Resumen matemático (suma de ondas e-αr)
1) Ansatz (dos partículas A y B)
Modele cada partícula como una fuente monocromática, localizada e isótropa de un campo escalar complejo (la «onda de materia»):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alfa|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|},e^{-i\omega_2 t} \]
y superponer:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Cambie a coordenadas esféricas alrededor de B: escriba \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) con \(r=|\mathbf s|\ll R\), y defina:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |mathbf r-\mathbf r_A|=|mathbf R-\mathbf s| \]
Para \(r\ll R\):
\[ |\\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
tan cerca de B:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alfa R}\,e^+-alfa r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B,e^{-\beta r},e^{-i\omega_2 t} \]
En el punto \(B_0\) (es decir, \(r=0\)), la contribución de A es:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alfa R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) ¿Qué ecuación de onda utilizar?
La ecuación de Schrödinger libre correcta es:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
Sus estados estacionarios son ondas oscilatorias planas/esféricas; una envolvente \(e^{-\alpha r}\) por sí sola no es una solución exacta de Schrödinger libre.
Para obtener perfiles exponenciales, utilice la ecuación de Helmholtz o de Poisson:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \mathbf(r)\i G_\mu(r)=\frac{e^-\mu r}}{4\pi r} \]
Para una fuente puntual:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi},\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}{\mathbf r-\mathbf r_A|},e^{-i\omega_1 t} \]
En el límite cuasiestático \(\mu\a 0\):
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Potencial efectivo y ley 1/R
Si B se acopla al campo de A con un acoplamiento \(g_B\), la energía de interacción es:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi},\frac{e^{-\mu R}}{R}cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Tras promediar el tiempo (o si \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
La fuerza correspondiente es:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi},e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}right)\hat{\mathbf R} \]
En el límite de largo alcance \(\mu R\ll 1\), esto reproduce una ley de gravedad similar a 1/R².
4) Identidades útiles (validación rápida)
Laplaciano de exponenciales radiales:
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right) \]
Identidad de la función de Green:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
La singularidad 1/r (y la ley 1/R de campo lejano) proviene de la estructura de la función de Green \(G(r)\sim 1/r\), no de una \(e^{-\alpha r}\) desnuda sin el factor \(1/r\).
En dos líneas
- Superponga ondas localizadas \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) con envolventes \(e^{-\alpha r}\).
- Para obtener un potencial \(\sim 1/R\) (y una fuerza \(\sim 1/R^2\)), el mediador debe obedecer a Poisson/Helmholtz: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Entonces \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), y para \(\mu\to 0\): \(V\propto 1/R\).
