BeeTheory – Foundations – Uwaga techniczna XIII

Dane wejściowe i trzy korpusy testowe

Metodologia przedstawiona w Nocie XII przekształca pięć danych obserwacyjnych w kompletny zestaw parametrów geometrycznych dla każdej galaktyki, gotowy do splotu pola falowego. Niniejsza notatka przedstawia te parametry wyraźnie dla trzech zbiorów testowych, które zostaną wykorzystane do oceny modelu: samej Drogi Mlecznej, zestawu kalibracyjnego 22 galaktyk i ślepej próby 94 galaktyk. Każdy krok rozszerza test o jeden rząd wielkości w liczbie galaktyk.

1. Protokół trzyetapowy

Trzy korpusy, trzy role

Krok 1 – Droga Mleczna (1 galaktyka). Punkt odniesienia. Ustala globalne sprzężenie pola falowego $\lambda$ z wewnętrznych badań gwiazd i map 21-cm.

Krok 2 – Zestaw kalibracyjny (22 galaktyki). Pierwsze dwadzieścia pozycji z katalogu SPARC plus trzy skrajne przypadki (gęsta, klasyczna spiralna, bogata w gaz). Model jest stosowany z $\lambda$ zamrożonymi od kroku 1, umożliwiając jedną globalną ponowną kalibrację w razie potrzeby.

Krok 3 – Ślepy test (94 galaktyki). Wszystkie parametry są zamrożone od kroku 2. Brak dalszej regulacji. Krzywe rotacji pozostałych galaktyk SPARC są czystymi przewidywaniami.

2. Parametry teorii uniwersalnej (identyczne dla wszystkich trzech korpusów)

Pięć liczb, ustalonych raz dla wszystkich galaktyk wszystkich rozmiarów i typów. Definiują one jądro fali i globalne sprzężenie. Nie będą się one zmieniać w trzech krokach.

Parametr	Symbol	Wartość	Rola
Amplituda masy falowej	$K_0$	$0.3759$	Ustawia bezwymiarową skalę jądra fali
Współczynnik koherencji 3D	$c_\text{sph}$.	$0.41$	$\ell_b / r_b$ dla wybrzuszenia
Współczynnik koherencji 2D	$c_\text{disk}$	$3.17$	$\ell / R_\text{scale}$ dla dysków i pierścienia gazowego
Współczynnik koherencji spirali	$c_\text{arm}$	$2.0$	$\ell_\text{arm} / R_d$ dla ramion spiralnych
Stosunek masy gwiezdnej do światła	$\Upsilon_\star$	$0.5\,M_\odot/L_\odot$	Spitzer 3,6 µm (McGaugh 2014)

3. Krok 1 – Droga Mleczna

3.1 Dane obserwacyjne

Ilość	Wartość	Źródło
Typ $T$ Hubble’a	4 (Sbc)	de Vaucouleurs et al. 1991
Długość skali dysku $R_d$	2,6$ kpc	Bovy & Rix 2013
Całkowita masa gwiazdowa $M_\star$	$4,0 razy 10^{10}\,M_\odot$.	Badania fotometryczne (Bland-Hawthorn i Gerhard 2016)
Całkowita masa gazu $M_\text{gas}$ (HI + He)	$1,06 razy 10^{10}\,M_\odot$.	Mapy 21 cm
Obserwowana prędkość płaska $V_f$	około 230$ km/s przy $R_\odot$.	Gaia DR3 (Ou et al. 2024)

3.2 Uzyskane parametry geometryczne na komponent

Komponent	Masa ($10^{10}\,M_\odot$)	Skala przestrzenna	Długość koherencji $\ell$	Profil
Wybrzuszenie ($T \leq 4$ → aktywowane)	1.240	$r_b$ = 0,61 kpc	$\ell_b$ = 0,25 kpc	3D Hernquist
Cienki dysk	2.070	$R_d$ = 2,60 kpc	$\ell_\text{thin}$ = 8.24 kpc	Wykładniczy 2D
Gruby dysk	0.690	$1.5\,R_d$ = 3.90 kpc	$\ell_\text{thick}$ = 12,36 kpc	Wykładniczy 2D
Pierścień gazowy	1.060	$R_g$ = 4,42 kpc	$\ell_\text{gas}$ = 14.01 kpc	Eksp. 2D z otworem
Ramiona spiralne	0.2070	$R_d$ = 2,60 kpc	$\ell_\text{arm}$ = 5,20 kpc	Azymutalny 2D

Proszęzwrócić uwagę na dane wejściowe dla Drogi Mlecznej: Droga Mleczna wykorzystuje bezpośrednie rozkłady obserwacyjne (Bland-Hawthorn & Gerhard 2016) zamiast wzoru fotometrycznego $M_star = 2pi R_d^2,Sigma_d,Upsilon_star$ używanego dla galaktyk SPARC. Wynika to z faktu, że Droga Mleczna jest obserwowana od wewnątrz, a jej składniki masy są mierzone poprzez połączenie przeglądów gwiezdnych, mikrosoczewkowania i dynamiki, a nie przez pojedynczą zintegrowaną jasność. Rozkład na składniki i równania pola falowego są poza tym identyczne.

