BeeTheory · Foundations · Technical Note III
التحقق العددي:
القوة BeeTheory بين ذرتي هيدروجين عند فصل كبير
يُتوقع من الاشتقاق التحليلي في المذكرة السابقة أن قوة BeeTheory بين جسيمين تتبع قانون التربيع العكسي $F \propto 1/R^2$ عند كل مسافة. تعرض هذه المذكرة التأكيد العددي، المطبق على ذرتي هيدروجين معزولتين تفصل بينهما مسافات عيانية — من النانومترات إلى الكيلومترات.
1. الصيغ، المعلمات، والنتيجة الرئيسية
$$|F_{\text{BT}}(R)| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$
جاذبة، وتتضاءل وفق $1/R^2$ — قانون التربيع العكسي للجاذبية، انطلاقًا من البنية الموجية للمادة.
المعلمات المستخدمة في المحاكاة
| Parameter | Symbol | Value | Physical meaning |
|---|---|---|---|
| Reduced Planck constant | $\hbar$ | $1.0546 \times 10^{-34}$ J·s | Quantum action scale |
| Electron mass | $m_e$ | $9.1094 \times 10^{-31}$ kg | Mass of the wave-bearing particle (electron) |
| Bohr radius | $a_0$ | $5.2918 \times 10^{-11}$ m | Natural length scale of the hydrogen 1s orbital |
| BeeTheory coupling | $K_{\text{BT}} = \dfrac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}$ | $3.461 \times 10^{-28}$ J·m | Universal prefactor of the gravitational potential |
النتيجة العددية الرئيسية
Inverse-square law confirmed at every distance
تؤكد المحاكاة العددية، التي أُجريت لفواصل تمتد من $100,a_0 approx 5$ nm إلى $1$ km، أن قوة BeeTheory تتبع بالضبط نفس اعتماد $1/R^2$ مثل قانون نيوتن عند كل مسافة. إن نسبة القوتين ثابتة تمامًا:
$$\frac{|F_{\text{BT}}(R)|}{F_N(R)} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0\,G\,m_H^2} \;\approx\; 1.85 \times 10^{36}$$
بغض النظر عن $R$. هذه هي السمة الكونية المميزة: تقدم BeeTheory قانون التربيع العكسي من البنية الموجية وحدها، مع ضبط السعة بواسطة المعلمات الذرية $(\hbar, m_e, a_0)$.
2. النتائج العددية عبر أكثر من أحد عشر رتبة من الرتب في المسافة
يعرض الجدول أدناه الجهد BeeTheory $V_{text{BT}}(R)$، والقوة BeeTheory $|F_{text{BT}}(R)|$، وقوة الجذب النيوتنية المقابلة gravitational force $F_N(R) = G,m_H^2/R^2$ بين ذرتي هيدروجين، محسوبة عند مسافات تمتد من النانومتر إلى الكيلومتر:
| $R$ | $R/a_0$ | $V_{\text{BT}}(R)$ (J) | $|F_{\text{BT}}(R)|$ (N) | $F_N(R)$ (N) | $|F_{\text{BT}}|/F_N$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 100 a₀ ≈ 5 nm | $1.0 \times 10^{2}$ | $-6.54 \times 10^{-20}$ | $1.24 \times 10^{-11}$ | $6.69 \times 10^{-48}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 µm | $1.9 \times 10^{4}$ | $-3.46 \times 10^{-22}$ | $3.46 \times 10^{-16}$ | $1.87 \times 10^{-52}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 10 µm | $1.9 \times 10^{5}$ | $-3.46 \times 10^{-23}$ | $3.46 \times 10^{-18}$ | $1.87 \times 10^{-54}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 100 µm | $1.9 \times 10^{6}$ | $-3.46 \times 10^{-24}$ | $3.46 \times 10^{-20}$ | $1.87 \times 10^{-56}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 mm | $1.9 \times 10^{7}$ | $-3.46 \times 10^{-25}$ | $3.46 \times 10^{-22}$ | $1.87 \times 10^{-58}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 cm | $1.9 \times 10^{8}$ | $-3.46 \times 10^{-26}$ | $3.46 \times 10^{-24}$ | $1.87 \times 10^{-60}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 m | $1.9 \times 10^{10}$ | $-3.46 \times 10^{-28}$ | $3.46 \times 10^{-28}$ | $1.87 \times 10^{-64}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 100 m | $1.9 \times 10^{12}$ | $-3.46 \times 10^{-30}$ | $3.46 \times 10^{-32}$ | $1.87 \times 10^{-68}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 km | $1.9 \times 10^{13}$ | $-3.46 \times 10^{-31}$ | $3.46 \times 10^{-34}$ | $1.87 \times 10^{-70}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
يُظهر العمود الأخير النسبة نفسها عند كل مسافة، مؤكدًا عدديًا أن القوتين تتبعان قانون التحجيم نفسه $1/R^2$. BeeTheory and Newton describe the same functional form of gravity; they differ only by a universal multiplicative constant.
