BeeTheory – Marco teórico – 2025
Dos escalas, dos fórmulas
La ecuación de onda de BeeTheory se aplica a dos niveles distintos de la realidad: la partícula elemental y la distribución macroscópica de la masa.
No son la misma fórmula. No deben confundirse.
BeeTheory.com – Dutertre (2023) – Derivación ampliada 2025
Fórmula I – Escala I – Cuántica
La función de onda de las partículas elementales
\(\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{-r/a}\)r es la distancia desde el centro de la partícula.
a es la escala de Broglie-Bohr de la partícula.
Este a está fijado por el estado cuántico de la partícula. No depende de la densidad de la materia circundante.
Fórmula II – Escala II – Astrofísica
El núcleo de densidad de masa macroscópica
\(\rho_{mathrm{dark}(\mathbf r)=\frac{K}{\ell}int \rho_{mathrm{vis}(\mathbf r’)e^-||mathbf r-\mathbf r’|/\ell}\,dV’\).ρvis es la densidad de masa bariónica visible.
ℓ es la longitud de coherencia del componente fuente.
Este ℓ depende de la geometría y la escala de la estructura de la fuente, no de las partículas individuales.
Lo que les une
La fórmula I describe la onda microscópica de una única partícula o par de partículas. La fórmula II describe el campo colectivo producido cuando una distribución macroscópica de masa se trata como una fuente continua.
I. Fórmula I – La partícula elemental
La Teoría de la Abeja comienza en el nivel más fundamental. Cada partícula elemental masiva se modela como una función de onda esféricamente simétrica que decae exponencialmente desde su centro.
Para una partícula en su estado básico
\(\psi(\mathbf r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\exp\left(-\frac{|\mathbf r|}{a}\right)\)Aquí a es la longitud de desintegración característica de la función de onda de la partícula.
Para el átomo de hidrógeno, a = a0 = 52,9 pm, el radio de Bohr. Se trata de una constante mecánico-cuántica derivada de la masa del electrón, la masa del protón y ℏ.
Para un neutrón o un protón, a es del orden del radio nuclear, alrededor de 1 fm.
La constante de desintegración a es una propiedad del estado cuántico de la partícula. Está fijada por la física: por ℏ, por m y por la energía de enlace. No cambia porque haya muchas partículas cerca.
Un átomo de hidrógeno en un disco galáctico tiene el mismo a0 que un átomo de hidrógeno en el vacío del espacio intergaláctico.
Lo que da de sí la ecuación de Schrödinger
Aplicando la ecuación Ĥψ = Eψ sin potencial, como energía cinética pura en el marco de la Teoría de la Abeja, el Laplaciano exacto en coordenadas esféricas es:
\(\nabla^2\psi(r)=\psi(r)\left(\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ar}\right)\)Surgen dos términos: un término cinético constante y un término tipo Coulomb.
El término constante es:
\(+\frac{1}{a^2}\)El término de tipo Coulomb es:
\(-\frac{2}{ar}\)Es el término -2/(ar) el que, al proyectarse sobre una segunda partícula a distancia R, genera la interacción atractiva.
La energía de interacción entre la partícula A en el origen y la partícula B a la distancia R adopta la siguiente forma tras la integración 3D completa sobre la función de onda de B:
\(E(R)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{R}{\alpha_{\mathrm{eff}}}\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}\) \(\kappa=3.509E_h=95.5\,\mathrm{eV}\) \(\alpha_{\mathrm{eff}}=1.727a_0=91.4\,\mathrm{pm}\)Esta ecuación se calibró en la molécula de hidrógeno utilizando dos restricciones experimentales: la longitud del enlace y la energía de disociación.
\(R_{\mathrm{eq}}=74.1\,\mathrm{pm}\) \(D_e=4.52\,\mathrm{eV}\)El resultado reproduce ambas limitaciones con una precisión del 0,1%.
El punto clave es que αeff no es igual a a0. El decaimiento efectivo de la interacción de dos partículas es un 73% más largo que el de la función de onda de una sola partícula.
