BeeTheory – Estrutura teórica – 2025

Duas escalas, duas fórmulas

A equação de onda da BeeTheory se aplica a dois níveis distintos de realidade: a partícula elementar e a distribuição de massa macroscópica.

Essas não são a mesma fórmula. Elas não devem ser confundidas.

BeeTheory.com – Dutertre (2023) – Derivação estendida 2025

Fórmula I – Escala I – Quantum

A função de onda da partícula elementar

\(\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{-r/a}\)

r é a distância do centro da partícula.

a é a escala de Broglie-Bohr da partícula.

Esse a é fixado pelo estado quântico da partícula. Ele não depende da densidade da matéria circundante.

Fórmula II – Escala II – Astrofísica

O Kernel de densidade de massa macroscópica

\(\rho_{\mathrm{dark}}(\mathbf r)=\frac{K}{\ell}\int \rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)e^{-|\mathbf r-\mathbf r’|/\ell}\,dV’\)

_ρvis é a densidade de massa bariônica visível.

ℓ é o comprimento de coerência do componente da fonte.

Esse ℓ depende da geometria e da escala da estrutura da fonte, e não de partículas individuais.

O que os conecta

A fórmula I descreve a onda microscópica de uma única partícula ou de um par de partículas. A fórmula II descreve o campo coletivo produzido quando uma distribuição macroscópica de massa é tratada como uma fonte contínua.

I. Fórmula I – A partícula elementar

A BeeTheory começa no nível mais fundamental. Cada partícula elementar maciça é modelada como uma função de onda esfericamente simétrica que decai exponencialmente a partir de seu centro.

Para uma partícula em seu estado fundamental:

\(\psi(\mathbf r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\exp\left(-\frac{|\mathbf r|}{a}\right)\)

Aqui, a é o comprimento de decaimento característico da função de onda da partícula.

Para o átomo de hidrogênio, a = a0 = 52,9 pm, o raio de Bohr. Essa é uma constante quântico-mecânica derivada da massa do elétron, da massa do próton e de ℏ.

Para um nêutron ou próton, a é da ordem do raio nuclear, cerca de 1 fm.

A constante de decaimento a é uma propriedade do estado quântico da partícula. Ela é fixada pela física: por ℏ, por m e pela energia de ligação. Ela não muda porque muitas partículas estão próximas.

Um átomo de hidrogênio em um disco galáctico tem o mesmo a0 que um átomo de hidrogênio no vazio do espaço intergaláctico.

O que a equação de Schrödinger fornece

Aplicando a equação Ĥψ = Eψ sem potencial, como energia cinética pura na estrutura da BeeTheory, o Laplaciano exato em coordenadas esféricas é:

\(\nabla^2\psi(r)=\psi(r)\left(\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ar}\right)\)

Surgem dois termos: um termo cinético constante e um termo do tipo Coulomb.

O termo constante é:

\(+\frac{1}{a^2}\)

O termo do tipo Coulomb é:

\(-\frac{2}{ar}\)

É o termo -2/(ar) que, quando projetado em uma segunda partícula a uma distância R, gera a interação atrativa.

A energia de interação entre a partícula A na origem e a partícula B na distância R assume a seguinte forma após a integração completa em 3D sobre a função de onda de B:

\(E(R)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{R}{\alpha_{\mathrm{eff}}}\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}\) \(\kappa=3.509E_h=95.5\,\mathrm{eV}\) \(\alpha_{\mathrm{eff}}=1.727a_0=91.4\,\mathrm{pm}\)

Essa equação foi calibrada na molécula de hidrogênio usando duas restrições experimentais: o comprimento da ligação e a energia de dissociação.

\(R_{\mathrm{eq}}=74.1\,\mathrm{pm}\) \(D_e=4.52\,\mathrm{eV}\)

O resultado reproduz ambas as restrições com uma margem de 0,1%.

O ponto principal é que _αeff não é igual a _a0. O decaimento efetivo da interação de duas partículas é 73% mais longo do que a função de onda de uma única partícula.

Esse não é um parâmetro livre. Ele é derivado analiticamente das duas condições de calibração:

\(\alpha_{\mathrm{eff}}=R_{\mathrm{eq}}+D_eR_{\mathrm{eq}}^2\)

Do que a Fórmula I não depende

ψ(r) e seus parâmetros, incluindo a, κ e _αeff, são determinados pela mecânica quântica de partículas e pares individuais. Eles são independentes da densidade local.

Quer um átomo de hidrogênio esteja no local do Sol ou em uma nuvem interestelar, sua função de onda é idêntica. A fórmula I é uma equação microscópica.

II. Fórmula II – O Sistema Macroscópico

Em escalas galácticas, não é possível, nem significativo, rastrear partículas individuais. A quantidade relevante é o campo de densidade de massa.

\(\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r)\)

A segunda fórmula da BeeTheory descreve como essa densidade contínua gera um campo de massa escura por meio de uma convolução com um núcleo exponencial.