3. مثال محلول: ذرتا هيدروجين عند 1 ميكرومتر
لجعل الحساب شفافًا، اعتبر ذرتي هيدروجين تفصل بينهما مسافة 1 ميكرومتر بالضبط — وهي مسافة عيانية، تعادل نحو $19\,000$ نصف قطر بوهر. التقييم المباشر للصيغ:
Direct calculation at R = 1 µm
$$V_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m}) \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R} \;=\; -3.46 \times 10^{-22}\;\text{J} \;=\; -2.16 \times 10^{-3}\;\text{eV}$$
$$|F_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m})| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2} \;=\; 3.46 \times 10^{-16}\;\text{N}$$
$$F_N(1\,\mu\text{m}) \;=\; \frac{G\,m_H^2}{R^2} \;=\; 1.87 \times 10^{-52}\;\text{N}$$
عند ميكرومتر واحد، تتنبأ BeeTheory بقوة جاذبة تبلغ نحو $0.35$ فيمتونيوتن بين الذرتين — تفاعل على المقياس الكمي يتبع قانون التربيع العكسي بدقة. أما قوة الجاذبية النيوتنية المقابلة، المحسوبة باستخدام الكتلة العيانية $m_H$ وثابت الجاذبية $G$، فهي $1.87 \times 10^{-52}$ نيوتن، أي أصغر بمقدار $1.85 \times 10^{36}$ مرة.
هذه النسبة هي نسبة الاقتران الجاذبي-الكهرومغناطيسي اللابعدية من رتبة $10^{36}$، وهي معروفة جيدًا في الفيزياء الذرية. تستعيدها BeeTheory من دون افتراضها: إذ يحدَّد معامل القوة بالكامل بواسطة المعلمات الكمية $(\hbar, m_e, a_0)$، وتكشف المقارنة مع التعبير النيوتني العياني هذه الثابتة الأساسية للطبيعة بوصفها سمة بنيوية للنظرية.
4. ما الذي تعنيه النتيجة عند كل مقياس
The same law at every scale
من 5 نانومترات إلى 1 كيلومتر، توصف قوة BeeTheory بين ذرتي هيدروجين بالصيغة نفسها تمامًا. ويُحافظ على الشكل الوظيفي $1/R^2$ عبر أكثر من أحد عشر رتبة من الرتب في المسافة. هذا هو قانون التربيع العكسي للجاذبية، بالمعنى الدقيق — مستمد من quantum wave mechanics without external assumption.
Quantum amplitude, classical scaling
يُحدَّد المطال $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \approx 3.46 \times 10^{-28}$ J·m بالكامل بواسطة المعلمات الكمية: ثابت بلانك، كتلة الإلكترون، ونصف قطر بوهر. لا يوجد $G$، ولا $m_H$، ولا أي مدخل عياني. ومع ذلك فإن التحجيم المكاني هو نفسه كما في نيوتن. وبذلك توحِّد BeeTheory الأصل الكمي للتفاعل الجاذبي مع بنيته الكلاسيكية ذات التربيع العكسي — وهو بالضبط ما يُتوقع من theory of gravity قائم على الموجة.
The 10³⁶ ratio is a feature, not a bug
إن كون قوة BeeTheory بين جسيمين منفردين أكبر بكثير من الجاذبية النيوتنية البسيطة $G\,m_H^2/R^2$ هو بالضبط ما ينبغي توقعه. فثابت الجاذبية النيوتني $G$ يحكم التفاعل الفعال العياني بين التجمعات الكبيرة من المادة؛ وليس هو الاقتران الأساسي على مستوى الجسيمات الكمية الفردية. BeeTheory makes this distinction explicit by deriving the elementary interaction from atomic-scale parameters and reserving the macroscopic Newtonian formula for the collective behavior of many particles.
5. الملخص
1. قوة BeeTheory بين ذرتي هيدروجين هي $|F_{\text{BT}}(R)| = K_{\text{BT}}/R^2$ مع $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \approx 3.46 \times 10^{-28}$ J·m.
2. يؤكد التقييم العددي من 5 nm إلى 1 km قانون التربيع العكسي $F \propto 1/R^2$ بدقة.
3. إن النسبة $|F_{\text{BT}}|/F_N$ هي الثابت الكوني $1.85 \times 10^{36}$ عند كل مسافة — نسبة الاقتران المعروفة بين الكمية والجاذبية، المستنتجة لا المفترضة.
4. تُستعاد الصورة الوظيفية لقانون نيوتن في gravitation is reproduced from wave mechanics alone, validating the BeeTheory approach for the elementary two-particle case.
تتناول المذكرة التقنية التالية في هذه السلسلة كيف أن هذا التفاعل الأولي، عند جمعه على عدد كبير من الجسيمات التي تكوّن جسماً عيانياً، يعيد إنتاج قانون نيوتن بثابت الجاذبية القياسي $G$ — الانتقال من quantum origin to classical macroscopic gravity.
References. Dutertre, X. — Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023). Foundational derivation. · Newton, I. — Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Royal Society (1687). Inverse-square law. · Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. — Quantum Mechanics, Vol. I, Wiley (1977). Spherical Laplacian and atomic units.
BeeTheory.com — Wave-based quantum gravity · Numerical verification · © Technoplane S.A.S. 2026