4. Krok 2 – Dwadzieścia dwie galaktyki kalibracyjne

Pierwsze dwadzieścia pozycji z katalogu SPARC (Lelli et al. 2016), powiększone o trzy skrajne przypadki, które testują granice modelu: NGC 2841 (masywny gęsty wczesny typ), NGC 3198 (klasyczna spirala typu grand-design), DDO 154 (zdominowany przez gaz karzeł).

Dla każdej galaktyki, pięć danych obserwacyjnych $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, V_f)$ jest pobieranych z SPARC. Na ich podstawie obliczane są masy i długości koherencji pięciu składników przy użyciu wzorów z Uwagi XII. Poniższa tabela zawiera listę wszystkich wyprowadzonych wielkości.

Galaktyka	Typ	$R_d$ (kpc)	$\Sigma_d$ ($L_\odot/$pc$^2$)	$M_\text{gas}$ $(10^{10})$	$M_\star$ $(10^{10})$	$f_\text{gas}$.	$M_b$ $(10^{10})$	$r_b$ (kpc)	$M_\text{thin}$ $(10^{10})$	$M_\text{thick}$ $(10^{10})$	$\ell_\text{thin}$. (kpc)	$\ell_\text{gas}$. (kpc)
CamB	Im	0.47	66	0.002	0.005	0.32	–	–	0.003	0.001	1.49	2.53
D631-7	Im	0.70	115	0.051	0.018	0.74	–	–	0.013	0.004	2.22	3.77
DDO064	Im	0.33	120	0.023	0.004	0.85	–	–	0.003	0.001	1.05	1.78
DDO154	Im (gaz)	0.60	45	0.063	0.005	0.92	–	–	0.004	0.001	1.90	3.23
DDO161	Im	1.10	35	0.109	0.013	0.89	–	–	0.010	0.003	3.49	5.93
DDO168	Im	0.69	100	0.028	0.015	0.65	–	–	0.011	0.004	2.19	3.72
DDO170	Im	1.10	25	0.051	0.010	0.84	–	–	0.007	0.002	3.49	5.93
ESO116-G012	Sd	2.10	115	0.160	0.159	0.50	–	–	0.119	0.040	6.66	11.32
ESO444-G084	Im	0.55	60	0.016	0.006	0.74	–	–	0.004	0.001	1.74	2.96
F561-1	Im	2.50	30	0.120	0.059	0.67	–	–	0.044	0.015	7.92	13.47
F563-1	Im	2.70	20	0.160	0.046	0.78	–	–	0.034	0.011	8.56	14.55
F563-V1	Im	1.20	25	0.040	0.011	0.78	–	–	0.008	0.003	3.80	6.47
F563-V2	Im	1.10	30	0.047	0.011	0.80	–	–	0.009	0.003	3.49	5.93
F565-V2	Im	1.00	18	0.027	0.006	0.82	–	–	0.004	0.001	3.17	5.39
F567-2	Im	1.80	15	0.080	0.015	0.84	–	–	0.011	0.004	5.71	9.70
F568-1	Sd	3.20	40	0.239	0.129	0.65	–	–	0.097	0.032	10.14	17.24
F568-3	Sd	3.00	35	0.200	0.099	0.67	–	–	0.074	0.025	9.51	16.17
F568-V1	Im	2.10	20	0.106	0.028	0.79	–	–	0.021	0.007	6.66	11.32
F571-8	Sd	4.50	50	0.293	0.318	0.48	–	–	0.239	0.080	14.27	24.25
F574-1	Sd	3.60	30	0.253	0.122	0.67	–	–	0.092	0.031	11.41	19.40
NGC2841	Sb	3.50	605	1.104	2.328	0.32	0.466	1.75	1.397	0.466	11.09	18.86
NGC3198	Sc	3.14	153	1.144	0.474	0.71	–	–	0.355	0.118	9.95	16.92

Wszystkie 22 galaktyki z zestawu kalibracyjnego. Masy i promienie wybrzuszenia pojawiają się tylko dla $T \leq 4$ (dwa ostatnie wiersze, NGC 2841 i NGC 3198). Długości koherencji $\ell_\text{thick} = 1.5\,\ell_\text{thin}$ i $\ell_\text{arm} = (2.0/3.17)\,\ell_\text{thin}$ zostały pominięte w tabeli, aby zachować jej kompaktowość.

