نظرية النحلة – الأسس – المذكرة الفنية الثالثة

التحقق العددي:
قوة نظرية النحلة بين ذرتين هيدروجين عند فصل كبير

يتنبأ الاشتقاق التحليلي للملاحظة السابقة بأن قوة نظرية النحل بين جسيمين تتبع قانون المربع العكسي $F \propto 1/R ^2$ عند كل مسافة. تقدم هذه الملاحظة التأكيد العددي الذي تم تطبيقه على ذرتين هيدروجين منعزلتين تفصل بينهما مسافات ماكروسكوبية – من النانومتر إلى الكيلومتر.

1. الصيغ والمعلمات والنتيجة الرئيسية

نظرية قوة الجاذبية

$$|F_{\text{BT}}(R)| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2}$$

جاذبية، تتناقص مع تناقص 1$/ R^2$ – قانون المربع العكسي للجاذبية، من البنية الموجية للمادة.

المعلمات المستخدمة في المحاكاة

المعلمة	الرمز	القيمة	المعنى المادي
ثابت بلانك المخفض	دولار أمريكي	1.0546 \times 10^{-34}$ J-s دولار أمريكي	مقياس العمل الكمي
كتلة الإلكترون	دولار أمريكي	9.1094 دولارًا أمريكيًا في 10^^{-31}$ كجم	كتلة الجسيم الحامل للموجة (الإلكترون)
نصف قطر بوهر	$a_0$	5.2918 \5.2918 دولارًا أمريكيًا في 10^{-11}$ م	مقياس الطول الطبيعي لمدار الهيدروجين 1s
اقتران نظرية النحل	\$K_{{\نص{{BT}} = \dfrac{3\hbar ^2}{2\، م_هـ\، أ_0}$	3.461 \3.461 \times 10^{28}$ J-m	العامل المسبق العام لإمكانات الجاذبية

النتيجة العددية الرئيسية

تأكيد قانون المربع العكسي عند كل مسافة

تؤكد المحاكاة العددية، التي أُجريت على مسافات تتراوح بين 100,a_0 حوالي 5$ نانومتر و1$ كم، أن قوة نظرية النحل تتبع بالضبط نفس الاعتماد على قانون نيوتن 1/R^2$ عند كل مسافة. النسبة بين القوتين هي ثابت دقيق:

$$\frac{|F_{\text{BT}}(R)|}{F_N(R)} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0\,G\,m_H^2} \1.85 \times 10^{36}}$$$$$$

مستقل عن $R$$. هذا هو التوقيع العام: تقدم نظرية النحلة قانون المربع العكسي من البنية الموجية وحدها، مع تحديد السعة بواسطة معاملات المقياس الذري $$ (\hbar، m_e، a_0)$.

2. النتائج العددية عبر أكثر من إحدى عشرة رتبة من حيث الحجم في المسافة

يعرض الجدول أدناه إمكانات نظرية النحل $V_{{{text{BT}}(R)$، وقوة نظرية النحل $$F_{{text{BT}}(R)|$، وقوة الجاذبية النيوتونية المناظرة $F_N(R) = G,m_H^2/R^2$ بين ذرتي هيدروجين، مقدرة على مسافات تمتد من النانومتر إلى الكيلومتر:

$R$	$ R/A_0$	$_V_{{{{\text{BT}}(R)$ (J)	\|$$ F_{{{\text{BT}}(R)\|$ (N)	$ F_N(R)$ (N) (N)	$\|F_{\text{BT}}\|/F_N$
100 أ ₀ ₀ ≈ 5 نانومتر	1.0 دولار أمريكي 1.0 دولار أمريكي 10^^{2}$	6.54 دولارًا أمريكيًا في 10^^{-20}$ دولارًا أمريكيًا	1.24 دولار في 10^^{-11}$ دولار	6.69 دولارًا أمريكيًا في 10^^{-48}$	1.85 دولار في 10^^{36}$ دولار
1 ميكرومتر	1.9 \times 10^^{4}$ دولار أمريكي	$ 3.46 \3.46 \times 10^{-22}$$	3.46 دولار في 10^^{-16}$ دولار	1.87 دولار في 10^^{-52}$ دولار	1.85 دولار في 10^^{36}$ دولار
10 ميكرومتر	1.9 \times 10^^{5}$ دولار أمريكي	$ 3.46 \3.46 \أضعاف 10^{23}$	3.46 \3.46 دولارًا أمريكيًا في 10^^{-18}$	1.87 دولار في 10^^{-54}$ دولار	1.85 دولار في 10^^{36}$ دولار
100 ميكرومتر	1.9 \times 10^^{6}$ دولار أمريكي	$-3.46 \times 10^{-24}$ دولار أمريكي	3.46 دولارًا أمريكيًا في 10^^{-20}$ دولارًا أمريكيًا	1.87 دولار في 10^^{-56}$ دولار	1.85 دولار في 10^^{36}$ دولار
1 مم	1.9 \times 10^{7}$ دولار أمريكي	$ 3.46 \3.46 \times 10^{25}$ دولار	3.46 \3.46 دولارًا أمريكيًا في 10^^{22}$	1.87 دولار في 10^^{-58}$ دولار	1.85 دولار في 10^^{36}$ دولار
1 سم	1.9 \times 10^{8}$ دولار أمريكي	$ 3.46 \3.46 \أضعاف 10^{26}$	3.46 دولار في 10^^{-24}$ دولار	1.87 دولار في 10^^{-60}$ دولار	1.85 دولار في 10^^{36}$ دولار
1 m	1.9 \times 10^{10}$ دولار أمريكي	$ 3.46 \3.46 \times 10^{-28}$$	3.46 \3.46 دولارًا أمريكيًا في 10^^{28}$	1.87 دولار في 10^^{-64}$ دولار	1.85 دولار في 10^^{36}$ دولار
100 m	1.9 \times 10^^{12}$ دولار أمريكي	$ 3.46 \3.46 \times 10^{-30}$$	3.46 دولار في 10^^{-32}$ دولار	1.87 دولار في 10^^{-68}$ دولار	1.85 دولار في 10^^{36}$ دولار
1 كم	1.9 \times 10^{13}$ دولار أمريكي	$ 3.46 \3.46 \times 10^{-31}$$	3.46 \3.46 دولارًا أمريكيًا في 10^^{-34}$	1.87 دولار في 10^^{-70}$ دولار	1.85 دولار في 10^^{36}$ دولار

يوضِّح العمود الأخير النسبة نفسها عند كل مسافة، وهو ما يؤكِّد عدديًّا أن كلتا القوتين تتبعان قانون القياس نفسه 1$/^2$. تصف نظرية النحل ونظرية نيوتن نفس الشكل الوظيفي للجاذبية؛ فهما يختلفان فقط بثابت مضاعف عام.

3. مثال عملي: ذرتا هيدروجين عند 1 ميكرومتر

لجعل العملية الحسابية شفافة، ضع في اعتبارك ذرتين من الهيدروجين يفصل بينهما ميكرومتر واحد بالضبط – وهي مسافة ماكروسكوبية، حوالي 19 \000 دولار أمريكي نصف قطر بوهر. التقييم المباشر للمعادلات:

الحساب المباشر عند R = 1 ميكرومتر

$$$$V_{{{\{نص{{BT}}(1\، \mu\\{m}) \\؛ =\\؛ -\frac{3\hbar ^2}{2\، m_e\\، a_0}\cdot\frac{{1\}{R} \؛ =\؛ -3.46 \times 10^{-22}\\\\نص{J} \;=\\؛ -2.16 \times 10^{-3}\\؛ \text{eV}$$$$$

$$|F_{\text{BT}}(1\,\mu\text{m})| \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_e\,a_0}\cdot\frac{1}{R^2} \\؛ =\\؛ 3.46 \times 10^{-16}\؛ \\text{N}$$$$

$$$$$F_N(1\\، \mu\mu\m\m{m}) \؛ =\\\؛ \frac{G\\,m_H_^2}{R^2} \؛ =\\؛ 1.87 \times 10^{-52}\؛ \text{N}$$$$

عند الميكرومتر الواحد، تتنبأ نظرية بيي بقوة تجاذب تبلغ حوالي 0.35$ فيمتون-فيمتون-و طن بين الذرتين – وهو تفاعل على المستوى الكمّي يتبع قانون المربع العكسي بالضبط. قوة الجاذبية النيوتونية المقابلة، محسوبة بالكتلة العيانية $m_H$ وثابت الجاذبية $G$، هي 1.87 \times 10^{-52}$ N، أي أقل بمقدار 1.85 \times 10^{36}$.

