Resumo matemático (soma das ondas e-αr)
1) Ansatz (duas partículas A e B)
Modelar cada partícula como uma fonte monocromática, localizada e isotrópica de um campo escalar complexo (a “onda de matéria”):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
e sobrepor:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Mude para coordenadas esféricas em torno de B: escreva \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) com \(r=|\mathbf s|\ll R\) e defina:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\r-\mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |\mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
Para \(r\ll R\):
\[ |\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
tão perto de B:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
No ponto \(B_0\) (ou seja, \(r=0\)), a contribuição de A é:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Qual equação de onda usar?
A equação de Schrödinger livre correta é:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
Seus estados estacionários são ondas planas/esféricas oscilatórias; um envelope \(e^{-\alpha r}\) sozinho não é uma solução exata de Schrödinger livre.
Para obter perfis exponenciais, use a equação de Helmholtz ou Poisson:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Rightarrow\;\; G_\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
Para uma fonte pontual:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]
No limite quase estático \(\mu\a 0\):
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Potencial efetivo e a lei 1/R
Se B se acoplar ao campo de A com acoplamento \(g_B\), a energia de interação será:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Após o cálculo da média do tempo (ou se \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
A força correspondente é:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\right)\hat{\mathbf R} \]
No limite de longo alcance \(\mu R\ll 1\), isso reproduz uma lei semelhante à gravidade 1/R².
4) Identidades úteis (validação rápida)
Laplaciano de exponenciais radiais:
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right) \]
Identidade da função de Green:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
A singularidade de 1/r (e a lei de campo distante 1/R) vem da estrutura da função de Green \(G(r)\sim 1/r\), e não de um \(e^{-\alpha r}\) sem o fator \(1/r\).
Em duas linhas
- Sobreponha ondas localizadas: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) com envelopes \(e^{-\alpha r}\).
- Para obter um potencial \(\sim 1/R\) (e uma força \(\sim 1/R^2\)), o mediador deve obedecer a Poisson/Helmholtz: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Então \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), e para \(\mu\to 0\): \(V\propto 1/R\).
