BeeTheory – Ramy teoretyczne – 2025 r.

Dwie skale, dwie formuły

Równanie falowe BeeTheory ma zastosowanie na dwóch różnych poziomach rzeczywistości: cząstki elementarnej i makroskopowego rozkładu masy.

To nie są te same formuły. Nie wolno ich mylić.

BeeTheory.com – Dutertre (2023) – Rozszerzone wyprowadzenie 2025

Formuła I – Skala I – Kwantowa

Funkcja falowa cząstki elementarnej

\(\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}e^{-r/a}\)

r jest odległością od środka cząstki.

a jest skalą de Broglie-Bohra cząstki.

To a jest ustalone przez stan kwantowy cząstki. Nie zależy od gęstości otaczającej materii.

Formuła II – Skala II – Astrofizyczna

Makroskopowe jądro gęstości masy

\(\rho_{\mathrm{dark}}(\mathbf r)=\frac{K}{\ell}\int \rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)e^{-|\mathbf r-\mathbf r’|/\ell}\,dV’\)

_ρvis to widoczna, barionowa gęstość masy.

ℓ to długość koherencji komponentu źródłowego.

Ta ℓ zależy od geometrii i skali struktury źródła, a nie od poszczególnych cząstek.

Co ich łączy

Wzór I opisuje mikroskopijną falę pojedynczej cząstki lub pary cząstek. Wzór II opisuje pole kolektywne wytwarzane, gdy makroskopowy rozkład masy jest traktowany jako źródło ciągłe.

I. Wzór I – Cząstka elementarna

BeeTheory zaczyna się na najbardziej fundamentalnym poziomie. Każda masywna cząstka elementarna jest modelowana jako sferycznie symetryczna funkcja falowa, która rozpada się wykładniczo od swojego centrum.

Dla cząstki w stanie podstawowym:

\(\psi(\mathbf r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}\exp\left(-\frac{|\mathbf r|}{a}\right)\)

Tutaj a jest charakterystyczną długością rozpadu funkcji falowej cząstki.

Dla atomu wodoru, a = a0 = 52.9 pm, promień Bohra. Jest to stała kwantowo-mechaniczna wyprowadzona z masy elektronu, masy protonu i ℏ.

Dla neutronu lub protonu, a jest rzędu promienia jądrowego, około 1 fm.

Stała rozpadu a jest właściwością stanu kwantowego cząstki. Jest ona ustalona przez fizykę: przez ℏ, przez m i przez energię wiązania. Nie zmienia się, ponieważ w pobliżu znajduje się wiele cząstek.

Atom wodoru w dysku galaktycznym ma takie samo a0 jak atom wodoru w pustce przestrzeni międzygalaktycznej.

Co daje równanie Schrödingera?

Stosując równanie Ĥψ = Eψ bez potencjału, jako czystą energię kinetyczną w ramach BeeTheory, dokładny Laplacian we współrzędnych sferycznych wynosi:

\(\nabla^2\psi(r)=\psi(r)\left(\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ar}\right)\)

Pojawiają się dwa terminy: stały termin kinetyczny i termin podobny do Coulomba.

Stały termin to:

\(+\frac{1}{a^2}\)

Wyrażenie podobne do Coulomba to:

\(-\frac{2}{ar}\)

Jest to człon -2/(ar), który rzutowany na drugą cząstkę w odległości R generuje oddziaływanie przyciągające.

Energia oddziaływania między cząstką A w punkcie początkowym i cząstką B w odległości R przyjmuje następującą postać po pełnym całkowaniu 3D po funkcji falowej cząstki B:

\(E(R)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{R}{\alpha_{\mathrm{eff}}}\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}\) \(\kappa=3.509E_h=95.5\,\mathrm{eV}\) \(\alpha_{\mathrm{eff}}=1.727a_0=91.4\,\mathrm{pm}\)

Równanie to zostało skalibrowane na cząsteczce wodoru przy użyciu dwóch ograniczeń eksperymentalnych: długości wiązania i energii dysocjacji.

\(R_{\mathrm{eq}}=74.1\,\mathrm{pm}\) \(D_e=4.52\,\mathrm{eV}\)

Wynik odtwarza oba ograniczenia z dokładnością do 0,1 procenta.

