BeeTheory – Fundamenter – Teknisk note III

Numerisk verifikation:
BeeTheory-kraften mellem to brintatomer ved stor adskillelse

Den analytiske udledning i den forrige note forudsiger, at BeeTheory-kraften mellem to partikler følger den inverse kvadratiske lov $F \propto 1/R^2$ ved enhver afstand. Denne note præsenterer den numeriske bekræftelse, anvendt på to isolerede brintatomer adskilt af makroskopiske afstande – fra nanometer til kilometer.

1. Formler, parametre og nøgleresultater

BeeTheory tyngdekraft

$$|F_{\text{BT}}(R)| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$

Tiltrækkende, aftagende som $1/R^2$ – den inverse kvadratiske lov for gravitation, fra stoffets bølgestruktur.

Parametre brugt i simuleringen

Parameter	Symbol	Værdi	Fysisk betydning
Reduceret Planck-konstant	$\hbar$	$1.0546 \times 10^{-34}$ J-s	Kvanteaktionsskala
Elektronmasse	$m_e$	$9.1094 \times 10^{-31}$ kg	Masse af den bølgebærende partikel (elektron)
Bohrs radius	$a_0$	$5.2918 \times 10^{-11}$ m	Naturlig længdeskala for hydrogen 1s orbital
BeeTheory-kobling	$K_{\text{BT}} = \dfrac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}$.	3,461 \times 10^{-28}$ J-m	Universel præfaktor for det gravitationelle potentiale

Det vigtigste numeriske resultat

Omvendt kvadratisk lov bekræftet på alle afstande

Den numeriske simulering, der blev kørt for afstande fra $100,a_0 approx 5$ nm til $1$ km, bekræfter, at BeeTheory-kraften følger nøjagtig den samme $1/R^2$ afhængighed som Newtons lov på alle afstande. Forholdet mellem de to kræfter er en nøjagtig konstant:

$$\frac{|F_{\text{BT}}(R)|}{F_N(R)} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0\,G\,m_H^2} \;\approx\; 1,85 \times 10^{36}$$.

uafhængig af $R$. Dette er den universelle signatur: BeeTheory leverer den inverse kvadratiske lov fra bølgestrukturen alene, med amplituden indstillet af parametre på atomar skala $(\hbar, m_e, a_0)$.

2. Numeriske resultater over mere end elleve størrelsesordener i afstand

Tabellen nedenfor viser BeeTheory-potentialet $V_{text{BT}}(R)$, BeeTheory-kraften $|F_{text{BT}}(R)|$ og den tilsvarende newtonske tyngdekraft $F_N(R) = G,m_H^2/R^2$ mellem to brintatomer, vurderet på afstande fra nanometer til kilometer:

$R$	$R/a_0$	$V_{\text{BT}}(R)$ (J)	$\|F_{\text{BT}}(R)\|$ (N)	$F_N(R)$ (N)	$\|F_{\text{BT}}\|/F_N$
100 a₀ ≈ 5 nm	$1.0 \times 10^{2}$	$-6.54 \times 10^{-20}$	$1.24 \times 10^{-11}$	$6.69 \times 10^{-48}$	$1.85 \times 10^{36}$
1 µm	$1.9 \times 10^{4}$	$-3.46 \times 10^{-22}$	$3.46 \times 10^{-16}$	$1.87 \times 10^{-52}$	$1.85 \times 10^{36}$
10 µm	$1.9 \times 10^{5}$	$-3.46 \times 10^{-23}$	$3.46 \times 10^{-18}$	$1.87 \times 10^{-54}$	$1.85 \times 10^{36}$
100 µm	$1.9 \times 10^{6}$	$-3.46 \times 10^{-24}$	$3.46 \times 10^{-20}$	$1.87 \times 10^{-56}$	$1.85 \times 10^{36}$
1 mm	$1.9 \times 10^{7}$	$-3.46 \times 10^{-25}$	$3.46 \times 10^{-22}$	$1.87 \times 10^{-58}$	$1.85 \times 10^{36}$
1 cm	$1.9 \times 10^{8}$	$-3.46 \times 10^{-26}$	$3.46 \times 10^{-24}$	$1.87 \times 10^{-60}$	$1.85 \times 10^{36}$
1 m	$1.9 \times 10^{10}$	$-3.46 \times 10^{-28}$	$3.46 \times 10^{-28}$	$1.87 \times 10^{-64}$	$1.85 \times 10^{36}$
100 m	$1.9 \times 10^{12}$	$-3.46 \times 10^{-30}$	$3.46 \times 10^{-32}$	$1.87 \times 10^{-68}$	$1.85 \times 10^{36}$
1 km	$1.9 \times 10^{13}$	$-3.46 \times 10^{-31}$	$3.46 \times 10^{-34}$	$1.87 \times 10^{-70}$	$1.85 \times 10^{36}$

Den sidste kolonne viser det samme forhold ved hver afstand, hvilket numerisk bekræfter, at begge kræfter følger den samme $1/R^2$-skaleringslov. BeeTheory og Newton beskriver den samme funktionelle form for tyngdekraft; de adskiller sig kun ved en universel multiplikativ konstant.