No se trata de un parámetro libre. Se deriva analíticamente de las dos condiciones de calibración:
\(\alpha_{\mathrm{eff}}=R_{\mathrm{eq}}+D_eR_{\mathrm{eq}}^2\)De qué no depende la Fórmula I
ψ(r) y sus parámetros, incluidos a, κ y αeff, están determinados por la mecánica cuántica de las partículas individuales y de los pares. Son independientes de la densidad local.
Tanto si un átomo de hidrógeno se encuentra en el Sol como en una nube interestelar, su función de onda es idéntica. La fórmula I es una ecuación microscópica.
II. Fórmula II – El sistema macroscópico
A escalas galácticas, no es posible, ni significativo, rastrear partículas individuales. La cantidad relevante es el campo de densidad de masa.
\(\rho_{{mathrm{vis}}(\mathbf r)\)La segunda fórmula de BeeTheory describe cómo esta densidad continua genera un campo de masa oscura a través de una convolución con un núcleo exponencial.
\(\rho_{\mathrm{dark}}(\mathbf r)=\frac{K}{\ell}\int_{\mathrm{source}}\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)\frac{(1+\alpha D)e^{-\alpha D}}{D^2}\,dV’\) \(D=|\mathbf r-\mathbf r’|,\qquad \alpha=\frac{1}{\ell}\)El núcleo lo es:
\(\frac{(1+\alfa D)e^{-\alfa D}{D^2}\)Este es el núcleo de fuerza derivado del potencial BeeTheory.
\(V\propto\frac{e^{-\alpha D}}{D}\)Se reduce a la forma cuadrática inversa de Newton para D mucho menor que ℓ, y decae exponencialmente para D mucho mayor que ℓ.
La diferencia clave: ¿Qué es ℓ aquí?
En la Fórmula II, la longitud de coherencia ℓ no es el radio de Bohr a0 ni ninguna escala de una sola partícula.
Es la longitud de coherencia de la estructura de la fuente macroscópica: la distancia a lo largo de la cual la distribución de la masa permanece correlacionada espacialmente.
Se trata de una propiedad emergente y colectiva del sistema.
El origen físico de ℓ a escalas macroscópicas
Consideremos N partículas que forman una estructura fuente de tamaño característico Lsource. Cada partícula emite una onda con escala de desintegración a. Cuando estas ondas se suman de forma coherente, el campo superpuesto tiene una longitud de coherencia que depende de la organización espacial de la fuente, no sólo de a.
En el límite N → ∞ y Lsource ≫ a, la escala de una sola partícula a desaparece por completo. La longitud de coherencia macroscópica ℓ viene determinada por Lsource y por la geometría de la distribución de masas.
Esto es análogo a la coherencia en óptica: los fotones individuales tienen una longitud de onda λ, pero la longitud de coherencia de un haz láser depende de la geometría de la cavidad, no de λ únicamente.
Los dos componentes galácticos – Dos valores de ℓ
La curva de rotación de Gaia 2024 revela dos regímenes distintos separados cerca de R ≈ 5,5 kpc. BeeTheory los ajusta con dos aplicaciones independientes de la Fórmula II, una por componente bariónica.
| Componente fuente | Geometría | Tamaño de la fuente L | ℓ equipado | ℓ / L | K equipado | λ = Kℓ² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Bulto + barra | 3D esférico | rb = 1,5 kpc | 0,61 kpc | 0.41 | 1,055 kpc-¹ | 0.39 |
| Disco, fino + grueso + gas | Disco exponencial 2D | Rd = 3,5 kpc | 11,1 kpc | 3.17 | 0,02365 kpc-¹ | 2.90 |
La relación ℓ/Lsource es de 0,41 para la protuberancia y de 3,17 para el disco. Esta diferencia refleja la geometría de cada componente.
- La protuberancia es compacta y concentrada centralmente. Su masa está fuertemente ligada y su campo de ondas colectivo tiene una longitud de coherencia corta. Esto impulsa el rápido aumento de Vc en R < 5 kpc.
