BeeTheory – 기초 – 기술 노트 III

수치적 검증:
크게 분리된 두 수소 원자 사이의 벌이론 힘

이전 노트의 분석적 도출에 따르면 두 입자 사이의 벌이론 힘은 모든 거리에서 역제곱 법칙 $F \propto 1/R^2$를 따른다고 예측합니다. 이 노트에서는 나노미터에서 킬로미터에 이르는 거시적 거리로 분리된 두 개의 수소 원자에 적용한 수치적 확인을 제시합니다.

1. 수식, 매개변수 및 주요 결과

벌 이론 중력

$$|F_{\text{BT}}(R)| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$

인력은 물질의 파동 구조에서 중력의 역제곱 법칙인 $1/R^2$에 따라 감소합니다.

시뮬레이션에 사용된 파라미터

매개변수	기호	가치	물리적 의미
플랑크 상수 감소	$\hbar$	1.0546 \times 10^{-34}$ J-s	퀀텀 액션 스케일
전자 질량	$m_e$	9.1094 \times 10^{-31}$ kg	파동을 지닌 입자 (전자)의 질량
보어 반경	$a_0$	5.2918 \times 10^{-11}$ m	수소 1초 궤도의 자연 길이 척도
BeeTheory 커플링	$K_{\text{BT}} = \dfrac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}$	3.461 \times 10^{-28}$ J-m	중력 전위의 범용 전제 인자

주요 수치 결과

모든 거리에서 역제곱 법칙 확인

100,a_0 약 5$ nm에서 $1$ km에 이르는 거리에서 실행한 수치 시뮬레이션 결과, 모든 거리에서 벌 이론의 힘이 뉴턴의 법칙과 정확히 동일한 $1/R^2$ 의존성을 따르는 것으로 확인되었습니다. 두 힘의 비율은 정확히 상수입니다:

$$\frac{|F_{\text{BT}}(R)|}{F_N(R)} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0\,G\,m_H^2} \;\약\; 1.85 \times 10^{36}$$

R$과 무관합니다. 이것이 보편적인 서명입니다: BeeTheory는 파동 구조만으로 역제곱 법칙을 제공하며, 진폭은 원자 규모의 매개 변수 $(\hbar, m_e, a_0)$로 설정됩니다.

2. 11배 이상의 거리에 걸친 수치 결과

아래 표는 두 수소 원자 사이의 벌이론 전위 $V_{text{BT}}(R)$, 벌이론 힘 $|F_{text{BT}}(R)|$, 해당 뉴턴 중력 $F_N(R) = G,m_H^2/R^2$를 나노미터에서 킬로미터에 이르는 거리에서 평가하여 나타낸 것입니다:

$R$	$R/a_0$	V_{\text{BT}}(R)$ (J)	$\|F_{\text{BT}}(R)\|$ (N)	$F_N(R)$ (N)	$\|F_{\text{BT}}\|/F_N$
100 a₀ ≈ 5 nm	1.0 \times 10^{2}$	$-6.54 \times 10^{-20}$	1.24 \times 10^{-11}$	$6.69 \times 10^{-48}$	1.85 \times 10^{36}$
1 µm	1.9 \times 10^{4}$	$-3.46 \times 10^{-22}$	3.46 \times 10^{-16}$	1.87 \times 10^{-52}$	1.85 \times 10^{36}$
10 µm	1.9 \times 10^{5}$	$-3.46 \times 10^{-23}$	3.46 \times 10^{-18}$	1.87 \times 10^{-54}$	1.85 \times 10^{36}$
100 µm	1.9 \times 10^{6}$	$-3.46 \times 10^{-24}$	3.46 \times 10^{-20}$	1.87 \times 10^{-56}$	1.85 \times 10^{36}$
1mm	1.9 \times 10^{7}$	$-3.46 \times 10^{-25}$	3.46 \times 10^{-22}$	1.87 \times 10^{-58}$	1.85 \times 10^{36}$
1cm	1.9 \times 10^{8}$	$-3.46 \times 10^{-26}$	3.46 \times 10^{-24}$	1.87 \times 10^{-60}$	1.85 \times 10^{36}$
1 m	1.9 \times 10^{10}$	$-3.46 \times 10^{-28}$	3.46 \times 10^{-28}$	1.87 \times 10^{-64}$	1.85 \times 10^{36}$
100 m	1.9 \times 10^{12}$	$-3.46 \times 10^{-30}$	3.46 \times 10^{-32}$	1.87 \times 10^{-68}$	1.85 \times 10^{36}$
1km	1.9 \times 10^{13}$	$-3.46 \times 10^{-31}$	3.46 \times 10^{-34}$	1.87 \times 10^{-70}$	1.85 \times 10^{36}$

마지막 열은 모든 거리에서 동일한 비율을 나타내며, 두 힘이 동일한 $1/R^2$ 배율 법칙을 따른다는 것을 수치적으로 확인시켜 줍니다. 만유인력과 뉴턴은 동일한 함수 형태의 중력을 설명하며, 단지 보편적인 곱셈 상수만 다릅니다.

