BeeTheory – Podstawy – Uwaga techniczna IV
Symulacja numeryczna:
BeeTheory Force Between Two Lead Spheres (Cavendish Setup) (Siła teorii pszczół pomiędzy dwiema ołowianymi kulami)
Dwie ołowiane kule o średnicy 5 cm – kanoniczna geometria zainspirowana eksperymentem Cavendisha – stanowią makroskopowy przypadek testowy dla siły grawitacji BeeTheory. Traktując każdą kulę jako pojedynczą równoważną cząstkę w jej centrum, z amplitudą skalowaną do całkowitej liczby atomów, BeeTheory odtwarza odwrotnie kwadratowe skalowanie prawa grawitacji Newtona.
1. Wzór, parametry i kluczowe wyniki
Siła teorii pszczół między dwiema makroskopowymi kulami
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$.
gdzie $N_A, N_B$ to liczba atomów w każdej sferze, a
$K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom})$ jest sprzężeniem atomowym BeeTheory.
Każda kula jest traktowana jako jedna równoważna cząstka, zlokalizowana w jej geometrycznym środku. Amplituda jej kolektywnej funkcji falowej jest sumą amplitud atomów $N$ tworzących kulę – proporcjonalną do całkowitej liczby atomów, a zatem do całkowitej masy. Siła między dwiema równoważnymi cząstkami wynika bezpośrednio z dwuatomowego wyniku z poprzedniej notatki, przy czym wzmocnienie $N_A razy N_B$ odzwierciedla kolektywne pole falowe każdej kuli.
Parametry fizyczne
| Parametr | Symbol | Wartość |
|---|---|---|
| Zredukowana stała Plancka | $\hbar$ | 1,0546 razy 10^{-34}$ J-s |
| Masa atomowa (ołów) | $m_\text{atom}$ | 3,441 razy 10^{-25}$ kg (= 207,2 u) |
| Promień atomowy (ołów, kowalencyjny) | $a_\text{atom}$ | 175 $ razy 10^{-12}$ m = 175 pm |
| Sprzężenie atomowe BeeTheory | $K_{\text{BT}}$. | 2,771 razy 10^{-34}$ J-m |
| Gęstość ołowiu | $\rho_{\text{Pb}}$. | $11\,340$ kg/m³ |
Geometria symulacji
| Ilość | Wartość |
|---|---|
| Średnica każdej kuli | 5,0 cm |
| Promień każdej kuli | 2,5 cm |
| Masa każdej kuli | 742.2 g |
| Liczba atomów na sferę $N$ | 2,157 razy 10^{24}$. |
| Referencyjna odległość między środkami $R$ | 6,0 cm |
Kluczowy wynik
Prawo odwrotności kwadratu potwierdzone w skali makroskopowej
BeeTheory przewiduje, że siła między dwiema makroskopowymi ołowianymi kulami skaluje się dokładnie jako $1/R^2$ – prawo odwrotności kwadratu grawitacji. Stosunek do newtonowskiego przewidywania $F_N = G\,M^2/R^2$ jest stały:
$$\frac{F_{\text{BT}}}{F_N} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{G\,m_\text{atom}^2} \;\approx\; 3.5 \times 10^{25}$$
niezależnie od $R$ dla tego równoważnego punktowo modelu. Postać funkcjonalna prawa Newtona została odtworzona w identyczny sposób; amplituda bezwzględna pozostaje większa od wartości newtonowskiej o stały współczynnik określony przez parametry atomowe $(\hbar, m_\text{atom}, a_\text{atom})$.
2. Metoda: każda kula jako jedna równoważna cząstka
W poprzedniej nocie technicznej ustaliliśmy, że między dwiema cząstkami elementarnymi mechanizm falowy BeeTheory wytwarza siłę przyciągającą zgodnie ze strukturą Newtona $1/R^2$. Aby rozszerzyć ten wynik na obiekty makroskopowe, używamy najprostszej recepty: każda kula jest reprezentowana jako jedna równoważna cząstka zlokalizowana w jej środku, z amplitudą funkcji falowej zwiększoną proporcjonalnie do całkowitej liczby atomów, które zawiera.
