Formalisasi:
Perhitungan Teori Lebah Berskala Galaksi

5. Konvolusi medan gelombang – persamaan integral per komponen

Kerapatan medan gelombang pada posisi $\vec{r}$ adalah konvolusi dari distribusi sumber baryonik dengan kernel gelombang. Untuk sistem simetris galaksi (simetris aksial, pendekatan monopolar), setiap komponen baryonik berkontribusi secara aditif:

Kelima integral tersebut dituliskan di bawah ini, satu per komponen. Setiap integral mengubah distribusi massa baryonik menjadi distribusi massa medan gelombang pada titik spasial yang sama.

5.1 Tonjolan – Integrasi cangkang 3D

Integrasi dilakukan pada cangkang bola konsentris dengan jari-jari $r’$. Titik medan pada radius $r$ dari pusat melihat setiap cangkang pada pemisahan efektif $D = \sqrt{r^2 + r’^2}$ dalam pendekatan monopolar. Integrasi meluas hingga $r_\text{max} = 6\,r_b$, di luar itu kerapatan tonjolan secara numerik dapat diabaikan.

5.2 Disk tipis – Integrasi cincin 2D

Piringan diuraikan menjadi cincin konsentris dengan jari-jari $R’$ dan lebar tak terhingga $dR’$, masing-masing membawa massa permukaan $\Sigma_\text{tipis}(R’)\,2\pi R’\,dR’$. Pendekatan monopolar yang sama berlaku: medan gelombang pada radius $r$ dari pusat menerima kontribusi dari setiap cincin pada pemisahan efektif $D = \sqrt{r^2 + R’^2}$. Rentang integrasi adalah $R_\text{max} = 8\,R_d$.

5.3 Disk tebal – Integrasi cincin 2D

Identik dengan integrasi cakram tipis, dengan $\Sigma_\text{tebal}(R’)$ sebagai kerapatan sumber dan parameter kernel $\alpha_\text{tebal} = 1/(c_\text{disk}\, \cdot 1.5\, R_d)$. Jangkauan radial yang lebih luas dari cakram tebal menghasilkan rentang koherensi gelombang yang sedikit lebih luas.

5.4 Cincin gas – Integrasi cincin 2D dengan penipisan pusat

Distribusi gas memiliki lubang pusat, yang ditangkap oleh cutoff radial pada $R_\text{hole} = 0.5\,R_g$ di batas bawah integrasi. Di luar batas ini, gas meluas lebih jauh dari piringan bintang; ini tercermin dalam skala karakteristik yang lebih besar $R_g = 1.7\,R_d\,R_g\, yang menjadi masukan bagi panjang koherensi $\ell_\text{gas} = c_\text{disk}\,R_g\.

5.5 Kelebihan lengan spiral – Integrasi cincin 2D dengan amplitudo yang dikurangi

Lengan spiral diperlakukan sebagai peningkatan rata-rata secara aksial dari densitas permukaan cakram tipis pada tingkat $10\%$, dengan panjang koherensinya sendiri $\ell_\text{lengan} = c_\text{lengan}\,R_d$. Oleh karena itu, kernel ini lebih sempit daripada kernel cakram tipis, yang mencerminkan konsentrasi azimuthal dari struktur spiral.

7. Parameter tingkat teori

Kerangka kerja BeeTheory yang lengkap, seperti yang diterapkan pada galaksi, berisi lima parameter pada tingkat teori. Parameter-parameter ini bersifat universal: tidak berbeda antara satu galaksi dengan galaksi lainnya.

Simbol	Arti	Peran
$K_0$	Amplitudo massa gelombang	Mengatur skala tanpa dimensi dari kernel gelombang
$c_\text{sph}$	Konstanta geometris 3D	Rasio $\ell/r_\text{skala}$ untuk sumber bola (tonjolan)
$c_\text{disk}$	Konstanta geometris 2D	Rasio $\ell/R_\text{scale}$ untuk sumber disk dan ring
$c_\text{arm}$	Konstanta geometris spiral	Rasio $\ell/R_d$ untuk kelebihan lengan yang terkonsentrasi secara azimuthal
$\lambda$	Kopling medan gelombang global	Mengukur kepadatan medan gelombang total

9. Peran densitas permukaan pusat (Revisi Catatan XI)

Diagnostik Catatan XI mengidentifikasi bahwa kesalahan prediksi residual berkorelasi kuat dengan kerapatan permukaan baryonik pusat $\Sigma_d$, terlepas dari panjang skala piringan $R_d$. Formalisasi yang disajikan di atas adalah versi model sebelum temuan ini digabungkan – model ini hanya menggunakan $R_d$ dalam ekspresi panjang koherensi $\ell_i = c_i\,R_d$.

Struktur searah dari komputasi dipertahankan oleh penyempurnaan ini: $\Sigma_d$ adalah input observasi, panjang koherensi yang dimodifikasi dimasukkan ke dalam integral konvolusi yang sama, dan kurva rotasi muncul seperti sebelumnya. Hanya satu hubungan operasional yang ditambahkan – ketergantungan $\ell_i$ pada pengamatan kedua.

10. Ringkasan metodologi

1. Masukan. Lima pengamatan per galaksi: tipe Hubble $T$, skala cakram $R_d$, kecerlangan permukaan $\Sigma_d$, massa HI $M_\text{HI}$, dan rasio massa terhadap cahaya bintang universal $\Upsilon_\bintang$.

2. Dekomposisi baryonik. Lima komponen: tonjolan (jika $T \leq 4$), piringan tipis, piringan tebal, cincin gas, kelebihan lengan spiral. Masing-masing membawa profil densitas analitik.

3. Kernel gelombang. Bentuk tipe Yukawa universal $\mathcal{K}_i(D) = K_0\,(1 + \alpha_i D)\, e^{-\alpha_i D}/D^2$ dengan panjang koherensi $\ell_i = c_i\, R_\text{skala}$ yang ditentukan oleh luas geometris dari setiap komponen.

4. Konvolusi. Setiap komponen menghasilkan kerapatan medan gelombang melalui integral satu dimensi pada cincin (komponen 2D) atau cangkang (tonjolan 3D). Kerapatan medan gelombang total adalah jumlah dari lima komponen, yang diskalakan dengan kopling global $\lambda$.

5. Keluaran. Massa gelombang terlampir $M_\text{wave}(R)$ diintegrasikan dan digabungkan dengan kecepatan baryonik $V_\text{bar}(R)$ untuk menghasilkan kurva rotasi yang diprediksi $V_c(R)$.

6. Parameter tingkat teori. $(K_0,\,c_\text{sph},\,c_\text{disk},\,c_\text{arm},\,\lambda)$ – universal, tidak ada penyetelan per galaksi. Penyempurnaan yang sedang diteliti akan menambah ketergantungan pada $\Sigma_d$.

7. Arah. Input → baryon → medan gelombang → kurva rotasi. Tidak ada umpan balik. Kurva rotasi adalah prediksi, bukan kecocokan.