Математическое резюме (сумма e-αr волн)
1) Ансац (две частицы A и B)
Моделируйте каждую частицу как монохроматический, локализованный, изотропный источник комплексного скалярного поля («волна материи»):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
и наложите их друг на друга:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Перейдите к сферическим координатам вокруг B: запишите \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) с \(r=|\mathbf s|\ll R\), и определите:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |\mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
Для \(r\ll R\):
\[ |\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
так что рядом с Б:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
В точке \(B_0\) (т.е. \(r=0\)) вклад от A составляет:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Какое волновое уравнение следует использовать?
Правильное свободное уравнение Шредингера таково:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
Его стационарные состояния — это колебательные плоские/сферические волны; огибающая \(e^{-\alpha r}\) сама по себе не является точным свободно-шредингеровским решением.
Чтобы получить экспоненциальные профили, используйте уравнение Гельмгольца или Пуассона:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Rightarrow\;\; G_\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
Для точечного источника:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]
В квазистатическом пределе \(\mu\to 0\):
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Эффективный потенциал и закон 1/R
Если B соединяется с полем A со связью \(g_B\), то энергия взаимодействия равна:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
После усреднения по времени (или если \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
Соответствующая сила:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\right)\hat{\mathbf R} \]
В пределе дальнодействия \(\mu R\ll 1\) это воспроизводит гравитационно-подобный закон 1/R².
4) Полезные идентификаторы (быстрая проверка)
Лапласиан радиальных экспоненциалов:
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right) \]
Тождество функции Грина:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
Сингулярность 1/r (и закон дальнего поля 1/R) вытекает из структуры функции Грина \(G(r)\sim 1/r\), а не из голой \(e^{-\alpha r}\) без коэффициента \(1/r\).
В две строки
- Наложите локализованные волны: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) с огибающими \(e^{-\alpha r}\).
- Чтобы получить потенциал \(\sim 1/R\) (и силу \(\sim 1/R^2\)), медиатор должен подчиняться Пуассону/Гельмгольцу: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Тогда \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), и для \(\mu\to 0\): \(V\propto 1/R\).