Współczynnik wzmocnienia
$$N \;=\; \frac{M_\text{sphere}}{m_\text{atom}}$$
Dla ołowianej kuli o średnicy 5 cm daje to $N = 0,742\,\text{kg} / 3,441 razy 10^{-25}\,\text{kg} \około 2,16 \ razy 10^{24}$. Amplituda fali kolektywnej każdej kuli jest wielokrotnie większa niż amplituda pojedynczego atomu ołowiu. Siła BeeTheory między dwiema kulami jest następnie uzyskiwana przez połączenie dwóch amplitud:
Siła między dwiema równoważnymi cząstkami
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2} \;=\; \frac{M_A \cdot M_B}{m_\text{atom}^2} \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$
Wzór ten ma strukturę prawa Newtona: proporcjonalny do iloczynu mas i odwrotnie proporcjonalny do kwadratu odległości. Stałą proporcjonalności jest sprzężenie BeeTheory $K_{\text{BT}}/m_\text{atom}^2$, które odgrywa rolę efektywnej stałej grawitacyjnej w tym uproszczonym sformułowaniu:
Efektywna stała grawitacyjna teorii pszczół
$$G_{\text{BT}} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{m_\text{atom}^2} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_\text{atom}^3\,a_\text{atom}}$$
3. Wyniki numeryczne dla różnych odległości
Poniższa tabela przedstawia siłę BeeTheory i odpowiadającą jej siłę Newtona między dwiema ołowianymi kulami, oszacowaną dla odległości od centymetra, typowej dla wagi Cavendisha, do dziesięciu metrów:
| $R$ (cm) | $F_{\text{BT}}$ (N) | $F_N = G M^2/R^2$ (N) | $F_{\text{BT}}/F_N$. | Prawo skalowania |
|---|---|---|---|---|
| 6 | $3,58 razy 10^{17}$. | $1,02 razy 10^{-8}$. | $3,51 razy 10^{25}$. | $1/R^2$ |
| 10 | $1,29 razy 10^{17}$. | $3,68 razy 10^{-9}$. | $3,51 razy 10^{25}$. | $1/R^2$ |
| 20 | $3,22 razy 10^{16}$. | $9,19 razy 10^{-10}$. | $3,51 razy 10^{25}$. | $1/R^2$ |
| 50 | 5,16 razy 10^{15}$. | $1,47 razy 10^{-10}$. | $3,51 razy 10^{25}$. | $1/R^2$ |
| 100 | $1,29 razy 10^{15}$. | $3,68 razy 10^{-11}$. | $3,51 razy 10^{25}$. | $1/R^2$ |
| 1 000 | $1,29 razy 10^{13}$. | $3,68 razy 10^{-13}$. | $3,51 razy 10^{25}$. | $1/R^2$ |
Stosunek $F_{\text{BT}}/F_N$ jest ściśle stały na wszystkich badanych odległościach. Potwierdza to, że oba wyrażenia mają tę samą postać funkcyjną $1/R^2$. W tym uproszczonym modelu równoważnych cząstek, BeeTheory dokładnie odtwarza skalowanie odwrotności kwadratu Newtona; oba różnią się ogólną stałą multiplikatywną ustaloną przez parametry w skali atomowej.
4. Szczegółowe obliczenia dla $R = 6$ cm
Aby symulacja była w pełni przejrzysta, poniżej przedstawiamy obliczenia krok po kroku dla referencyjnej konfiguracji Cavendisha:
Krok 1 – Sprzężenie atomowe
$$K_{\text{BT}} \;=\; \frac{3 \hbar^2}{2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom}} \;=\; \frac{3 \times (1.054 \times 10^{-34})^2}{2 \times 3.441 \times 10^{-25} \razy 1,75 razy 10^{-10}}$$.
$$K_{\text{BT}} \2,771 razy 10^{-34}\;\text{J-m}$$.
Krok 2 – Liczba atomów na sferę
$$N \;=\; \frac{M_\text{sphere}}{m_\text{atom}} \;=\; \frac{0.742\;\text{kg}}{3.441 \ razy 10^{-25}\;\text{kg}}$$.
$$N \;=\; 2,157 \ razy 10^{24}\; \text{atomy}$$
Krok 3 – Siła BeeTheory przy R = 6 cm
$$F_{\text{BT}} \;=\; N^2 \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2} \;=\; (2,157 \ razy 10^{24})^2 \cdot \frac{2,771 \ razy 10^{-34}}{(0,06)^2}$$.
$$F_{\text{BT}} \;=\; 3,58 \times 10^{17}\;\text{N}$$
Krok 4 – odniesienie newtonowskie przy R = 6 cm
$$F_N \;=\; \frac{G\,M^2}{R^2} \;=\; \frac{6,674 \times 10^{-11} \times (0.742)^2}{(0.06)^2}$$.
$$F_N \;=\; 1,02 \ razy 10^{-8}\; \text{N} \;\approx\; 10\;\text{nN}$$.
