BeeTheory — научная деривация — 2025
Волновые функции для двух атомов водорода: Строгое выведение и калибровка
Начиная с постулата BeeTheory об экспоненциально-р-образных волновых функциях, мы выводим точную энергию 3D-взаимодействия, корректируем исходное монопольное приближение и калибруем по известной молекуле H₂ с помощью двух параметров, которые воспроизводят эксперимент с точностью менее 0,2%.
BeeTheory.com — Основано на BeeTheory v2 (Dutertre, 2023) — расширено и исправлено
κ = 3,509 Eh
Сопряжение волновой массы
αeff = 1.727 a0
Эффективный диапазон волн
Req = 74.2 pm
По сравнению с экспериментом: 74,1 стр.
De = 4,517 эВ
По сравнению с экспериментом: 4,52 эВ
0. Выводы — Сначала результаты
Волновая модель BeeTheory представляет каждый атом водорода сферической волновой функцией:
\(\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}\)Когда два атома взаимодействуют на расстоянии R, модель дает эффективную энергию притягательного взаимодействия, точная форма которой после полного 3D интегрирования представляет собой потенциал типа Юкавы:
\(E_{\mathrm{att}}(R)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}\)В сочетании с ядерным отталкиванием в атомных единицах эта двухпараметрическая модель воспроизводит равновесное расстояние и энергию диссоциации молекулы H₂ после калибровки по экспериментальным данным.
Ключевой результат оригинальной статьи BeeTheory подтверждается: волновое взаимодействие создает притягивающую силу. Однако приближение монополя здесь исправлено, поскольку оно теряет R-зависимость. Исправленная модель дает форму Юкавы с калиброванными коэффициентами.
\(E(R)=\underbrace{-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}}_{\text{wave attraction}}+\underbrace{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}}_{\text{nuclear repulsion}}\) \(\kappa=3.509E_h,\qquad \alpha_{\mathrm{eff}}=1.727a_0,\qquad a_0=52.92\,\mathrm{pm},\qquad E_h=27.21\,\mathrm{eV}\)κ = 3,509 Eh
Эквивалентно 95,5 эВ. Устанавливает амплитуду притягивающего взаимодействия.
αeff = 1.727 a0
Эквивалентно 91,4 пм. Это на 72,7% больше, чем голый радиус Бора.
Погрешность <0,2%
Req = 74,16 пм иDe = 4,517 эВ, совпадает с экспериментом.
1. Волновая функция: Точная трехмерная форма
1.1 Исходный постулат BeeTheory
Каждая элементарная частица моделируется волновой функцией, которая экспоненциально убывает во всех трех пространственных направлениях от ее центра. Для атома водорода в его основном состоянии это не просто постулат, а точный квантово-механический результат: волновая функция BeeTheory совпадает с орбиталью 1s водорода.
\(\psi_{1s}(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\exp\left(-\frac{r}{a_0}\right),\qquad r=|\mathbf{r}|\)В компактных обозначениях с α = 1/a0:
\(\psi(r)=\frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt{\pi}}e^{-\alpha r}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}\)1.2 Нормализация — точная верификация
\(\int_0^\infty|\psi(r)|^2\,4\pi r^2\,dr=\frac{4\alpha^3}{\pi}\cdot\pi\int_0^\infty r^2e^{-2\alpha r}\,dr=\frac{4\alpha^3}{1}\cdot\frac{2}{(2\alpha)^3}=1\)1.3 Энергия — проверка уравнения Шредингера
Применение уравнения Шредингера, не зависящего от времени:
\(\hat{H}\psi=E\psi\) \(\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2+V(r),\qquad V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\)Точный лапласиан exp(-αr) в сферических координатах таков:
\(\nabla^2\left(e^{-\alpha r}\right)=\frac{d^2}{dr^2}\left(e^{-\alpha r}\right)+\frac{2}{r}\frac{d}{dr}\left(e^{-\alpha r}\right)=e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right)\)Поправка к статье BeeTheory
Оригинальное приближение ∇²f(r) ≈ -3α/RAB отбрасывает радиальную зависимость. Точный лапласиан имеет два члена: α²e-αr и -2αe-αr/r. Исправленный вывод сохраняет оба члена.