Pokrycie przestrzeni parametrów

22 galaktyki kalibracyjne obejmują zakres $R_d$ od $0,33$ do $4,5$ kpc (czynnik 14), $Sigma_d$ od 15 do 605 $L_odot/text{pc}^2$ (czynnik 40) i masę gwiazdową od $4 razy 10^7$ do $2,3 razy 10^{10},M_odot$ (czynnik 500). Droga Mleczna ($R_d = 2,6$ kpc, $M_star = 4 razy 10^{10}$) znajduje się na górnym, masywnym krańcu zakresu, co czyni ją rygorystyczną kotwicą kalibracyjną dla karłów, które dominują w próbce.

5. Krok 3 – Ślepy test na 94 galaktykach SPARC

Zestaw ślepych testów składa się z 94 galaktyk pochodzących z katalogu SPARC, odrębnych od 22 galaktyk kalibracyjnych. Obejmują one cały zakres galaktyk dyskowych – od zwartych karłów po gigantyczne spirale – i nigdy nie były używane do kalibracji żadnego parametru.

Dla zwięzłości, w poniższej tabeli przedstawiono tylko dwanaście reprezentatywnych galaktyk. Pełna lista 94 galaktyk znajduje się w Dodatku A.

Galaktyka	Typ	$R_d$ (kpc)	$\Sigma_d$	$M_\text{gas}$ $(10^{10})$	$M_\star$ $(10^{10})$	$f_\text{gas}$.	$M_b$ $(10^{10})$	$r_b$ (kpc)	$M_\text{thin}$ $(10^{10})$	$M_\text{thick}$ $(10^{10})$	$\ell_\text{thin}$. (kpc)	$\ell_\text{gas}$. (kpc)
F583-1	Im	1.80	22	0.093	0.022	0.81	–	–	0.017	0.006	5.71	9.70
IC2574	Sm	2.80	18	0.293	0.044	0.87	–	–	0.033	0.011	8.88	15.09
M33	Sc	1.40	190	0.146	0.117	0.56	–	–	0.088	0.029	4.44	7.54
NGC0801	Sc	5.80	190	0.931	2.008	0.32	–	–	1.506	0.502	18.39	31.26
NGC2403	Sc	1.80	186	0.279	0.189	0.60	–	–	0.142	0.047	5.71	9.70
NGC3521	Sbc	2.80	327	1.144	0.805	0.59	0.161	1.40	0.483	0.161	8.88	15.09
NGC5055	Sbc	3.50	250	0.998	0.962	0.51	0.192	1.75	0.577	0.192	11.09	18.86
UGC02885	Sc	8.50	150	2.394	3.405	0.41	–	–	2.554	0.851	26.95	45.81
UGC11455	Sc	5.50	40	1.064	0.380	0.74	–	–	0.285	0.095	17.43	29.64
NGC6503	Sc	2.40	210	0.466	0.380	0.55	–	–	0.285	0.095	7.61	12.93
NGC2915	Im	0.50	160	0.064	0.013	0.84	–	–	0.009	0.003	1.58	2.69
UGC02487	S0	7.50	300	1.596	5.301	0.23	1.060	3.75	3.181	1.060	23.77	40.42

Reprezentatywny podzbiór (12 z 94 niewidomych galaktyk). Pełna lista obejmuje typy Hubble’a S0-Im i zawiera najbardziej masywne obserwowane galaktyki dyskowe (UGC 02885, UGC 11455), jak również ultra-kompaktowe galaktyki karłowate (NGC 6789, UGC 05764).

Zakres testowy

94 ślepe galaktyki rozszerzają przestrzeń parametrów znacznie poza zestaw kalibracyjny. $R_d$ waha się od $0.30$ do $8.50$ kpc, gęstość powierzchniowa od $12$ do $605$ $L_\odot/\text{pc}^2$, a obserwowana prędkość płaska od $17$ do $330$ km/s. Kotwica kalibracyjna Drogi Mlecznej przy $R_d = 2,6$ kpc znajduje się mniej więcej w geometrycznej medianie tego rozkładu.