هذه النسبة هي نسبة اقتران الجاذبية إلى الكهرومغناطيسية بلا أبعاد من الرتبة 10^{36}$ المعروفة جيدًا في الفيزياء الذرية. تستعيدها نظرية بيولوجي دون استحضارها: يتم تحديد العامل المسبق للقوة بالكامل بواسطة المعاملات الكمية $(\hbar، m_e، a_0)$، وتكشف المقارنة بالتعبير النيوتوني العياني عن هذا الثابت الأساسي للطبيعة كخاصية بنيوية للنظرية.

4. ماذا تعني النتيجة عند كل مقياس

القانون نفسه في كل مقياس

من 5 نانومتر إلى 1 كيلومتر، توصف قوة بيثوري بين ذرتي هيدروجين بنفس الصيغة بالضبط. يتم الحفاظ على الصيغة الدالة $1/R^2$ عبر أكثر من إحدى عشرة رتبة من حيث الحجم في المسافة. هذا هو قانون المربع العكسي للجاذبية، بالمعنى الدقيق للكلمة – المشتق من ميكانيكا الموجات الكمية دون افتراض خارجي.

السعة الكمية، القياس الكلاسيكي

يتم تحديد السعة $K_{\{\text{BT}} = 3\hbar ^2/(2\، م_e\، a_0) \تقريبًا 3.46 \times 10^{-28}$ J-m بالكامل بواسطة معاملات الكم: ثابت بلانك، وكتلة الإلكترون، ونصف قطر بوهر. لا يوجد $G$، ولا $m_H$، ولا يوجد مدخلات ماكروسكوبية. ومع ذلك فإن القياس المكاني هو نفس قياس نيوتن. وبذلك توحِّد نظرية النحل الأصل الكمي لتفاعل الجاذبية مع بنيتها المربعة العكسية الكلاسيكية – وهو بالضبط ما هو متوقع من نظرية الجاذبية القائمة على الموجات.

إن نسبة 10⁶ هي ميزة وليست عيبًا

إن كون قوة نظرية النحلة بين جسيمين منفردين أكبر بكثير من الجاذبية النيوتونية الساذجة $G\،m_H^2^^2^$ هو بالضبط ما يجب أن نتوقعه. يحكم ثابت الجاذبية النيوتونية $G$ ثابت الجاذبية النيوتونية التفاعل الفعال العياني بين تجمعات كبيرة من المادة، وليس الاقتران الأساسي على مستوى الجسيمات الكمية المنفردة. وتوضح نظرية بي هذا التمييز من خلال اشتقاق التفاعل الأولي من معاملات على المستوى الذري والاحتفاظ بالصيغة النيوتونية العيانية للسلوك الجماعي للعديد من الجسيمات.

5. ملخص

1. قوة نظرية النحلة بين ذرتي هيدروجين هي |F_F_{\\text{BT}(R)||| = K_{\\text{BT}} / R2^2$ مع $K_{\\text{BT}= 3\hbar^2/(2\، م_e\، a_0) \تقريبًا 3.46 \times 10^{-28}$ J-m.

2. يؤكد التقييم العددي من 5 نانومتر إلى 1 كم قانون المربع العكسي $F \propto 1/R ^ 2$ بالضبط.

3. النسبة $ |F_F_{\{{{text{{BT}}} |/F_N$ هي الثابت العام 1.85 \times 10^{36}$ عند كل مسافة – وهي نسبة اقتران الكم إلى الجاذبية المعروفة جيداً، وهي نسبة مشتقة وليست مفترضة.

4. تُستنسخ الصورة الوظيفية لقانون نيوتن للجاذبية من ميكانيكا الموجات وحدها، مما يؤكد صحة نهج نظرية النحل في حالة الجسيمين الأوليين.

تتناول المذكرة الفنية التالية في هذه السلسلة كيف أن هذا التفاعل الأولي، الذي يتم جمعه على العديد من الجسيمات التي يتكون منها الجسم العياني، يعيد إنتاج قانون نيوتن مع ثابت الجاذبية القياسي $G$ – الانتقال من الأصل الكمي إلى الجاذبية العيانية الكلاسيكية.

المراجع. دوتيرتر، إكس. – نظرية النحل™: النمذجة المستندة إلى الموجة للجاذبية، الإصدار 2، BeeTheory.com (2023). الاشتقاق التأسيسي. – نيوتن، إ. – Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica، الجمعية الملكية (1687). قانون المربع العكسي. – كوهين-تانودجي، ج.، ديو، ب.، لالوا، ف. – ميكانيكا الكم، المجلد الأول، وايلي (1977). لابلاسيان الكروي والوحدات الذرية.

التحقق العددي:قوة نظرية النحلة بين ذرتين هيدروجين عند فصل كبير