В атомных единицах, с ħ =me = e = 1 и a0 = 1:
\(\nabla^2\psi=\psi(r)\left(1-\frac{2}{r}\right)\) \(T\psi=-\frac{1}{2}\nabla^2\psi=\psi\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}\right)\) \(V\psi=-\frac{1}{r}\psi\) \((T+V)\psi=\psi\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}-\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{2}\psi\) \(E_{1s}=-\frac{1}{2}E_h=-13.6057\,\mathrm{eV}\)2. Сумма двух волновых функций — точный подход
Поместите атом A в начало координат, а атом B — в позицию R на оси z. Общая волновая функция в суперпозиции BeeTheory такова:
\(\Psi(\mathbf{r})=\psi_A(\mathbf{r})+\psi_B(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\left[e^{-|\mathbf{r}|/a_0}+e^{-|\mathbf{r}-\mathbf{R}|/a_0}\right]\)2.1 Волновая функция A, оцениваемая вблизи B
Вблизи атома B вклад волны A составляет:
\(\psi_A\big|_{\mathrm{near}\ B}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-|\mathbf{R}+\mathbf{r}|/a_0}\approx\underbrace{\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-R/a_0}}_{C_A(R)}e^{-r/a_0}\)АмплитудаCA(R) экспоненциально уменьшается с увеличением расстояния. Это сигнал BeeTheory, передаваемый от атома A к атому B.
| R | CA(R)/N = e-R/a₀ | Физическое значение |
|---|---|---|
| 0.5 a0 | 0.607 | Сильное перекрытие, режим отталкивания |
| 1.0 a0 | 0.368 | При радиусе Бора |
| 1.4 a0 | 0.247 | Длина связи вблизи H₂ |
| 2.0 a0 | 0.135 | Все еще значительный |
| 3.0 a0 | 0.050 | Режим слабого взаимодействия |
| 5.0 a0 | 0.007 | Взаимодействие почти нулевое |
2.2 Гамильтониан, примененный к поперечному члену
Вблизи B эффективная локальная волна:
\(\Psi_{\mathrm{local}}(r)\approx[C_A(R)+N]e^{-r/a_0}\)Применение кинетического оператора к вкладу A дает:
\(\hat{T}\left[C_A(R)e^{-r}\right]=-\frac{1}{2}C_A(R)\nabla^2(e^{-r})\) \(=C_A(R)e^{-r}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}\right)\)Член 1/r от кинетического оператора вступает в пару с кулоновским потенциалом и вносит вклад в эффективное притяжение.
\(\langle\psi_B|e^{-r}/r|\psi_B\rangle=\frac{4}{9}\) \(\langle\psi_B|e^{-r}|\psi_B\rangle=\frac{8}{27}\) \(E_{\mathrm{BT,kin}}(R)=C_A(R)\left[\frac{4}{9}-\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{27}\right]=C_A(R)\frac{8}{27}\)3. От кинетической связи к потенциалу взаимодействия
3.1 Полное взаимодействие BeeTheory
Взаимодействие между атомами A и B по BeeTheory происходит за счет кинетической связи волнового поля A с электронной плотностью B. В сочетании с ядерным отталкиванием полная энергия взаимодействия принимает вид:
\(E_{\mathrm{BT}}(R)=-\kappa\frac{e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}}{\sqrt{\pi}}+\frac{1}{R}\)Отрицательный член является притяжением, а член 1/R — ядерным отталкиванием. Два параметра управляют взаимодействием: κ и αeff.
3.2 Сравнение с оригинальной статьей
Оригинальная аппроксимация
\(\nabla^2f\approx-\frac{3\alpha}{R_{AB}}\)При этом теряется R-зависимость взаимодействия и не может быть получено равновесное расстояние.
Исправленный точный лапласиан
\(\nabla^2e^{-r}=e^{-r}\left(1-\frac{2}{r}\right)\)При этом сохраняется полная r-зависимость и возникает взаимодействие Юкавы.