- El disco está extendido y repartido en decenas de kiloparsecs. Su coherencia colectiva es correspondientemente larga. El campo oscuro se extiende lejos en el halo, sosteniendo la curva de rotación plana y provocando después el declive de Gaia 2024 más allá de ℓd ≈ 11 kpc.
III. El puente entre las dos fórmulas
¿Cómo da lugar la Fórmula I a escala de partículas a la Fórmula II a escala macroscópica? La conexión es un argumento de agregación de varios pasos.
Paso 1 – Partícula a pareja
Dos partículas A y B a distancia D interactúan a través de un potencial de pares de tipo Yukawa:
\(V(D)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}e^{-D/\alpha_{\mathrm{eff}}}\)La escala de desintegración αeff es el alcance efectivo a nivel de partícula.
Paso 2 – De pareja a conjunto
Para N partículas que forman una fuente, el potencial es la suma sobre todas las contribuciones de pares.
\(V(\mathbf r)=\suma_i V(|\mathbf r-\mathbf r_i|)\)En el límite del continuo, la suma discreta se convierte en una integral de volumen sobre la densidad de la fuente:
\(V(\mathbf r)\rightarrow \int\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)V(D)\,dV’\)Paso 3 – Del potencial a la densidad
La densidad de masa oscura se deriva del potencial gravitatorio a través de la ecuación de Poisson.
\(\rho_{{mathrm{dark}}(\mathbf r)\equiv-\frac{\nabla^2V(\mathbf r)}{4\pi G}+{\mathrm{source\ corrección}\)Para un potencial Yukawa, esto da el núcleo macroscópico de BeeTheory:
\(\frac{(1+\alfa D)e^{-\alfa D}{D^2}\)Paso 4 – Renormalización de ℓ
La longitud de coherencia macroscópica no es simplemente la escala de la partícula microscópica. Está renormalizada por el tamaño y la geometría de la fuente.
\(\ell_{\mathrm{macro}}=\alpha_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{pair}}\mathcal F\left(\frac{L_{\mathrm{source}}}{\alpha_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{pair}}}\right)\)Cuando el tamaño de la fuente es mucho mayor que la escala de pares microscópica, la longitud de coherencia macroscópica ya no la fija la escala de pares. Es fijada por Lsource y por la geometría de la fuente a través de la función 𝓕.
El desacoplamiento de las escalas
El radio de Bohr es:
\(a_0=52.9\,\mathrm{pm}=1.72\times10^{-15}\,\mathrm{kpc}\)La longitud de coherencia del disco es:
\(\ell_d=11.1\,\mathrm{kpc}\)La proporción es:
\(\frac{\ell_d}{a_0}\approx6.5\times10^{15}\)Esto no es un fallo de la teoría. Es la consecuencia esperada de sumar alrededor de 1067 interacciones partícula-par de forma coherente sobre una fuente galáctica de tamaño en torno a 25 kpc.
La coherencia colectiva surge a escala de la estructura colectiva, no a escala de sus constituyentes.
La cuestión teórica abierta: 𝓕(L/α)
La función 𝓕 que mapea la geometría de la fuente a la ℓ macroscópica es el problema central sin resolver de la teoría multiescala de BeeTheory.
A partir del ajuste galáctico, observamos
\(\frac{\ell_{\mathrm{bulge}}}{r_b}=0.41,\qquad \frac{\ell_{\mathrm{disk}}}{R_d}=3.17\)Si ℓ escala como una potencia de Lsource, entonces:
\(\ell\propto L_{{mathrm{source}}^\\gamma\) \(\gamma=\frac{\log(11.1/0.61)}{\log(3.5/1.5)}\approx\frac{\log(18.2)}{\log(2.33)}\approx3.4\)Se trata de una escala pronunciada. Otra posibilidad es que la diferencia refleje la geometría: una fuente de disco y una fuente esférica generan campos colectivos cualitativamente diferentes.