3. Udarbejdet eksempel: to brintatomer på 1 mikrometer

For at gøre beregningen gennemsigtig skal vi betragte to brintatomer, der er adskilt af præcis 1 mikrometer – en makroskopisk afstand, omkring $19\,000$ Bohr-radier. Direkte evaluering af formlerne:

Direkte beregning ved R = 1 µm

$$V_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m}) \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R} \;=\; -3,46 \times 10^{-22}\;\text{J} \;=\; -2.16 \times 10^{-3}\;\text{eV}$$

$$|F_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m})| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2} \;=\; 3.46 \times 10^{-16}\;\text{N}$$.

$$F_N(1\,\mu\text{m}) \;=\; \frac{G\,m_H^2}{R^2} \;=\; 1,87 \times 10^{-52}\;\text{N}$$

På en mikrometer forudsiger BeeTheory en tiltrækningskraft på omkring $0,35$ femtonewton mellem de to atomer – en interaktion på kvanteskala, der følger den inverse kvadrats lov nøjagtigt. Den tilsvarende newtonske gravitationskraft, beregnet med den makroskopiske masse $m_H$ og gravitationskonstanten $G$, er $1,87 \times 10^{-52}$ N, hvilket er $1,85 \times 10^{36}$ gange mindre.

Dette forhold er det dimensionsløse gravitations-til-elektromagnetiske koblingsforhold af størrelsesorden $10^{36}$, som er velkendt i atomfysikken. BeeTheory genfinder det uden at påberåbe sig det: Kraftens præfaktor indstilles udelukkende af kvanteparametre $(\hbar, m_e, a_0)$, og sammenligningen med det makroskopiske newtonske udtryk afslører denne grundlæggende naturkonstant som et strukturelt træk ved teorien.

4. Hvad resultatet betyder på hver skala

Den samme lov på alle skalaer

Fra 5 nanometer til 1 kilometer beskrives BeeTheory-kraften mellem to brintatomer med nøjagtig den samme formel. Den funktionelle form $1/R^2$ er bevaret på tværs af mere end elleve størrelsesordener i afstand. Dette er den inverse kvadratiske gravitationslov i streng forstand – afledt af kvantemekanikken uden eksterne antagelser.

Kvanteamplitude, klassisk skalering

Amplituden $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \approx 3.46 \times 10^{-28}$ J-m er udelukkende bestemt af kvanteparametre: Plancks konstant, elektronens masse og Bohrs radius. Der er ingen $G$, ingen $m_H$, intet makroskopisk input. Alligevel er den rumlige skalering den samme som Newtons. BeeTheory forener dermed kvanteoprindelsen af den gravitationelle interaktion med dens klassiske invers-kvadratiske struktur – præcis hvad der forventes af en bølgebaseret teori om tyngdekraften.

Forholdet på 10³⁶ er en funktion, ikke en fejl

At BeeTheory-kraften mellem to enkeltpartikler er meget større end den naive newtonske tyngdekraft $G\,m_H^2/R^2$ er præcis, hvad vi burde forvente. Den newtonske gravitationskonstant $G$ styrer den makroskopiske effektive interaktion mellem store aggregater af stof; det er ikke den grundlæggende kobling på niveauet for individuelle kvantepartikler. BeeTheory gør denne sondring eksplicit ved at udlede den elementære interaktion fra parametre på atomar skala og reservere den makroskopiske newtonske formel til den kollektive opførsel af mange partikler.

5. Sammenfatning

1. BeeTheory-kraften mellem to brintatomer er $|F_{\text{BT}}(R)| = K_{\text{BT}}/R^2$ med $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \approx 3,46 \times 10^{-28}$ J-m.

2. Numerisk evaluering fra 5 nm til 1 km bekræfter den inverse kvadratiske lov $F \propto 1/R^2$ nøjagtigt.

3. Forholdet $|F_{\text{BT}}|/F_N$ er den universelle konstant $1,85 \times 10^{36}$ ved enhver afstand – det velkendte kvante-tyngdekraft-koblingsforhold, der er udledt snarere end antaget.

4. Den funktionelle form af Newtons gravitationslov gengives fra bølgemekanik alene, hvilket validerer BeeTheory-tilgangen for det elementære tilfælde med to partikler.

Den næste tekniske note i denne serie handler om, hvordan denne elementære interaktion, summeret over de mange partikler, der udgør et makroskopisk legeme, gengiver Newtons lov med standardgravitationskonstanten $G$ – overgangen fra kvanteoprindelse til klassisk makroskopisk tyngdekraft.

Referencer. Dutertre, X. – Bee Theory™: Bølgebaseret modellering af tyngdekraften, v2, BeeTheory.com (2023). Grundlæggende udledning. – Newton, I. – Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Royal Society (1687). Lov om omvendt kvadrat. – Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. – Quantum Mechanics, Vol. I, Wiley (1977). Sfærisk Laplacian og atomare enheder.

Numerisk verifikation:BeeTheory-kraften mellem to brintatomer ved stor adskillelse