BeeTheory · Fondations · Note technique III
Vérification numérique :
La force BeeTheory entre deux atomes d’hydrogène à grande séparation
La dérivation analytique de la note précédente prédit que la force BeeTheory entre deux particules suit la loi en carré inverse $F \propto 1/R^2$ à toute distance. Cette note présente la confirmation numérique, appliquée à deux atomes d’hydrogène isolés séparés par des distances macroscopiques — des nanomètres aux kilomètres.
1. Formules, paramètres et résultat clé
Force gravitationnelle BeeTheory
$$|F_{\text{BT}}(R)| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$
Attractive, décroissant comme $1/R^2$ — la loi en carré inverse de la gravitation, issue de la structure d’onde de la matière.
Paramètres utilisés dans la simulation
| Parameter | Symbol | Value | Physical meaning |
|---|---|---|---|
| Reduced Planck constant | $\hbar$ | $1.0546 \times 10^{-34}$ J·s | Quantum action scale |
| Electron mass | $m_e$ | $9.1094 \times 10^{-31}$ kg | Mass of the wave-bearing particle (electron) |
| Bohr radius | $a_0$ | $5.2918 \times 10^{-11}$ m | Natural length scale of the hydrogen 1s orbital |
| BeeTheory coupling | $K_{\text{BT}} = \dfrac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}$ | $3.461 \times 10^{-28}$ J·m | Universal prefactor of the gravitational potential |
Le résultat numérique clé
Loi en carré inverse confirmée à toute distance
La simulation numérique, exécutée pour des séparations allant de $100,a_0 approx 5$ nm à $1$ km, confirme que la force BeeTheory suit exactement la même dépendance $1/R^2$ que la loi de Newton à toute distance. Le rapport des deux forces est une constante exacte :
$$\frac{|F_{\text{BT}}(R)|}{F_N(R)} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0\,G\,m_H^2} \;\approx\; 1.85 \times 10^{36}$$
indépendant de $R$. C’est la signature universelle : BeeTheory fournit la loi en carré inverse à partir de la seule structure d’onde, avec une amplitude fixée par des paramètres à l’échelle atomique $(\hbar, m_e, a_0)$.
2. Résultats numériques sur plus de onze ordres de grandeur en distance
Le tableau ci-dessous présente le potentiel BeeTheory $V_{text{BT}}(R)$, la force BeeTheory $|F_{text{BT}}(R)|$, et la force gravitationnelle newtonienne correspondante $F_N(R) = G,m_H^2/R^2$ entre deux atomes d’hydrogène, évaluée à des distances allant du nanomètre au kilomètre :
| $R$ | $R/a_0$ | $V_{\text{BT}}(R)$ (J) | $|F_{\text{BT}}(R)|$ (N) | $F_N(R)$ (N) | $|F_{\text{BT}}|/F_N$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 100 a₀ ≈ 5 nm | $1.0 \times 10^{2}$ | $-6.54 \times 10^{-20}$ | $1.24 \times 10^{-11}$ | $6.69 \times 10^{-48}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 µm | $1.9 \times 10^{4}$ | $-3.46 \times 10^{-22}$ | $3.46 \times 10^{-16}$ | $1.87 \times 10^{-52}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 10 µm | $1.9 \times 10^{5}$ | $-3.46 \times 10^{-23}$ | $3.46 \times 10^{-18}$ | $1.87 \times 10^{-54}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 100 µm | $1.9 \times 10^{6}$ | $-3.46 \times 10^{-24}$ | $3.46 \times 10^{-20}$ | $1.87 \times 10^{-56}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 mm | $1.9 \times 10^{7}$ | $-3.46 \times 10^{-25}$ | $3.46 \times 10^{-22}$ | $1.87 \times 10^{-58}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 cm | $1.9 \times 10^{8}$ | $-3.46 \times 10^{-26}$ | $3.46 \times 10^{-24}$ | $1.87 \times 10^{-60}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 m | $1.9 \times 10^{10}$ | $-3.46 \times 10^{-28}$ | $3.46 \times 10^{-28}$ | $1.87 \times 10^{-64}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 100 m | $1.9 \times 10^{12}$ | $-3.46 \times 10^{-30}$ | $3.46 \times 10^{-32}$ | $1.87 \times 10^{-68}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 km | $1.9 \times 10^{13}$ | $-3.46 \times 10^{-31}$ | $3.46 \times 10^{-34}$ | $1.87 \times 10^{-70}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
La dernière colonne montre le même rapport à chaque distance, confirmant numériquement que les deux forces suivent la même loi d’échelle $1/R^2$. BeeTheory et Newton décrivent la même forme fonctionnelle de gravité ; ils ne diffèrent que par une constante multiplicative universelle.