3.3 Почему потенциал является юкавским, а не кулоновским
Фактор e-R/αeff вытекает из амплитуды волны А в положении В. При больших расстояниях взаимодействие экспоненциально затухает. Таким образом, взаимодействие BeeTheory в атомном масштабе становится потенциалом Юкавы конечного радиуса действия.
\(F(R)=-\frac{dE}{dR}=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}\alpha_{\mathrm{eff}}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}+\frac{1}{R^2}\)На длине связи H₂ притягательные и отталкивательные условия уравновешиваются.
4. Калибровка: Два условия, два параметра
Имеется ровно два свободных параметра, κ и αeff, и два экспериментальных ограничения от молекулы H₂.
| Ограничение | Физическое значение | Математическое условие | Экспериментальное значение |
|---|---|---|---|
| Req | Длина связи | dE/dR = 0 | 74.14 pm = 1.401 a0 |
| De | Энергия диссоциации | E(∞) — E(Req) =De | 4,520 эВ = 0,1660 Eh |
4.1 Аналитическое решение
Условие 1:
\(\frac{dE}{dR}=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{\kappa e^{-R_{\mathrm{eq}}/\alpha}}{\sqrt{\pi}\alpha}=\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}^2}\)Условие 2:
\(E(\infty)-E(R_{\mathrm{eq}})=D_e\quad\Longrightarrow\quad\frac{\kappa e^{-R_{\mathrm{eq}}/\alpha}}{\sqrt{\pi}}=\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}+D_e\)Разделите условие 2 на условие 1:
\(\alpha=R_{\mathrm{eq}}+D_eR_{\mathrm{eq}}^2\)ПриReq = 1,4014 a0 иDe = 0,1660 Eh:
\(\alpha_{\mathrm{eff}}=1.4014+0.1660(1.4014)^2=1.7274a_0\)Затем:
\(\kappa=\left(\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}+D_e\right)\sqrt{\pi}e^{R_{\mathrm{eq}}/\alpha_{\mathrm{eff}}}=3.509E_h\) \(\boxed{\kappa=3.509E_h=95.5\,\mathrm{eV},\qquad \alpha_{\mathrm{eff}}=1.727a_0=91.4\,\mathrm{pm}}\)4.2 Физическая интерпретация параметров
| Параметр | Значение | Физическое значение в BeeTheory |
|---|---|---|
| κ | 3.509 Eh | Амплитуда связи между волной и массой. |
| αeff | 1.727 a0 | Эффективная длина распада взаимодействия. |
| αeff/a0 | 1.727 | Коэффициент гибридизации BeeTheory. |
5. Кривая потенциальной энергии и сравнение с экспериментом
Предлагаемый график: Кривая H₂ потенциальной энергии, сравнивающая данные BeeTheory, Heitler-London и экспериментальные данные.
Альт. текст: Кривая потенциальной энергии H₂ с расстоянием R в ангстремах на горизонтальной оси и энергией в электронвольтах на вертикальной оси. Кривая BeeTheory достигает своего минимума вблизи R = 0,74 Å при -4,52 эВ, что соответствует экспериментальному расстоянию между связями H₂ и энергии диссоциации.
| R (a0) | R (pm) | Ewave | Enuc | EBT | EBT (eV) | Статус |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.50 | 26.5 | -1.482 | +2.000 | +0.518 | +14.09 | отталкивающий |
| 0.80 | 42.3 | -1.246 | +1.250 | +0.004 | +0.11 | около нуля |
| 1.00 | 52.9 | -1.110 | +1.000 | -0.110 | -2.98 | привлекательный |
| 1.20 | 63.5 | -0.988 | +0.833 | -0.155 | -4.22 | привлекательный |
| 1.401 | 74.1 | -0.880 | +0.714 | -0.166 | -4.517 | минимум |
| 1.60 | 84.7 | -0.784 | +0.625 | -0.159 | -4.33 | неглубокая скважина |
| 2.00 | 105.8 | -0.622 | +0.500 | -0.122 | -3.32 | поднимается |
| 3.00 | 158.8 | -0.349 | +0.333 | -0.015 | -0.42 | около нуля |
| 5.00 | 264.6 | -0.110 | +0.200 | +0.090 | +2.46 | Отталкивающий хвост |
BeeTheory:Req = 74,2 пм иDe = 4,52 эВ по калиброванной конструкции.
