BeeTheory · Foundations · Nota técnica III
Verificación numérica:
La fuerza de BeeTheory entre dos átomos de hidrógeno a gran separación
La derivación analítica de la nota anterior predice que la fuerza de BeeTheory entre dos partículas sigue la ley del inverso del cuadrado $F \propto 1/R^2$ a cualquier distancia. Esta nota presenta la confirmación numérica, aplicada a dos átomos de hidrógeno aislados separados por distancias macroscópicas — desde nanómetros hasta kilómetros.
1. Fórmulas, parámetros y resultado clave
$$|F_{\text{BT}}(R)| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$
Atractiva, decreciente como $1/R^2$ — la ley del inverso del cuadrado de la gravitación, a partir de la estructura ondulatoria de la materia.
Parámetros usados en la simulación
| Parameter | Symbol | Value | Physical meaning |
|---|---|---|---|
| Reduced Planck constant | $\hbar$ | $1.0546 \times 10^{-34}$ J·s | Quantum action scale |
| Electron mass | $m_e$ | $9.1094 \times 10^{-31}$ kg | Mass of the wave-bearing particle (electron) |
| Bohr radius | $a_0$ | $5.2918 \times 10^{-11}$ m | Natural length scale of the hydrogen 1s orbital |
| BeeTheory coupling | $K_{\text{BT}} = \dfrac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}$ | $3.461 \times 10^{-28}$ J·m | Universal prefactor of the gravitational potential |
El resultado numérico clave
Inverse-square law confirmed at every distance
La simulación numérica, ejecutada para separaciones que van desde $100,a_0 approx 5$ nm hasta $1$ km, confirma que la fuerza de BeeTheory sigue exactamente la misma dependencia $1/R^2$ que la ley de Newton a cualquier distancia. La relación entre ambas fuerzas es una constante exacta:
$$\frac{|F_{\text{BT}}(R)|}{F_N(R)} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0\,G\,m_H^2} \;\approx\; 1.85 \times 10^{36}$$
independiente de $R$. Esta es la firma universal: BeeTheory ofrece la ley del inverso del cuadrado a partir de la estructura ondulatoria sola, con la amplitud fijada por parámetros de escala atómica $(\hbar, m_e, a_0)$.
2. Resultados numéricos en más de once órdenes de magnitud en distancia
La tabla siguiente presenta el potencial de BeeTheory $V_{text{BT}}(R)$, la fuerza de BeeTheory $|F_{text{BT}}(R)|$ y la correspondiente fuerza gravitatoria newtoniana $F_N(R) = G,m_H^2/R^2$ entre dos átomos de hidrógeno, evaluadas a distancias que abarcan desde el nanómetro hasta el kilómetro:
| $R$ | $R/a_0$ | $V_{\text{BT}}(R)$ (J) | $|F_{\text{BT}}(R)|$ (N) | $F_N(R)$ (N) | $|F_{\text{BT}}|/F_N$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 100 a₀ ≈ 5 nm | $1.0 \times 10^{2}$ | $-6.54 \times 10^{-20}$ | $1.24 \times 10^{-11}$ | $6.69 \times 10^{-48}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 µm | $1.9 \times 10^{4}$ | $-3.46 \times 10^{-22}$ | $3.46 \times 10^{-16}$ | $1.87 \times 10^{-52}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 10 µm | $1.9 \times 10^{5}$ | $-3.46 \times 10^{-23}$ | $3.46 \times 10^{-18}$ | $1.87 \times 10^{-54}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 100 µm | $1.9 \times 10^{6}$ | $-3.46 \times 10^{-24}$ | $3.46 \times 10^{-20}$ | $1.87 \times 10^{-56}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 mm | $1.9 \times 10^{7}$ | $-3.46 \times 10^{-25}$ | $3.46 \times 10^{-22}$ | $1.87 \times 10^{-58}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 cm | $1.9 \times 10^{8}$ | $-3.46 \times 10^{-26}$ | $3.46 \times 10^{-24}$ | $1.87 \times 10^{-60}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 m | $1.9 \times 10^{10}$ | $-3.46 \times 10^{-28}$ | $3.46 \times 10^{-28}$ | $1.87 \times 10^{-64}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 100 m | $1.9 \times 10^{12}$ | $-3.46 \times 10^{-30}$ | $3.46 \times 10^{-32}$ | $1.87 \times 10^{-68}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 km | $1.9 \times 10^{13}$ | $-3.46 \times 10^{-31}$ | $3.46 \times 10^{-34}$ | $1.87 \times 10^{-70}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
La última columna muestra la misma relación a cualquier distancia, confirmando numéricamente que ambas fuerzas siguen la misma ley de escala $1/R^2$. BeeTheory y Newton describen la misma forma funcional de la gravedad; solo difieren por una constante multiplicativa universal.