Newtonowska wartość około 10 nN jest rzędu wielkości oczekiwanej dla przyciągania grawitacyjnego między subkilogramowymi ołowianymi kulami w centymetrowej skali odległości. Wartość BeeTheory w tym uproszczonym modelu cząstek równoważnych jest znacznie większa, ale jej zależność od odległości jest identyczna: obie siły skalują się jako $1/R^2$.
5. Co ustala ten wynik
Struktura odwrotności kwadratu Newtona została odtworzona
Dla dwóch makroskopowych kul traktowanych jako równoważne cząstki punktowe, BeeTheory wytwarza siłę, która skaluje się dokładnie jako $1/R^2$ i jest ściśle proporcjonalna do iloczynu mas $M_A cdot M_B$. Są to dwie definiujące cechy strukturalne prawa powszechnej grawitacji Newtona i obie wynikają bezpośrednio z mechanizmu falowego BeeTheory w tym uproszczonym modelu.
Parametry w skali atomowej napędzają amplitudę
Amplituda BeeTheory $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2 m_\text{atom} a_\text{atom})$ zależy wyłącznie od właściwości kwantowych atomów składowych: Stałej Plancka, masy atomowej i promienia atomowego. Wybór ołowiu w tej symulacji zapewnia określone wartości liczbowe, ale struktura przewidywania jest ogólna. Każdy materiał wytworzyłby takie samo skalowanie $1/R^2$, z amplitudą skalowaną przez jego własne parametry atomowe.
Rola eksperymentalnej stałej G
Stała grawitacyjna Newtona $G$ jest mierzoną stałą makroskopową. BeeTheory wyprowadza strukturę oddziaływania grawitacyjnego z formalizmu falowego; dopasowanie dokładnej wartości liczbowej $G$ wymaga empirycznego pomostu między mikroskopowymi parametrami falowymi a obserwacją makroskopową. Znaleziony powyżej stosunek $F_{\text{BT}}/F_N około 3,5 \ razy 10^{25}$ kwantyfikuje lukę amplitudy w tym modelu cząstek równoważnych sferze ołowiu.
6. Podsumowanie
1. Dwie ołowiane kule o średnicy 5 cm i masie 742 g każda, traktowane jako równoważne cząstki punktowe, generują siłę BeeTheory o postaci $F_{\text{BT}}(R) = N^2 \cdot K_{\text{BT}}/R^2$.
2. Siła ta ma taką samą zależność funkcyjną jak prawo Newtona $F_N = G\,M^2/R^2$, zarówno pod względem skalowania $1/R^2$, jak i proporcjonalności $M_A \cdot M_B$.
3. Stosunek $F_{\text{BT}}/F_N$ jest stały dla ołowiu w tym modelu, równy $K_{\text{BT}}/(G m_\text{atom}^2) \ około 3,5 \ razy 10^{25}$, niezależnie od odległości.
4. BeeTheory odtwarza w ten sposób makroskopową strukturę odwrotności kwadratu związaną z układem grawitacyjnym typu Cavendisha, pozostawiając absolutną normalizację związaną ze stałą empiryczną $G$.
Kolejna notatka analizuje, w jaki sposób ten sam mechanizm falowy, zastosowany do rozszerzonych rozkładów materii, takich jak galaktyki i gromady gwiazd, w naturalny sposób wytwarza dodatkowe efekty grawitacyjne historycznie przypisywane ciemnej materii – bez przywoływania żadnej nowej cząstki.
Referencje. Dutertre, X. – Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023). Podstawowe wyprowadzenie. – Cavendish, H. – Experiments to Determine the Density of the Earth, Philosophical Transactions of the Royal Society 88, 469 (1798). Oryginalny pomiar przyciągania grawitacyjnego między ołowianymi kulami. – Newton, I. – Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Royal Society (1687). Uniwersalne prawo grawitacji.
BeeTheory.com – Kwantowa grawitacja oparta na falach – test makroskopowy – © Technoplane S.A.S. 2026