Kluczową kwestią jest to, że _αeff nie jest równe _a0. Efektywny rozpad oddziaływania dwóch cząstek jest o 73 procent dłuższy niż funkcja falowa pojedynczej cząstki.

Nie jest to parametr wolny. Jest on wyprowadzany analitycznie z dwóch warunków kalibracji:

\(\alpha_{\mathrm{eff}}=R_{\mathrm{eq}}+D_eR_{\mathrm{eq}}^2\)

Od czego nie zależy Formuła I

ψ(r) i jego parametry, w tym a, κ i _αeff, są określone przez mechanikę kwantową poszczególnych cząstek i par. Są one niezależne od lokalnej gęstości.

Niezależnie od tego, czy atom wodoru znajduje się na Słońcu, czy w chmurze międzygwiezdnej, jego funkcja falowa jest identyczna. Wzór I jest równaniem mikroskopowym.

II. Formuła II – System makroskopowy

W skalach galaktycznych śledzenie pojedynczych cząstek nie jest możliwe ani sensowne. Istotną wielkością jest pole gęstości masy.

\(\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r)\)

Drugi wzór BeeTheory opisuje, w jaki sposób ta ciągła gęstość generuje pole ciemnej masy poprzez splot z jądrem wykładniczym.

\(\rho_{\mathrm{dark}}(\mathbf r)=\frac{K}{\ell}\int_{\mathrm{source}}\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)\frac{(1+\alpha D)e^{-\alpha D}}{D^2}\,dV’\) \(D=|\mathbf r-\mathbf r’|,\qquad \alpha=\frac{1}{\ell}\)

Jądro jest:

\(\frac{(1+\alpha D)e^{-\alpha D}}{D^2}\)

Jest to jądro siły pochodzące z potencjału BeeTheory.

\(V\propto\frac{e^{-\alpha D}}{D}\)

Sprowadza się ona do postaci odwrotnej do kwadratu Newtona dla D znacznie mniejszych niż ℓ i maleje wykładniczo dla D znacznie większych niż ℓ.

Kluczowa różnica: Czym jest ℓ tutaj?

We wzorze II długość koherencji ℓ nie jest promieniem Bohra _a0 ani żadną skalą pojedynczej cząstki.

Jest to długość koherencji makroskopowej struktury źródła: odległość, na której rozkład masy pozostaje przestrzennie skorelowany.

Jest to wyłaniająca się, zbiorowa właściwość systemu.

Fizyczne pochodzenie ℓ w skali makroskopowej

Rozważmy N cząstek tworzących strukturę źródła o charakterystycznym rozmiarze _Lsource. Każda cząstka emituje falę o skali rozpadu a. Gdy fale te są sumowane koherentnie, nałożone pole ma długość koherencji, która zależy od organizacji przestrzennej źródła, a nie tylko od a.

W granicy N → ∞ i _Lsource ≫ a, skala pojedynczej cząstki a całkowicie zanika. Makroskopowa długość koherencji ℓ jest określona przez _Lsource i geometrię rozkładu masy.

Jest to analogiczne do koherencji w optyce: poszczególne fotony mają długość fali λ, ale długość koherencji wiązki laserowej zależy od geometrii wnęki, a nie od samego λ.

Dwa składniki galaktyczne – dwie wartości ℓ

Krzywa rotacji Gaia 2024 ujawnia dwa różne reżimy oddzielone w pobliżu R ≈ 5,5 kpc. BeeTheory dopasowuje je za pomocą dwóch niezależnych zastosowań wzoru II, po jednym na składnik barionowy.

Komponent źródłowy	Geometria	Rozmiar źródła L	ℓ dopasowany	ℓ / L	K zamontowany	λ = Kℓ²
Wybrzuszenie + pasek	Sferyczne 3D	_rb = 1,5 kpc	0.61 kpc	0.41	1,055 kpc-¹	0.39
Dysk cienki + gruby + gaz	Dysk wykładniczy 2D	_Rd = 3,5 kpc	11.1 kpc	3.17	0.02365 kpc-¹	2.90

Stosunek _ℓ/Lsource wynosi 0,41 dla wybrzuszenia i 3,17 dla dysku. Różnica ta odzwierciedla geometrię każdego komponentu.