Determinar 𝓕 requiere aplicar la Teoría de la Abeja a una muestra de galaxias con diferentes morfologías.
IV. Resumen – Las dos fórmulas lado a lado
| Aspecto | Fórmula I – partícula elemental | Fórmula II – sistema macroscópico |
|---|---|---|
| Objeto | Partícula única o par de partículas | Campo de densidad continua ρvis(r) |
| Función de onda | ψ(r) = Ne-r/a, estado cuántico exacto | No aplicable; sustituido por el campo ρvis |
| Escala de longitud de clave | a = a0 = 52,9 pm, radio de Bohr | ℓ = coherencia de la estructura de la fuente |
| ¿Depende de la densidad local? | No. a0 es una constante universal. | Sí. ℓ refleja la geometría y el tamaño de la fuente. |
| Potencial de interacción | E(R) = -(κ/√π)e-R/αeff + repulsión | V(D) ∝ e-D/ℓ/D |
| Ley de la fuerza | Fuerza exponencial de corto alcance | Límite newtoniano 1/D² para D ≪ ℓ |
| Calibración | Molécula de H₂:Req = 74,1 pm,De = 4,52 eV | Vía Láctea: Curva de rotación de Gaia 2024, χ²/dof = 0,24 |
| Parámetros libres | κ = 3,509Eh, αeff = 1,727 a0 | K y ℓ por componente fuente |
| Régimen físico | D ~ a0 ~ 10-¹¹ m | D ~ ℓ ~ 10²⁰ m |
| Conexión | La fórmula II surge de sumar la fórmula I sobre ~10⁶⁷ pares de partículas. La escala microscópica a0 se desacopla; ℓ viene fijada por la geometría de la fuente colectiva. | |
La fórmula I describe cómo un único elemento de masa crea una onda. La fórmula II describe cómo un conjunto de elementos de masa -una galaxia, una protuberancia, un disco- crea un campo oscuro colectivo.
La primera es mecánica cuántica. La segunda es mecánica estadística aplicada a la Teoría de la Abeja.
Por qué esta distinción es importante para las predicciones de BeeTheory
Sin esta distinción, cabría esperar que la medición de K y ℓ en una galaxia predijera inmediatamente todas las demás como constantes universales.
La realidad es más sutil. K parece ser aproximadamente universal a través del acoplamiento adimensional:
\(\lambda=K\ell^2\aprox3\)Pero ℓ debe calcularse a partir de la geometría de cada componente fuente.
La predicción se convierte en: dado el radio de escala de disco Rd de una galaxia, su longitud de coherencia de masa oscura exterior debería ser aproximadamente:
\(\ell_d\approx3R_d\)Esto puede comprobarse con el catálogo SPARC de 175 galaxias.
La relación de protuberancia ofrece una segunda prueba:
\(\frac{\ell_b}{r_b}\approx0.4\)Esto predice que los bultos compactos generan campos de masa oscura a escalas sub-kpc, concentrados cerca de los centros galácticos.
Referencias
- Dutertre, X. – Bee Theory™: Modelización de la gravedad basada en ondas, v2, BeeTheory.com, 2023. Formulación original de la función de onda de las partículas elementales.
- Kolos, W., Wolniewicz, L. – Curvas de potencial-energía para la molécula de H₂, Journal of Chemical Physics 43, 2429, 1965. Datos de calibración para la fórmula I.
- Ou, X. et al. – El perfil de materia oscura de la Vía Láctea inferido a partir de su curva de velocidad circular, MNRAS 528, 2024. Datos de calibración para la Fórmula II.
- McMillan, P. J. – MNRAS 465, 76, 2017. Modelo de masa galáctica utilizado para definir los componentes de la fuente.
- Yukawa, H. – Sobre la interacción de las partículas elementales, Actas de la Sociedad Físico-Matemática de Japón 17, 48, 1935. Estructura matemática del potencial macroscópico.
BeeTheory.com – Gravedad cuántica basada en las ondas – © Technoplane S.A.S. 2025