Formalização:
A computação da teoria das abelhas em escala galáctica

5. Convolução de campo de onda – equações integrais por componente

A densidade do campo de onda em uma posição $\vec{r}$ é a convolução da distribuição da fonte bariônica com o núcleo da onda. Para um sistema galacticamente simétrico (axialmente simétrico, aproximação monopolar), cada componente bariônico contribui aditivamente:

As cinco integrais estão escritas abaixo, uma por componente. Cada integral converte uma distribuição de massa bariônica em uma distribuição de massa de campo de onda no mesmo ponto espacial.

5.1 Bulge – integração do shell 3D

A integração é sobre cascas esféricas concêntricas de raio $r’$. O ponto de campo no raio $r$ do centro vê cada concha em uma separação efetiva $D = \sqrt{r^2 + r’^2}$ na aproximação monopolar. A integração se estende até $r_\text{max} = 6\,r_b$, além do qual a densidade do bojo é numericamente insignificante.

5.2 Disco fino – integração do anel 2D

O disco é decomposto em anéis concêntricos de raio $R’$ e largura infinitesimal $dR’$, cada um carregando uma massa de superfície $\Sigma_\text{thin}(R’)\,2\pi R’\,dR’$. A mesma aproximação monopolar se aplica: o campo de onda no raio $r$ do centro recebe contribuições de cada anel na separação efetiva $D = \sqrt{r^2 + R’^2}$. O intervalo de integração é $R_\text{max} = 8\,R_d$.

5.3 Disco espesso – integração de anel 2D

Idêntico à integração do disco fino, com $\Sigma_\text{thick}(R’)$ como a densidade da fonte e um parâmetro de kernel $\alpha_\text{thick} = 1/(c_\text{disk}\,\cdot 1.5\,R_d)$. A maior extensão radial do disco espesso resulta em uma faixa de coerência de onda um pouco mais ampla.

5.4 Anel de gás – integração de anel 2D com esgotamento central

A distribuição de gás tem um buraco central, capturado pelo corte radial em $R_\text{hole} = 0,5\,R_g$ no limite inferior da integração. Fora desse corte, o gás se estende mais do que o disco estelar; isso se reflete na escala característica maior $R_g = 1,7\,R_d$, que alimenta o comprimento de coerência $\ell_\text{gas} = c_\text{disk}\,R_g$.

5.5 Excesso de braço em espiral – integração de anel 2D com amplitude reduzida

Os braços espirais são tratados como um aprimoramento da média axial da densidade da superfície do disco fino no nível de $10\%$, com seu próprio comprimento de coerência $\ell_\text{arm} = c_\text{arm}\,R_d$. O núcleo é, portanto, mais estreito do que o núcleo do disco fino, refletindo a concentração azimutal da estrutura espiral.

7. Parâmetros em nível de teoria

A estrutura completa da BeeTheory, conforme aplicada às galáxias, contém cinco parâmetros no nível da teoria. Esses parâmetros são universais: eles não variam de galáxia para galáxia.

Símbolo	Significado	Função
$K_0$	Amplitude da massa da onda	Define a escala sem dimensão do núcleo da onda
$c_\text{sph}$	Constante geométrica 3D	Relação $\ell/r_\text{scale}$ para fontes esféricas (bojo)
$c_\text{disk}$	Constante geométrica 2D	Relação $\ell/R_\text{scale}$ para fontes de disco e anel
$c_\text{arm}$	Constante geométrica em espiral	Relação $\ell/R_d$ para o excesso de braço concentrado azimutalmente
$\lambda$	Acoplamento global do campo de ondas	Dimensiona a densidade total do campo de ondas

9. O papel da densidade da superfície central (revisão da Nota XI)

O diagnóstico da Nota XI identificou que o erro de previsão residual está fortemente correlacionado com a densidade da superfície bariônica central $\Sigma_d$, independentemente do comprimento da escala do disco $R_d$. A formalização apresentada acima é a versão do modelo antes que essa descoberta seja incorporada – ela usa apenas $R_d$ nas expressões de comprimento de coerência $\ell_i = c_i\,R_d$.

A estrutura unidirecional do cálculo é preservada por esse refinamento: $\Sigma_d$ é uma entrada observacional, os comprimentos de coerência modificados alimentam as mesmas integrais de convolução e a curva de rotação surge como antes. Apenas um vínculo operacional é adicionado – a dependência de $\ell_i$ em um segundo observável.

10. Resumo da metodologia

1. Entradas. Cinco observáveis por galáxia: tipo de Hubble $T$, escala do disco $R_d$, brilho da superfície $\Sigma_d$, massa HI $M_\text{HI}$ e a razão universal massa estelar/luz $\Upsilon_\star$.

2. Decomposição bariônica. Cinco componentes: bojo (se $T \leq 4$), disco fino, disco espesso, anel de gás, excesso de braço espiral. Cada um tem um perfil de densidade analítico.

3. Núcleo de onda. Forma universal do tipo Yukawa $\mathcal{K}_i(D) = K_0\,(1 + \alpha_i D)\,e^{-\alpha_i D}/D^2$ com comprimento de coerência $\ell_i = c_i\,R_\text{scale}$ determinado pela extensão geométrica de cada componente.

4. Convolução. Cada componente gera uma densidade de campo de onda por meio de uma integral unidimensional sobre anéis (componentes 2D) ou conchas (bojo 3D). A densidade total do campo de ondas é a soma dos cinco componentes, dimensionada pelo acoplamento global $\lambda$.

5. Saída. A massa de onda incluída $M_\text{wave}(R)$ é integrada e combinada com a velocidade bariônica $V_\text{bar}(R)$ para produzir a curva de rotação prevista $V_c(R)$.

6. Parâmetros em nível de teoria. $(K_0,\,c_\text{sph},\,c_\text{disk},\,c_\text{arm},\,\lambda)$ – universal, sem ajuste por galáxia. Um refinamento em estudo adicionará uma dependência de $\Sigma_d$.

7. Direção. Entradas → bárions → campo de ondas → curva de rotação. Sem feedback. A curva de rotação é uma previsão, não um ajuste.