Wybrzuszenie jest zwarte i centralnie skoncentrowane. Jego masa jest ściśle związana, a kolektywne pole falowe ma krótką długość koherencji. Powoduje to szybki wzrost _Vc przy R < 5 kpc.
Dysk jest rozciągnięty i rozłożony na dziesiątki kiloparseków. Jego zbiorowa spójność jest odpowiednio długa. Ciemne pole rozciąga się daleko w głąb halo, podtrzymując płaską krzywą rotacji, a następnie powodując spadek Gaia 2024 poza _ℓd ≈ 11 kpc.

III. Pomost między dwiema formułami

W jaki sposób formuła I w skali cząsteczkowej daje początek formule II w skali makroskopowej? Połączenie to jest wieloetapowym argumentem agregacji.

Krok 1 – Cząsteczka do pary

Dwie cząstki A i B znajdujące się w odległości D oddziałują poprzez potencjał pary typu Yukawy:

\(V(D)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}e^{-D/\alpha_{\mathrm{eff}}}\)

Skala rozpadu _αeff jest efektywnym zakresem na poziomie cząstek.

Krok 2 – Od pary do zespołu

Dla N cząstek tworzących źródło, potencjał jest sumą wszystkich wkładów par.

\(V(\mathbf r)=\sum_i V(|\mathbf r-\mathbf r_i|)\).

W granicy kontinuum suma dyskretna staje się całką objętościową nad gęstością źródła:

\(V(\mathbf r)\rightarrow \int\rho_{\mathrm{vis}}(\mathbf r’)V(D)\,dV’\)

Krok 3 – Potencjał do gęstości

Gęstość ciemnej masy jest wyprowadzana z potencjału grawitacyjnego za pomocą równania Poissona.

\(\rho_{\mathrm{dark}}(\mathbf r)\equiv-\frac{\nabla^2V(\mathbf r)}{4\pi G}+\mathrm{source\ correction}\)

Dla potencjału Yukawy daje to makroskopowe jądro BeeTheory:

\(\frac{(1+\alpha D)e^{-\alpha D}}{D^2}\)

Krok 4 – Renormalizacja ℓ

Makroskopowa długość koherencji nie jest po prostu mikroskopijną skalą cząstek. Jest ona renormalizowana przez rozmiar i geometrię źródła.

\(\ell_{\mathrm{macro}}=\alpha_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{pair}}\mathcal F\left(\frac{L_{\mathrm{source}}}{\alpha_{\mathrm{eff}}^{\mathrm{pair}}}\right)\)

Gdy rozmiar źródła jest znacznie większy niż mikroskopijna skala pary, makroskopowa długość koherencji nie jest już ustalana przez skalę pary. Jest ona ustalana przez _Lsource i geometrię źródła za pomocą funkcji 𝓕.

Rozdzielenie skal

Promień Bohra wynosi:

\(a_0=52.9\,\mathrm{pm}=1.72\times10^{-15}\,\mathrm{kpc}\)

Długość koherencji dysku wynosi:

\(\ell_d=11.1\,\mathrm{kpc}\)

Współczynnik wynosi:

\(\frac{\ell_d}{a_0}\approx6.5\times10^{15}\)

Nie jest to błąd teorii. Jest to oczekiwana konsekwencja zsumowania około ¹⁰⁶⁷ oddziaływań par cząstek w spójny sposób w galaktycznym źródle o rozmiarze około 25 kpc.

Zbiorowa spójność pojawia się w skali struktury zbiorowej, a nie w skali jej składników.

Otwarte pytanie teoretyczne: 𝓕(L/α)

Funkcja 𝓕, która odwzorowuje geometrię źródła na makroskopowe ℓ, jest głównym nierozwiązanym problemem wieloskalowej teorii BeeTheory.

Na podstawie dopasowania galaktycznego obserwujemy:

\(\frac{\ell_{\mathrm{bulge}}}{r_b}=0.41,\qquad \frac{\ell_{\mathrm{disk}}}{R_d}=3.17\)

Jeśli ℓ skaluje się jako potęga _Lsource, to:

\(\ell\propto L_{\mathrm{source}}^\gamma\) \(\gamma=\frac{\log(11.1/0.61)}{\log(3.5/1.5)}\approx\frac{\log(18.2)}{\log(2.33)}\approx3.4\)

Jest to strome skalowanie. Alternatywnie, różnica może odzwierciedlać geometrię: źródło dyskowe i źródło sferyczne generują jakościowo różne pola kolektywne.