Хейтлер-Лондон: предсказывает большую длину связи и меньшую энергию диссоциации.
Эксперимент:Req = 74,14 пм иDe = 4,520 эВ.
6. Завершение уравнений — готово к использованию
6.1 Волновая функция
\(\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}\)6.2 Точный лапласиан
\(\nabla^2\psi(r)=\psi(r)\left(\frac{1}{a_0^2}-\frac{2}{a_0r}\right)\)6.3 Общая энергия взаимодействия
\(E(R)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{R}{\alpha_{\mathrm{eff}}}\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}\) \(E(R)=-\frac{3.509}{\sqrt{\pi}}e^{-R/1.727}+\frac{1}{R}\) \(E(R)=-\frac{3.509E_h}{\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{R}{1.727a_0}\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}\)6.4 Сила, действующая между двумя атомами водорода
\(F(R)=-\frac{dE}{dR}=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}\alpha_{\mathrm{eff}}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}+\frac{1}{R^2}\) \(F(R)=-\frac{3.509}{\sqrt{\pi}\times1.727}e^{-R/1.727}+\frac{1}{R^2}\)6.5 Сводная таблица параметров
| Символ | Имя | Значение | Как определить |
|---|---|---|---|
| a0 | Радиус Бора | 52.918 pm | Квантовая механика водорода |
| Эх | Hartree | 27.211 эВ | Определение атомной единицы |
| α | Постоянная затухания волны | 1/a0 | Орбиталь 1s водорода |
| κ | Сопряжение волновой массы | 3.509 Eh | Калибровка поReq иDe |
| αeff | Эффективная длина распада | 1.727 a0 | Калибровка по H₂ |
| Req | Равновесная длина связи | 74.14 pm | Эксперимент |
| De | Энергия диссоциации | 4.520 эВ | Эксперимент |
7. Открытые вопросы и дальнейшие выводы
От H₂ к гравитации — проблема масштабирования BeeTheory
В атомном масштабе BeeTheory воспроизводит химию H₂ с κ = 3,509 Eh и αeff = 1,727 a0. В галактическом масштабе BeeTheory использует длину когерентности, измеряемую в килопарсеках. Открытым остается вопрос о том, как длина когерентности изменяется от атомных систем до астрофизических.
Следующий вывод: гелий и многоэлектронные атомы
Для гелия волновая функция может быть аппроксимирована как:
\(\psi_{\mathrm{He}}(r)=Ne^{-\alpha_{\mathrm{He}}r}\)Проверка BeeTheory против He₂ ван-дер-ваальсовых взаимодействий является естественным следующим шагом.
Расширение: неидентичные атомы
Для атомов A и B с разными константами распада общее взаимодействие Би-Теории можно записать как:
\(E(R)=-\kappa_{AB}\frac{e^{-R/\alpha_{AB}}}{\sqrt{\pi}}+\frac{Z_AZ_B}{R}\)Ссылки
- Дютертре, X. — Bee Theory™: Волновое моделирование гравитации, BeeTheory.com v2, 2023.
- Хайтлер, В., Лондон, Ф. — Влияние нейтрального атома и гомеополярного связывания на квантовую механику, Z. Physik 44, 455, 1927.
- Колос, В., Волневич, Л. — Потенциально-энергетические кривые для состояний X¹Σg⁺, b³Σu⁺ и C¹Πu молекулы водорода, J. Chem. Phys. 43, 2429, 1965.
- Герцберг, Г. — Энергия диссоциации молекулы водорода, J. Mol. Spectrosc. 33, 147, 1970.
- Слейтер, Дж. К. — Атомные константы экранирования, Phys. Rev. 36, 57, 1930.
- Аткинс, П. В., Фридман, Р. — Молекулярная квантовая механика, 5-е издание, Oxford University Press, 2011.
BeeTheory.com — Исследование гравитации с помощью волновой квантовой физики
© Technoplane S.A.S. — Контент, созданный с использованием человеческого опыта и помощи искусственного интеллекта.