6. Struktura trzech korpusów – podsumowanie porównawcze

Własność	Krok 1 – Droga Mleczna	Krok 2 – 22 galaktyki kalibracyjne	Krok 3 – 94 ślepe galaktyki
Liczba galaktyk	1	22	94
Rola	Kotwica	Kalibracja / dopasowanie globalne $\lambda$	Przewidywanie
Zakres $R_d$	2,6 kpc (stała)	$0.33$ – $4.5$ kpc	0,30$ – 8,5$ kpc
Zakres $\Sigma_d$	(masa bezpośrednia)	15 – 605 $L_\odot/\text{pc}^2$	12 – 605 $L_\odot/\text{pc}^2$
Zakres $M_\star$	$4 \ razy 10^{10}\,M_\odot$.	$4 \ razy 10^7$ – $2,3 \ razy 10^{10}$.	3 \ razy 10^7$ – 5,3 \ razy 10^{10}$.
Zakres $V_f$	230 km/s	2 – 278 km/s	17 – 330 km/s
Uwzględnione typy Hubble’a	Sbc	S0a, Sb, Sc, Sd, Im	S0, Sa, Sb, Sbc, Sc, Sd, Im, Sm
Aktywowane wybrzuszenia ($T \leq 4$)	Tak	2 z 22	$\sim$30 z 94
Co jest zamontowane	$\lambda$ (globalne sprzężenie)	$\lambda$ może zostać dopasowana globalnie	Nic – całkowicie niewidomy

7. Co ustala niniejsza nota

Dane wejściowe w pełni określone przed jakimikolwiek obliczeniami

Dla każdej ze 117 galaktyk (1 + 22 + 94), pięć obserwacyjnych danych wejściowych $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, \Upsilon_\star)$ i wynikowy rozkład geometryczny są ustalone przed rozpoczęciem obliczeń pola falowego. Równania pola falowego z uwagi XII działają na tych danych wejściowych bez żadnego dostrajania specyficznego dla galaktyki poza uniwersalnymi parametrami $(K_0, c_\text{sph}, c_\text{disk}, c_\text{arm}, \lambda)$.

Stopniowy test uogólniania

Te trzy kroki tworzą naturalną kaskadę rosnącej wagi testu. Krok 1 ustala, że struktura może opisywać Drogę Mleczną przy użyciu jej obserwowanej zawartości barionowej. Krok 2 weryfikuje, czy kalibracja uogólnia się na małą, heterogeniczną próbkę, w tym przypadki ekstremalne. Krok 3 umieszcza strukturę w prawdziwym trybie predykcyjnym, bez dalszego dostosowywania parametrów, na wystarczająco dużej próbie, aby statystyki resztkowe były znaczące.

Jednokierunkowość przez cały czas

Na każdym kroku krzywa rotacji jest obliczana na podstawie danych barionowych, nigdy odwrotnie. Porównanie z obserwacją jest testem, a nie pętlą kalibracyjną. Pojedyncza liczba $lambda$ jest ustalana raz dla Drogi Mlecznej (Krok 1), ewentualnie udoskonalana globalnie dla 22 galaktyk kalibracyjnych (Krok 2), a następnie zamrażana dla ślepego przewidywania dla 94 pozostałych galaktyk (Krok 3).

8. Podsumowanie

1. Struktura BeeTheory zostanie zastosowana w trzech kolejnych krokach: 1 galaktyka (Droga Mleczna), następnie 22 (kalibracja), a następnie 94 (ślepa).

2. Dla każdej galaktyki, pięć obserwacyjnych danych wejściowych $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, \Upsilon_\star)$ tworzy pięcioskładnikowy rozkład z wyraźnymi masami, skalami i długościami koherencji, obliczonymi raz za pomocą wzorów z Uwagi XII.

3. Pięć parametrów teorii uniwersalnej $(K_0, c_\text{sph}, c_\text{disk}, c_\text{arm}, \Upsilon_\star) $ stosuje się identycznie do wszystkich 117 galaktyk. Globalne sprzężenie $\lambda$ jest dopasowywane najpóźniej w kroku 2 i zamrażane dla kroku 3.

4. Zestaw kalibracyjny obejmuje czynnik 14 w $R_d$, 40 w $\Sigma_d$ i 500 w $M_\star$. Zestaw niewidomych rozszerza te zakresy jeszcze bardziej. Kotwica Drogi Mlecznej znajduje się w obu zakresach.

5. Każdy krok jest testem uogólnienia modelu. Krok ślepy jest czysto predykcyjny: żadne informacje o krzywej rotacji z 94 galaktyk nie wchodzą do obliczeń na żadnym etapie.

Referencje. Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. – SPARC: Modele masy dla 175 galaktyk dys kowych z fotometrią Spitzera i dokładnymi krzywymi rotacji, AJ 152, 157 (2016). Źródło katalogu. – Bland-Hawthorn, J., Gerhard, O. – The Galaxy in Context, ARA&A 54, 529 (2016). Parametry strukturalne Drogi Mlecznej. – Bovy, J., Rix, H.-W. – A direct dynamical measurement of the Milky Way’s disk surface density profile, ApJ 779, 115 (2013). – McGaugh, S. S. – The third law of galactic rotation, Galaxies 2, 601 (2014). $\Upsilon_\star$ przy 3,6 µm. – Ou, X. et al. – The dark matter profile of the Milky Way, MNRAS 528, 693 (2024). Krzywa rotacji Gaia 2024. – Dutertre, X. – Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023).