\sim e^^{-r/\lambda}/r\) | التوهين الأسي بالإضافة إلى الانتشار ثلاثي الأبعاد |
13. من الكثافة إلى منحنى الدوران
بالنسبة للهالة الكروية ذات الكثافة:
\[ \rho(r)\propto \frac{1}{r^2} \]
الكتلة المرفقة هي:
\[ M(r)=4\pi\int_int_0^r \rho(r’)r’^2dr’ \]
\[ م(ص)\r(ص)\r(ص) \]
ثم:
\[ v^2(r)=\frac{GM(r)}{r} \]
\[ v^2(r)\ثابت تقريبًا \]
\[ v(r)\ثابت تقريبًا \]
هذا هو الجسر الرياضي بين كثافة الهالة \(1/r^2\) ومنحنى الدوران المجري المسطح.
14. من كتلة القرص إلى الكتلة المفقودة
تنمو كتلة القرص المرئية بسرعة في البداية ثم تتشبع:
\[ M_{\القرص}(R)\القرص م_د \]
تستمر الكتلة الديناميكية المستنبطة من منحنى الدوران المسطح في النمو:
\[ M_{\r\rm dyn}(r)\r\r\r\r\r\r\r \]
ومن ثَمَّ، فإن الكتلة المفقودة تتصرف تقريبًا على النحو التالي:
\[ M_{\r\rm miss}(r)= M_{\rm dyn}(r)-M_{\r\rm disk}(r) \]
\[ M_{\{\r miss}(r)\n)\nتقريبًا \frac{v_0^2}{G}r-M_d \]
في نصف قطر كبير بما فيه الكفاية:
\[ M_{\r\m miss}(ص) \sim r \]
\[ \\rho_{\r\rm miss}(r)\r)\sim \frac{1}{r^2} \]
15. تحذير رياضي: القرص والكرة غير قابلين للتبديل
المعادلة
\[ M(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
دقيقة للتماثل الكروي. بالنسبة إلى القرص المسطَّح، ينبغي للمرء أن يحسب الإمكانات عن طريق التكامل على القرص ثم يستنتج العجلة الشعاعية. غالبًا ما يُستخدم التعبير الكروي كتقدير تقريبي فعال، خاصةً عند مناقشة الكتلة اللازمة لدعم منحنى دوران معين.
16. ملخص المعادلات الرئيسية
كثافة سطح القرص
\[ \Sigma(R)=\Sigma_0e^{-R/R_d} \]
عنصر كتلة القرص:
\[ dM_{\القرص}=2\pi R\Sigma(R)dR \]
كتلة القرص المرئية:
\[ M_{\rm disk}(R)=2\pi\Sigma_0R_d^2 \ اليسار [ 1-هـ^^{-R/R_R_d} \ يسار( 1+ \\frac{R}{R_d} \يمين) \ يمين] \]
كتلة الحجم الكروي:
\[ M(r)=4\pi\int_int_0^^r\r\rho(r’)r’^2dr’ \]
الكثافة من الكتلة المغلقة:
\[ \rho(r)=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dM}{dr} \]
الكتلة الديناميكية:
\[ M_{\rm dyn}(r)=\frac{v(r)^2r}{G} \]
الكتلة المفقودة:
\[ M_{\{\rm miss}(r)= M_{\rm dyn}(r)-M_{\rm vis}(r) \]
الإمكانات النيوتونية:
\[ \Phi(r)=-\frac{GM}{r} \]
معادلة بواسون:
\[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho \]
تكامل الإمكانات ثلاثي الأبعاد
\[ \Phi(\mathbf{x}) = \G\int \frac{\rho(\mathbf{x}’)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}’|} d^3x’ \]
إمكانات القرص الرقيق
\[ \Phi(R) = -G \int_0^\nfty \int_0^^{2\pi} \frac{\سيغما (R’)R’dR’d\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
النواة الشعاعية المسقطة
\[ \cos\theta= \frac{R’R-R’R’\cos\phi} {\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi}} \]
إمكانات أسيّة ثلاثية الأبعاد ممسوحة
\[ \Phi_Y(r)\propto -\frac{e^{-r/\lambda}}{r} \]
الخاتمة
مشكلة الكتلة المفقودة هي عدم تطابق رياضي بين سلوكين شعاعيين. يتبع القرص المرئي كثافة سطحية أسية ويصل إلى كتلة تراكمية محدودة. تنمو الكتلة الديناميكية المستنبطة من منحنيات الدوران المسطحة تقريباً بشكل خطي تقريباً مع نصف القطر. إذا فُسِّر ذلك على أنه هالة كروية، فإن هذا يتوافق مع كثافة تتناقص تقريبًا \(1/r^2\). وتوفر معادلات تكامل القرص، والأغلفة الكروية، وإمكانات الجاذبية، والإسقاط الشعاعي اللغة الرياضية اللازمة لتحليل عدم التطابق هذا.