\(\rho_{\mathrm{dark}}(\mathbf r)=\frac{K}{\ell}\int_{\mathrm{source}}\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)\frac{(1+\alpha D)e^{-\alpha D}}{D^2}\,dV’\) \(D=|\mathbf r-\mathbf r’|,\qquad \alpha=\frac{1}{\ell}\)

O núcleo é:

\(\frac{(1+\alpha D)e^{-\alpha D}}{D^2}\)

Esse é o núcleo de força derivado do potencial do BeeTheory.

\(V\propto\frac{e^{-\alpha D}}{D}\)

Ele se reduz à forma do inverso do quadrado de Newton para D muito menor que ℓ e decai exponencialmente para D muito maior que ℓ.

A principal diferença: O que é ℓ aqui?

Na Fórmula II, o comprimento de coerência ℓ não é o raio de Bohr _a0 ou qualquer escala de partícula única.

É o comprimento de coerência da estrutura da fonte macroscópica: a distância na qual a distribuição de massa permanece espacialmente correlacionada.

Essa é uma propriedade emergente e coletiva do sistema.

A origem física de ℓ em escalas macroscópicas

Considere N partículas formando uma estrutura de fonte de tamanho característico _Lsource. Cada partícula emite uma onda com escala de decaimento a. Quando essas ondas são somadas de forma coerente, o campo sobreposto tem um comprimento de coerência que depende da organização espacial da fonte, e não apenas de a.

No limite N → ∞ e _Lsource ≫ a, a escala de partícula única a é totalmente eliminada. O comprimento de coerência macroscópico ℓ é determinado por _Lsource e pela geometria da distribuição de massa.

Isso é análogo à coerência na óptica: os fótons individuais têm comprimento de onda λ, mas o comprimento de coerência de um feixe de laser depende da geometria da cavidade, e não de λ isoladamente.

Os dois componentes galácticos – dois valores de ℓ

A curva de rotação do Gaia 2024 revela dois regimes distintos separados perto de R ≈ 5,5 kpc. O BeeTheory os ajusta com duas aplicações independentes da Fórmula II, uma por componente bariônico.

Componente de origem	Geometria	Tamanho da fonte L	ℓ ajustado	ℓ / L	K montado	λ = Kℓ²
Bojo + barra	Esférico 3D	_rb = 1,5 kpc	0,61 kpc	0.41	1,055 kpc-¹	0.39
Disco, fino + espesso + gás	Disco exponencial 2D	_Rd = 3,5 kpc	11,1 kpc	3.17	0,02365 kpc-¹	2.90

A relação _ℓ/Lsource é de 0,41 para o bojo e de 3,17 para o disco. Essa diferença reflete a geometria de cada componente.

O bojo é compacto e centralmente concentrado. Sua massa é fortemente ligada, e seu campo de onda coletivo tem um comprimento de coerência curto. Isso impulsiona o rápido aumento de _Vc em R < 5 kpc.
O disco é extenso e se espalha por dezenas de quiloparsecs. Sua coerência coletiva é correspondentemente longa. O campo escuro se estende até o halo, sustentando a curva de rotação plana e causando o declínio do Gaia 2024 além de _ℓd ≈ 11 kpc.

III. A ponte entre as duas fórmulas

Como a Fórmula I na escala de partículas dá origem à Fórmula II na escala macroscópica? A conexão é um argumento de agregação em várias etapas.

Etapa 1 – Partícula para par

Duas partículas A e B a uma distância D interagem por meio de um potencial de par do tipo Yukawa:

\(V(D)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}e^{-D/\alpha_{\mathrm{eff}}}\)

A escala de decaimento _αeff é o intervalo efetivo no nível da partícula.

Etapa 2 – Do par ao conjunto

Para N partículas que formam uma fonte, o potencial é a soma de todas as contribuições de pares.

\(V(\mathbf r)=\sum_i V(|\mathbf r-\mathbf r_i|)\)

No limite contínuo, a soma discreta se torna uma integral de volume sobre a densidade da fonte:

\(V(\mathbf r)\rightarrow \int\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)V(D)\,dV’\)

Etapa 3 – Potencial para densidade

A densidade da massa escura é derivada do potencial gravitacional por meio da equação de Poisson.

\(\rho_{\mathrm{dark}}(\mathbf r)\equiv-\frac{\nabla^2V(\mathbf r)}{4\pi G}+\mathrm{source\ correction}\)

Para um potencial de Yukawa, isso dá o núcleo macroscópico da BeeTheory:

\(\frac{(1+\alpha D)e^{-\alpha D}}{D^2}\)

Etapa 4 – Renormalização de ℓ

O comprimento da coerência macroscópica não é simplesmente a escala da partícula microscópica. Ele é renormalizado pelo tamanho e pela geometria da fonte.

\(\ell_{\mathrm{macro}}=\alpha_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{pair}}\mathcal F\left(\frac{L_{\mathrm{source}}}{\alpha_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{pair}}}\right)\)

Quando o tamanho da fonte é muito maior do que a escala microscópica do par, o comprimento da coerência macroscópica não é mais definido pela escala do par. Ele é definido por _Lsource e pela geometria da fonte por meio da função 𝓕.

