BeeTheory · 基础 · 技术说明 III
数值验证：
大距离下两个氢原子之间的 BeeTheory 力
前一篇说明中的解析推导预测，两个粒子之间的 BeeTheory 力在任何距离上都遵循反平方定律 $F \propto 1/R^2$。本说明给出了数值确认，适用于两个相隔宏观距离的孤立氢原子——从纳米到千米。
1. 公式、参数与关键结果
$$|F_{\text{BT}}(R)| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$
吸引性，按 $1/R^2$ 衰减——从物质波结构中得出的重力反平方定律。
模拟中使用的参数
| 参数 | 符号 | 数值 | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 约化普朗克常数 | $\hbar$ | $1.0546 \times 10^{-34}$ J·s | 量子作用尺度 |
| 电子质量 | $m_e$ | $9.1094 \times 10^{-31}$ kg | 携带波的粒子的质量（电子） |
| 玻尔半径 | $a_0$ | $5.2918 \times 10^{-11}$ m | 氢原子 1s 轨道的自然长度尺度 |
| BeeTheory 耦合常数 | $K_{\text{BT}} = \dfrac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}$ | $3.461 \times 10^{-28}$ J·m | 重力势能的普适前因子 |
关键数值结果
在任何距离上都确认了反平方定律
这项 数值模拟 运行于从 $100,a_0 approx 5$ nm 到 $1$ km 的分离距离，确认 BeeTheory 力在任何距离上都与牛顿定律一样，严格遵循相同的 $1/R^2$ 依赖关系。两种力的比值是一个精确常数：
$$\frac{|F_{\text{BT}}(R)|}{F_N(R)} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0\,G\,m_H^2} \;\approx\; 1.85 \times 10^{36}$$
与 $R$ 无关。这就是普适特征：BeeTheory 仅凭波结构就给出了反平方定律，而幅度由原子尺度参数 $(\hbar, m_e, a_0)$ 决定。
2. 跨越超过十一数量级距离的数值结果
下表给出了 BeeTheory 势能 $V_{text{BT}}(R)$、BeeTheory 力 $|F_{text{BT}}(R)|$，以及对应的牛顿 重力 $F_N(R) = G,m_H^2/R^2$，这些量是在跨越从纳米到千米的距离上求得的两个氢原子之间的结果：
| $R$ | $R/a_0$ | $V_{\text{BT}}(R)$ (J) | $|F_{\text{BT}}(R)|$ (N) | $F_N(R)$ (N) | $|F_{\text{BT}}|/F_N$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 100 a₀ ≈ 5 nm | $1.0 \times 10^{2}$ | $-6.54 \times 10^{-20}$ | $1.24 \times 10^{-11}$ | $6.69 \times 10^{-48}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 µm | $1.9 \times 10^{4}$ | $-3.46 \times 10^{-22}$ | $3.46 \times 10^{-16}$ | $1.87 \times 10^{-52}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 10 µm | $1.9 \times 10^{5}$ | $-3.46 \times 10^{-23}$ | $3.46 \times 10^{-18}$ | $1.87 \times 10^{-54}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 100 µm | $1.9 \times 10^{6}$ | $-3.46 \times 10^{-24}$ | $3.46 \times 10^{-20}$ | $1.87 \times 10^{-56}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 mm | $1.9 \times 10^{7}$ | $-3.46 \times 10^{-25}$ | $3.46 \times 10^{-22}$ | $1.87 \times 10^{-58}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 cm | $1.9 \times 10^{8}$ | $-3.46 \times 10^{-26}$ | $3.46 \times 10^{-24}$ | $1.87 \times 10^{-60}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 m | $1.9 \times 10^{10}$ | $-3.46 \times 10^{-28}$ | $3.46 \times 10^{-28}$ | $1.87 \times 10^{-64}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 100 m | $1.9 \times 10^{12}$ | $-3.46 \times 10^{-30}$ | $3.46 \times 10^{-32}$ | $1.87 \times 10^{-68}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