3. 작동 예: 1마이크로미터에서 수소 원자 2개

계산을 투명하게 하기 위해 거시적 거리인 약 $19\,000$ 보어 반지름으로 정확히 1마이크로미터 떨어져 있는 두 개의 수소 원자를 생각해 보겠습니다. 공식을 직접 평가합니다:

R = 1 µm에서 직접 계산

$$V_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m}) \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R} \;=\; -3.46 \times 10^{-22}\;\text{J} \;=\; -2.16 \times 10^{-3}\;\text{eV}$$

$$|F_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m})| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2} \;=\; 3.46 \times 10^{-16}\;\text{N}$$

$$F_N(1\,\mu\text{m}) \;=\; \frac{G\,m_H^2}{R^2} \;=\; 1.87 \times 10^{-52}\;\text{N}$$

1 마이크로미터에서 BeeTheory는 두 원자 사이에 약 $0.35$ 펨토뉴턴의 인력, 즉 역제곱 법칙을 정확히 따르는 양자 규모의 상호 작용이 있을 것으로 예측합니다. 거시적 질량 $m_H$와 중력 상수 $G$로 계산한 해당 뉴턴 중력은 1.87 \배 10^{-52}$ N이며, 이는 1.85 \배 10^{36}$ 배 더 작습니다.

이 비율은 원자 물리학에서 잘 알려진 10^{36}$ 차수의 무차원 중력 대 전자기 결합 비율입니다. 힘의 전제인자는 전적으로 양자 파라미터 $(\hbar, m_e, a_0)$에 의해 설정되며, 거시적인 뉴턴 식과 비교하면 이 자연의 기본 상수가 이론의 구조적 특징임을 알 수 있습니다.

4. 각 척도에서 결과가 의미하는 것

모든 규모에서 동일한 법칙

5 나노미터에서 1 킬로미터까지 두 수소 원자 사이의 벌이론 힘은 정확히 동일한 공식으로 설명됩니다. 함수 형식 $1/R^2$는 11배 이상의 거리에 걸쳐 유지됩니다. 이것은 엄밀한 의미에서 중력의 역제곱 법칙으로, 외부 가정 없이 양자 파동 역학에서 도출된 것입니다.

양자 진폭, 고전적 스케일링

진폭 $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \약 3.46 \times 10^{-28}$ J-m은 전적으로 양자 매개변수에 의해 결정됩니다: 플랑크 상수, 전자 질량, 보어 반경. G$도 없고, $m_H$도 없고, 거시적인 입력도 없습니다. 그러나 공간 배율은 뉴턴의 것과 동일합니다. 따라서 비이론은 중력 상호작용의 양자적 기원을 고전적인 역제곱 구조로 통합하여 파동 기반 중력 이론에서 기대할 수 있는 것과 정확히 일치합니다.

10³⁶ 비율은 버그가 아닌 특징입니다.

두 단일 입자 사이의 벌이론의 힘이 순진한 뉴턴 중력 $G\,m_H^2/R^2$보다 훨씬 크다는 것은 정확히 우리가 예상해야 하는 것입니다. 뉴턴 중력 상수 $G$는 물질의 큰 집합체 사이의 거시적인 효과적인 상호작용을 지배하며, 개별 양자 입자 수준에서의 근본적인 결합은 아닙니다. BeeTheory는 원자 규모의 매개변수에서 기본 상호작용을 도출하고 많은 입자의 집합적 행동에 대해서는 거시적인 뉴턴 공식을 유보함으로써 이러한 구분을 명확히 합니다.

5. 요약

1. 두 수소 원자 사이의 벌 이론 힘은 $|F_{\text{BT}}(R)| = K_{\text{BT}}/R^2$이며, $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \약 3.46 \times 10^{-28}$ J-m이 됩니다.

2. 5nm에서 1km까지의 수치 평가는 역제곱 법칙 $F \propto 1/R^2$를 정확히 확인합니다.

3. F_{\text{BT}}|/F_N$ 비율은 모든 거리에서 1.85 \배 10^{36}$의 보편 상수로, 가정이 아닌 도출된 잘 알려진 양자-중력 결합 비율입니다.

4. 파동 역학만으로 뉴턴의 중력 법칙의 함수 형태를 재현하여 기본 두 입자 사례에 대한 BeeTheory 접근법을 검증합니다.

이 시리즈의 다음 기술 노트에서는 거시계를 구성하는 수많은 입자를 합산한 이 기본 상호작용이 어떻게 양자 기원으로부터 고전적 거시 중력으로의 전환이라는 뉴턴의 법칙을 표준 중력상수 $G$로 재현하는지에 대해 설명합니다.

참고 문헌. 두테르트르, X. – 꿀벌 이론™: 파동 기반 중력 모델링, v2, BeeTheory.com (2023). 기초 파생. – 뉴턴, I. – 자연철학 원리 수학, 왕립 학회 (1687). 역 제곱 법칙. – 코헨-탄누지, C., 디우, B., 랄로에, F. -양자 역학, 제 1 권, 와일리 (1977). 구형 라플라시안 및 원자 단위.

수치적 검증:크게 분리된 두 수소 원자 사이의 벌이론 힘