3. Exemple détaillé : deux atomes d’hydrogène à 1 micromètre
Pour rendre le calcul transparent, considérons deux atomes d’hydrogène séparés exactement de 1 micromètre — une distance macroscopique, d’environ $19\,000$ rayons de Bohr. Évaluation directe des formules :
Calcul direct à R = 1 µm
$$V_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m}) \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R} \;=\; -3.46 \times 10^{-22}\;\text{J} \;=\; -2.16 \times 10^{-3}\;\text{eV}$$
$$|F_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m})| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2} \;=\; 3.46 \times 10^{-16}\;\text{N}$$
$$F_N(1\,\mu\text{m}) \;=\; \frac{G\,m_H^2}{R^2} \;=\; 1.87 \times 10^{-52}\;\text{N}$$
À un micromètre, BeeTheory prédit une force attractive d’environ $0.35$ femtonewtons entre les deux atomes — une interaction à l’échelle quantique qui suit exactement la loi en carré inverse. La force gravitationnelle newtonienne correspondante, calculée avec la masse macroscopique $m_H$ et la constante gravitationnelle $G$, vaut $1.87 \times 10^{-52}$ N, soit $1.85 \times 10^{36}$ fois moins.
Ce rapport est le rapport de couplage gravitationnel-à-électromagnétique sans dimension, de l’ordre de $10^{36}$, bien connu en physique atomique. BeeTheory le retrouve sans l’invoquer : le préfacteur de la force est entièrement fixé par des paramètres quantiques $(\hbar, m_e, a_0)$, et la comparaison avec l’expression newtonienne macroscopique révèle cette constante fondamentale de la nature comme une caractéristique structurelle de la théorie.
4. Ce que le résultat signifie à chaque échelle
La même loi à chaque échelle
De 5 nanomètres à 1 kilomètre, la force BeeTheory entre deux atomes d’hydrogène est décrite par exactement la même formule. La forme fonctionnelle $1/R^2$ est préservée sur plus de onze ordres de grandeur en distance. C’est la loi en carré inverse de la gravitation, au sens strict — dérivée de la mécanique des ondes quantiques sans hypothèse externe.
Amplitude quantique, échelle classique
L’amplitude $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \approx 3.46 \times 10^{-28}$ J·m est entièrement déterminée par des paramètres quantiques : la constante de Planck, la masse de l’électron, le rayon de Bohr. Il n’y a ni $G$, ni $m_H$, ni entrée macroscopique. Pourtant, l’échelle spatiale est la même que celle de Newton. BeeTheory unifie ainsi l’origine quantique de l’interaction gravitationnelle avec sa structure classique en carré inverse — exactement ce qu’on attend d’une théorie de la gravité fondée sur les ondes.
Le rapport de 10³⁶ est une caractéristique, pas un défaut
Le fait que la force BeeTheory entre deux particules isolées soit beaucoup plus grande que la gravitation newtonienne naïve $G\,m_H^2/R^2$ est précisément ce à quoi il faut s’attendre. La constante gravitationnelle newtonienne $G$ gouverne l’interaction effective macroscopique entre de grands agrégats de matière ; ce n’est pas le couplage fondamental au niveau des particules quantiques individuelles. BeeTheory rend cette distinction explicite en dérivant l’interaction élémentaire à partir de paramètres à l’échelle atomique et en réservant la formule newtonienne macroscopique au comportement collectif d’un grand nombre de particules.
5. Résumé
1. La force BeeTheory entre deux atomes d’hydrogène est $|F_{\text{BT}}(R)| = K_{\text{BT}}/R^2$ avec $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \approx 3.46 \times 10^{-28}$ J·m.
2. L’évaluation numérique de 5 nm à 1 km confirme exactement la loi en carré inverse $F \propto 1/R^2$.
3. Le rapport $|F_{\text{BT}}|/F_N$ est la constante universelle $1.85 \times 10^{36}$ à toute distance — le rapport de couplage quantique-vers-gravité bien connu, dérivé plutôt qu’assumé.
4. La forme fonctionnelle de la gravitation de Newton est reproduite à partir des ondes mécaniques seules, validant l’approche BeeTheory pour le cas élémentaire à deux particules.
La prochaine note technique de cette série explique comment cette interaction élémentaire, sommée sur les nombreuses particules composant un corps macroscopique, reproduit la loi de Newton avec la constante gravitationnelle standard $G$ — la transition de l’origine quantique vers la gravité macroscopique classique.
Références. Dutertre, X. — Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023). Dérivation fondatrice. · Newton, I. — Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Royal Society (1687). Loi en carré inverse. · Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. — Mécanique quantique, Vol. I, Wiley (1977). Laplacien sphérique et unités atomiques.
BeeTheory.com — Gravité quantique fondée sur les ondes · Vérification numérique · © Technoplane S.A.S. 2026