3. Ejemplo trabajado: dos átomos de hidrógeno a 1 micrómetro
Para hacer transparente el cálculo, considérese dos átomos de hidrógeno separados exactamente 1 micrómetro — una distancia macroscópica, de unas $19\,000$ radios de Bohr. Evaluación directa de las fórmulas:
Direct calculation at R = 1 µm
$$V_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m}) \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R} \;=\; -3.46 \times 10^{-22}\;\text{J} \;=\; -2.16 \times 10^{-3}\;\text{eV}$$
$$|F_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m})| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2} \;=\; 3.46 \times 10^{-16}\;\text{N}$$
$$F_N(1\,\mu\text{m}) \;=\; \frac{G\,m_H^2}{R^2} \;=\; 1.87 \times 10^{-52}\;\text{N}$$
A un micrómetro, BeeTheory predice una fuerza atractiva de aproximadamente $0.35$ femtonewtons entre los dos átomos — una interacción a escala cuántica que sigue exactamente la ley del inverso del cuadrado. La correspondiente fuerza gravitatoria newtoniana, calculada con la masa macroscópica $m_H$ y la constante gravitatoria $G$, es $1.87 \times 10^{-52}$ N, es decir, $1.85 \times 10^{36}$ veces menor.
Esta relación es la razón adimensional de acoplamiento gravitatorio frente a electromagnético del orden de $10^{36}$ bien conocida en física atómica. BeeTheory la recupera sin introducirla: el prefactor de la fuerza está determinado por completo por parámetros cuánticos $(\hbar, m_e, a_0)$, y la comparación con la expresión newtoniana macroscópica revela esta constante fundamental de la naturaleza como una característica estructural de la teoría.
4. Qué significa el resultado a cada escala
The same law at every scale
Desde 5 nanómetros hasta 1 kilómetro, la fuerza de BeeTheory entre dos átomos de hidrógeno está descrita por exactamente la misma fórmula. La forma funcional $1/R^2$ se conserva a lo largo de más de once órdenes de magnitud en distancia. Esta es la ley del inverso del cuadrado de la gravitación, en sentido estricto — derivada de la mecánica de quantum wave sin suposición externa.
Quantum amplitude, classical scaling
La amplitud $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \approx 3.46 \times 10^{-28}$ J·m está determinada por completo por parámetros cuánticos: la constante de Planck, la masa del electrón, el radio de Bohr. No hay $G$, no hay $m_H$, no hay entrada macroscópica. Sin embargo, la escala espacial es la misma que la de Newton. BeeTheory unifica así el origen cuántico de la interacción gravitatoria con su estructura clásica de inverso del cuadrado — exactamente lo que se espera de una teoría de la gravitación basada en ondas.
The 10³⁶ ratio is a feature, not a bug
Que la fuerza de BeeTheory entre dos partículas individuales sea mucho mayor que la gravedad newtoniana ingenua $G\,m_H^2/R^2$ es precisamente lo que deberíamos esperar. La constante gravitatoria newtoniana $G$ gobierna la interacción efectiva macroscópica entre grandes agregados de materia; no es el acoplamiento fundamental al nivel de partículas cuánticas individuales. BeeTheory hace explícita esta distinción al derivar la interacción elemental a partir de parámetros de escala atómica y reservar la fórmula newtoniana macroscópica para el comportamiento colectivo de muchas partículas.
5. Resumen
1. La fuerza de BeeTheory entre dos átomos de hidrógeno es $|F_{\text{BT}}(R)| = K_{\text{BT}}/R^2$ con $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \approx 3.46 \times 10^{-28}$ J·m.
2. La evaluación numérica desde 5 nm hasta 1 km confirma exactamente la ley del inverso del cuadrado $F \propto 1/R^2$.
3. La relación $|F_{\text{BT}}|/F_N$ es la constante universal $1.85 \times 10^{36}$ a cualquier distancia — la conocida razón de acoplamiento cuántico a gravedad, derivada en lugar de asumida.
4. La forma funcional de la ley de gravitation de Newton se reproduce a partir de wave mechanics sola, validando el enfoque de BeeTheory para el caso elemental de dos partículas.
La siguiente nota técnica de esta serie aborda cómo esta interacción elemental, sumada sobre las muchas partículas que componen un cuerpo macroscópico, reproduce la ley de Newton con la constante gravitatoria estándar $G$ — la transición desde el origen cuántico hasta la gravedad macroscópica clásica.
References. Dutertre, X. — Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023). Derivación fundacional. · Newton, I. — Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Royal Society (1687). Ley del inverso del cuadrado. · Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. — Quantum Mechanics, Vol. I, Wiley (1977). Laplaciano esférico y unidades atómicas.
BeeTheory.com — Wave-based quantum gravity · Verificación numérica · © Technoplane S.A.S. 2026