Wyznaczenie 𝓕 wymaga zastosowania Teorii Pszczoły do próbki galaktyk o różnych morfologiach.

IV. Podsumowanie – dwie formuły obok siebie

Aspekt	Wzór I – cząstka elementarna	Wzór II – układ makroskopowy
Obiekt	Pojedyncza cząstka lub para cząstek	Ciągłe pole gęstości _ρvis(r)
Funkcja falowa	ψ(r) = ^Ne-r/a, dokładny stan kwantowy	Nie dotyczy; zastąpione przez pole _ρvis
Skala długości klucza	a = _a0 = 52,9 pm, promień Bohra	ℓ = spójność struktury źródła
Zależy od lokalnej gęstości?	Nie. _a0 jest stałą uniwersalną.	Tak. ℓ odzwierciedla geometrię i rozmiar źródła.
Potencjał interakcji	E(R) = -(κ/√π)^e-R/αeff + odpychanie	V(D) ∝ ^e-D/ℓ/D
Prawo siły	Siła wykładnicza krótkiego zasięgu	Newtonowska granica 1/D² dla D ≪ ℓ
Kalibracja	Cząsteczka H₂:_Req = 74,1 pm,_De = 4,52 eV	Droga Mleczna: Krzywa rotacji Gaia 2024, χ²/dof = 0,24
Darmowe parametry	κ = 3,509 _Eh, _αeff = 1,727 _a0	K i ℓ na składową źródła
Reżim fizyczny	D ~ _a0 ~ 10-¹¹ m	D ~ ℓ ~ 10²⁰ m
Połączenie	Wzór II wynika z zsumowania wzoru I dla ~10⁶⁷ par cząstek. Mikroskopijna skala _a0 oddziela; ℓ jest ustawiana przez geometrię źródła zbiorowego.

Wzór I opisuje, w jaki sposób pojedynczy element masy tworzy falę. Wzór II opisuje, w jaki sposób zespół elementów masy – galaktyka, wybrzuszenie, dysk – tworzy zbiorowe ciemne pole.

Pierwsza z nich to mechanika kwantowa. Druga to mechanika statystyczna zastosowana do teorii pszczół.

Dlaczego to rozróżnienie ma znaczenie dla przewidywań BeeTheory?

Bez tego rozróżnienia można by oczekiwać, że pomiar K i ℓ w jednej galaktyce natychmiast przewiduje wszystkie inne jako stałe uniwersalne.

Rzeczywistość jest bardziej subtelna. K wydaje się być w przybliżeniu uniwersalne dzięki bezwymiarowemu sprzężeniu:

\(\lambda=K\ell^2\approx3\)

Ale ℓ musi zostać obliczone na podstawie geometrii każdego komponentu źródłowego.

Przewidywanie jest następujące: biorąc pod uwagę promień dysku _Rd galaktyki, jej zewnętrzna długość koherencji ciemnej masy powinna wynosić w przybliżeniu:

\(\ell_d\approx3R_d\)

Można to sprawdzić na podstawie katalogu SPARC zawierającego 175 galaktyk.

Współczynnik wypukłości oferuje drugi test:

\(\frac{\ell_b}{r_b}\approx0.4\)

Przewiduje to, że zwarte wybrzuszenia generują pola ciemnej masy w skali sub-kpc, skoncentrowane w pobliżu centrów galaktyk.

Referencje

Dutertre, X. – Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com, 2023. Oryginalne sformułowanie funkcji falowej cząstki elementarnej.
Kolos, W., Wolniewicz, L. – Potential-Energy Curves for the H₂ molecule, Journal of Chemical Physics 43, 2429, 1965. Dane kalibracyjne dla wzoru I.
Ou, X. et al. – The dark matter profile of the Milky Way inferred from its circular velocity curve, MNRAS 528, 2024. Dane kalibracyjne dla wzoru II.
McMillan, P. J. – MNRAS 465, 76, 2017. Model masy galaktycznej użyty do zdefiniowania składników źródła.
Yukawa, H. – On the Interaction of Elementary Particles, Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan 17, 48, 1935. Struktura matematyczna potencjału makroskopowego.