A dissociação de escalas

O raio de Bohr é:

\(a_0=52.9\,\mathrm{pm}=1.72\times10^{-15}\,\mathrm{kpc}\)

O comprimento da coerência do disco é:

\(\ell_d=11.1\,\mathrm{kpc}\)

A proporção é:

\(\frac{\ell_d}{a_0}\approx6.5\times10^{15}\)

Isso não é uma falha da teoria. É a consequência esperada da soma de cerca de ¹⁰⁶⁷ interações de pares de partículas de forma coerente em uma fonte galáctica de tamanho em torno de 25 kpc.

A coerência coletiva surge na escala da estrutura coletiva, não na escala de seus constituintes.

A questão teórica em aberto: 𝓕(L/α)

A função 𝓕 que mapeia a geometria da fonte para ℓ macroscópico é o problema central não resolvido da teoria de várias escalas da BeeTheory.

A partir do ajuste galáctico, observamos:

\(\frac{\ell_{\mathrm{bulge}}}{r_b}=0.41,\qquad \frac{\ell_{\mathrm{disk}}}{R_d}=3.17\)

Se ℓ for escalonado como uma potência de _Lsource, então:

\(\ell\propto L_{\mathrm{source}}^\gamma\) \(\gamma=\frac{\log(11.1/0.61)}{\log(3.5/1.5)}\approx\frac{\log(18.2)}{\log(2.33)}\approx3.4\)

Essa é uma escala acentuada. Como alternativa, a diferença pode refletir a geometria: uma fonte de disco e uma fonte esférica geram campos coletivos qualitativamente diferentes.

A determinação de 𝓕 requer a aplicação da BeeTheory a uma amostra de galáxias com diferentes morfologias.

IV. Resumo – As duas fórmulas lado a lado

Aspecto	Fórmula I – partícula elementar	Fórmula II – sistema macroscópico
Objeto	Partícula única ou par de partículas	Campo de densidade contínua _ρvis(r)
Função de onda	ψ(r) = ^Ne-r/a, estado quântico exato	Não aplicável; substituído pelo campo _ρvis
Escala de comprimento da chave	a = _a0 = 52,9 pm, raio de Bohr	ℓ = coerência da estrutura da fonte
Depende da densidade local?	Não. _a0 é uma constante universal.	Sim. ℓ reflete a geometria e o tamanho da fonte.
Potencial de interação	E(R) = -(κ/√π)^e-R/αeff + repulsão	V(D) ∝ ^e-D/ℓ/D
Lei de força	Força exponencial de curto alcance	Limite newtoniano 1/D² para D ≪ ℓ
Calibração	Molécula de H₂:_Req = 74,1 pm,_De = 4,52 eV	Via Láctea: Curva de rotação Gaia 2024, χ²/dof = 0,24
Parâmetros livres	κ = 3,509_Eh, _αeff = 1,727 _a0	K e ℓ por componente de fonte
Regime físico	D ~ _a0 ~ 10-¹¹ m	D ~ ℓ ~ 10²⁰ m
Conexão	A Fórmula II surge da soma da Fórmula I sobre ~10⁶⁷ pares de partículas. A escala microscópica _a0 se dissocia; ℓ é definida pela geometria da fonte coletiva.

A fórmula I descreve como um único elemento de massa cria uma onda. A fórmula II descreve como um conjunto de elementos de massa – uma galáxia, um bojo, um disco – cria um campo escuro coletivo.

A primeira é a mecânica quântica. A segunda é a mecânica estatística aplicada à BeeTheory.

Por que essa distinção é importante para as previsões da BeeTheory

Sem essa distinção, seria de se esperar que a medição de K e ℓ em uma galáxia previsse imediatamente todas as outras como constantes universais.

A realidade é mais sutil. K parece ser aproximadamente universal por meio do acoplamento sem dimensão:

\(\lambda=K\ell^2\approx3\)

Mas ℓ deve ser calculado a partir da geometria de cada componente de origem.

A previsão é: dado o raio de escala do disco _Rd de uma galáxia, seu comprimento de coerência de massa escura externa deve ser aproximadamente

\(\ell_d\approx3R_d\)

Isso pode ser testado no catálogo SPARC de 175 galáxias.

O índice de volume oferece um segundo teste:

\(\frac{\ell_b}{r_b}\approx0.4\)

Isso prevê que os bojos compactos geram campos de massa escura em escalas sub-kpc, concentrados perto dos centros galácticos.

Referências

Dutertre, X. – Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com, 2023. Formulação original da função de onda da partícula elementar.
Kolos, W., Wolniewicz, L. – Potential-Energy Curves for the H₂ molecule, Journal of Chemical Physics 43, 2429, 1965. Dados de calibração para a Fórmula I.
Ou, X. et al. – The dark matter profile of the Milky Way inferred from its circular velocity curve (O perfil de matéria escura da Via Láctea inferido de sua curva de velocidade circular), MNRAS 528, 2024. Dados de calibração para a Fórmula II.
McMillan, P. J. – MNRAS 465, 76, 2017. Modelo de massa galáctica usado para definir os componentes da fonte.
Yukawa, H. – On the Interaction of Elementary Particles (Sobre a interação de partículas elementares), Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan 17, 48, 1935. Estrutura matemática do potencial macroscópico.