Formalización:
El cálculo de la teoría de la abeja a escala galáctica

5. Convolución del campo de ondas – ecuaciones integrales por componente

La densidad del campo de ondas en una posición $\vec{r}$ es la convolución de la distribución de la fuente bariónica con el núcleo de ondas. Para un sistema galácticamente simétrico (axialmente simétrico, aproximación monopolar), cada componente bariónico contribuye de forma aditiva:

A continuación se escriben las cinco integrales, una por componente. Cada integral convierte una distribución de masa bariónica en una distribución de masa de campo de ondas en el mismo punto espacial.

5.1 Integración Bulge – 3D shell

La integración se realiza sobre cáscaras esféricas concéntricas de radio $r’$. El punto de campo a un radio $r$ del centro ve cada envoltura a una separación efectiva $D = \sqrt{r^2 + r’^2}$ en la aproximación monopolar. La integración se extiende hasta $r_\text{max} = 6\,r_b$, más allá de la cual la densidad de la protuberancia es numéricamente despreciable.

5.2 Integración disco fino – anillo 2D

El disco se descompone en anillos concéntricos de radio $R’$ y anchura infinitesimal $dR’$, cada uno de los cuales lleva una masa superficial $\Sigma_\text{thin}(R’)\pi R’\pi R’dR’$. Se aplica la misma aproximación monopolar: el campo de ondas a un radio $r$ del centro recibe contribuciones de cada anillo a una separación efectiva $D = \sqrt{r^2 + R’^2}$. El intervalo de integración es $R_\text{max} = 8\,R_d$.

5.3 Integración disco grueso – anillo 2D

Idéntica a la integración del disco delgado, con $\Sigma_\text{grueso}(R’)$ como densidad de la fuente y un parámetro de núcleo $\alpha_\text{grueso} = 1/(c_\text{disco}\,\cdot 1,5\,R_d)$. La mayor extensión radial del disco grueso da como resultado un rango de coherencia de onda ligeramente más amplio.

5.4 Anillo de gas – Integración de anillos 2D con agotamiento central

La distribución del gas tiene un agujero central, captado por el corte radial en $R_\text{hole} = 0,5\,R_g$ en el límite inferior de integración. Fuera de este corte, el gas se extiende más que el disco estelar; esto se refleja en la mayor escala característica $R_g = 1,7\,R_d$, que alimenta la longitud de coherencia $\ell_\text{gas} = c_\text{disk}\,R_g$.

5.5 Exceso de brazo en espiral – Integración de anillos 2D con amplitud reducida

Los brazos en espiral se tratan como un realce promediado axialmente de la densidad superficial del disco delgado en el nivel de $10\%$, con su propia longitud de coherencia $\ell_\text{arm} = c_\text{arm}\,R_d$. El núcleo es, por tanto, más estrecho que el del disco delgado, lo que refleja la concentración azimutal de la estructura en espiral.

7. Parámetros a nivel teórico

El marco completo de BeeTheory, aplicado a las galaxias, contiene cinco parámetros a nivel teórico. Estos son universales: no varían de una galaxia a otra.

Símbolo	Significado	Papel
$K_0$	Amplitud de la masa de onda	Establece la escala adimensional del núcleo de onda
$c_\text{sph}$	Constante geométrica 3D	Relación $\ell/r_\text{scale}$ para fuentes esféricas (protuberancia)
$c_\text{disco}$	Constante geométrica 2D	Relación $\ell/R_\text{scale}$ para fuentes de disco y de anillo
$c_\text{arm}$	Constante geométrica espiral	Relación $\ell/R_d$ para el exceso de brazo concentrado azimutalmente
$\lambda$	Acoplamiento global onda-campo	Escala la densidad total del campo de ondas

9. El papel de la densidad de la superficie central (Revisión de la Nota XI)

El diagnóstico de la Nota XI identificó que el error de predicción residual se correlaciona fuertemente con la densidad de superficie bariónica central $\Sigma_d$, independientemente de la longitud de escala del disco $R_d$. La formalización presentada más arriba es la versión del modelo anterior a la incorporación de este hallazgo – utiliza sólo $R_d$ en las expresiones de longitud de coherencia $\ell_i = c_i\,R_d$.

La estructura unidireccional del cálculo se conserva con este refinamiento: $\Sigma_d$ es una entrada observacional, las longitudes de coherencia modificadas alimentan las mismas integrales de convolución y la curva de rotación emerge como antes. Sólo se añade un vínculo operativo: la dependencia de $\ell_i$ de un segundo observable.

10. Resumen de la metodología

1. Entradas. Cinco observables por galaxia: tipo de Hubble $T$, escala del disco $R_d$, brillo superficial $\Sigma_d$, masa HI $M_\text{HI}$, y la relación universal masa-luz estelar $\Upsilon_\star$.

2. Descomposición bariónica. Cinco componentes: protuberancia (si $T \leq 4$), disco delgado, disco grueso, anillo de gas, exceso de brazo espiral. Cada uno lleva un perfil de densidad analítico.

3. Núcleo de onda. Forma universal tipo Yukawa $\mathcal{K}_i(D) = K_0\,(1 + \alpha_i D)\,e^{-\alpha_i D}/D^2$ con longitud de coherencia $\ell_i = c_i\,R_text{scale}$ determinada por la extensión geométrica de cada componente.

4. Convolución. Cada componente genera una densidad de campo de ondas mediante una integral unidimensional sobre anillos (componentes 2D) o conchas (protuberancia 3D). La densidad de campo de ondas total es la suma de los cinco componentes, escalada por el acoplamiento global $\lambda$.

5. Resultado. La masa de onda adjunta $M_\text{onda}(R)$ se integra y se combina con la velocidad bariónica $V_\text{bar}(R)$ para obtener la curva de rotación prevista $V_c(R)$.

6. Parámetros a nivel de teoría. $(K_0,\,c_\text{sph},\,c_\text{disk},\,c_\text{arm},\,\lambda)$ – universal, sin ajuste por galaxia. Un refinamiento en estudio añadirá una dependencia de $\Sigma_d$.

7. Dirección. Entradas → bariones → campo de ondas → curva de rotación. No hay retroalimentación. La curva de rotación es una predicción, no un ajuste.