| 1 km | $1.9 \times 10^{13}$ | $-3.46 \times 10^{-31}$ | $3.46 \times 10^{-34}$ | $1.87 \times 10^{-70}$ | $1.85 \times 10^{36}$ |
最后一列在每个距离上都显示相同的比值，数值上确认了 两种力都遵循相同的 $1/R^2$ 标度定律。BeeTheory 和 Newton 描述的是同一个函数 形式的引力；它们只是在一个普适乘法常数上不同。
3. 计算示例：1 微米处的两个氢原子
为使计算透明，考虑两个相距恰好 1 微米的氢原子——一个宏观距离，约为 $19\,000$ 个玻尔半径。直接代入公式：
R = 1 µm 处的直接计算
$$V_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m}) \;=\; -\frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R} \;=\; -3.46 \times 10^{-22}\;\text{J} \;=\; -2.16 \times 10^{-3}\;\text{eV}$$
$$|F_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m})| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2} \;=\; 3.46 \times 10^{-16}\;\text{N}$$
$$F_N(1\,\mu\text{m}) \;=\; \frac{G\,m_H^2}{R^2} \;=\; 1.87 \times 10^{-52}\;\text{N}$$
在 1 微米处，BeeTheory 预测两个原子之间存在约 $0.35$ 飞牛的吸引力——一种严格遵循反平方定律的量子尺度相互作用。按宏观质量 $m_H$ 和引力常数 $G$ 计算的对应牛顿引力为 $1.87 \times 10^{-52}$ N，小了 $1.85 \times 10^{36}$ 倍。
这个比值是无量纲的引力-电磁耦合比，数量级为 $10^{36}$，在原子物理中广为人知。BeeTheory 并未假定这一点，而是将其重新推导出来：力的前因子完全由量子参数 $(\hbar, m_e, a_0)$ 决定，而与宏观牛顿表达式的比较则将这一自然基本常数揭示为该理论的结构性特征。
4. 该结果在各个尺度上的含义
每个尺度上都是同一条定律
从 5 纳米到 1 千米，两个氢原子之间的 BeeTheory 力都由完全相同的公式描述。函数形式 $1/R^2$ 在超过十一数量级的距离范围内保持不变。这就是严格意义上的重力反平方定律——从量子波力学中推导出来，无需外加假设。
量子幅度，经典标度
幅度 $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \approx 3.46 \times 10^{-28}$ J·m 完全由量子参数决定：普朗克常数、电子质量、玻尔半径。这里没有 $G$，没有 $m_H$，也没有宏观输入。然而其空间标度与 Newton 相同。BeeTheory 因而将重力相互作用的量子起源与其经典反平方结构统一起来——这正是基于波的重力理论所应有的结果。
10³⁶ 的比值是特征，不是缺陷
两个单粒子之间的 BeeTheory 力远大于朴素的牛顿引力 $G\,m_H^2/R^2$，这正是我们应当预期的。Newton 引力常数 $G$ 描述的是大规模物质聚合体之间的宏观有效相互作用；它并不是单个量子粒子层面的基本耦合。BeeTheory 通过推导 从原子尺度参数出发明确了这一区别，并将宏观牛顿公式保留给多粒子体系的集体行为。
5. 总结
1. 两个氢原子之间的 BeeTheory 力为 $|F_{\text{BT}}(R)| = K_{\text{BT}}/R^2$，其中 $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_e\,a_0) \approx 3.46 \times 10^{-28}$ J·m。
2. 从 5 nm 到 1 km 的数值计算精确确认了反平方定律 $F \propto 1/R^2$。
3. 比值 $|F_{\text{BT}}|/F_N$ 在任何距离上都是普适常数 $1.85 \times 10^{36}$——这就是众所周知的量子到引力的耦合比，它是被推导出来的，而不是被假定的。
4. Newton 引力定律的函数形式仅由波动力学重现，从而验证了 BeeTheory 在基本双粒子情形下的方法。
本系列中的下一篇技术说明将讨论：当这种基本相互作用在构成宏观物体的众多粒子上求和后，如何重现带有标准引力常数 $G$ 的 Newton 定律——从量子起源到经典宏观引力的过渡。
参考文献。 Dutertre, X. — Bee Theory™: 基于波的重力建模，v2，BeeTheory.com（2023）。基础推导。· Newton, I. — Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica，Royal Society（1687）。反平方定律。· Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. — Quantum Mechanics，第 I 卷，Wiley（1977）。球拉普拉斯算符与原子单位。
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