Wiskundige samenvatting (som van e-αr golven)
1) Ansatz (twee deeltjes A en B)
Modelleer elk deeltje als een monochromatische, gelokaliseerde, isotrope bron van een complex scalair veld (de “materiegolf”):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A, e^{-alfa|\mathbf r-\mathbf r_A|}}, e^{-i\omega_1 t}, \kwadraat \psi_B(\mathbf r,t)=B, e^{-ibèta|\mathbf r-\mathbf r_B|}}, e^{-i\omega_2 t}. \]
en over elkaar heen leggen:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Schakel over naar sferische coördinaten rond B: schrijf \(\mathbf r = \mathbf r_B+\mathbf s) met \(r=|mathbf s|ll R), en definieer:
\[ R=|mathbf r_B- r_A|, kwadraat |\r- r_B=r,\kwadraat |\r- r_A|= r- r- r- r_A|= r- r- r- r- r \]
Voor \(rr):
\[ |\R- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r- r-rattheta + O(r^2/R) \]
zo dichtbij B:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A, e^{-alfa R}, e^{+alfa rcosheta}, e^{-iomega_1 t}, \kwadraat \psi_B(\mathbf r,t)=B, e^{-alfa r}, e^{-i\omega_2 t}. \]
In het punt \(B_0) (dus \(r=0)) is de bijdrage van A:
\[ \psi_A(B_0,t)=A{-alfa R},e^{-iomega_1 t} \]
2) Welke golfvergelijking moet ik gebruiken?
De correcte vrije Schrödingervergelijking is:
\[ ihbar}{2m}pi = -frac{hbar^2}{2m}pi \]
De stationaire toestanden zijn oscillerende vlakke/sferische golven; een omhullende e^{-alpha r}} alleen is geen exacte vrije-Schrödingeroplossing.
Om exponentiële profielen te verkrijgen, gebruikt u de vergelijking van Helmholtz of Poisson:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\phi(\mathbf r,t)=4\pi,S(\mathbf r)^{-iomega t}. \; G_\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
Voor een puntbron:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}},\frac{e^{-mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}}{\mathbf r-\mathbf r_A|}},e^{-i\omega_1 t}}. \]
In de quasi-statische limiet van \mu tot 0 \:
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Effectieve potentiaal en de wet van 1/R
Als B koppelt aan het veld van A met koppeling \(g_B\), dan is de interactie-energie:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}, \frac{e^{-\mu R}}{R}cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Na middeling in de tijd (of als \omega_1\simeq\omega_2):
\[ V_{AB}(R)\frac{e^{-\mu R}}{R} \]
De bijbehorende kracht is:
\[ \mathbf F(R)=-{g_A g_B}{4\pi}, e^{-{g_A g_B}{4\pi}, links (\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}}rechts) \hat{\mathbf R}} \]
In de lange-afstandslimiet \mu R\ll 1\ wordt een zwaartekrachtswet van 1/R² weergegeven.
4) Nuttige identiteiten (snelle validatie)
Laplaciaan van radiale exponentialen:
\[ \^nabla^2(e^{-alfa r})= e^{-alfa r}} links (\alpha^2-\frac{2\alpha}{r} rechts) \]
Green’s functie-identiteit:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
De 1/r singulariteit (en de wet van 1/R voor het verre veld) komt van de structuur van de groene functie \(G(r)\sim 1/r), niet van een kale \(e^{-alfa r}) zonder de factor \(1/r).
In twee regels
- Plaats gelokaliseerde golven: \Psi=\psi_A+\psi_B\) met omhullingen \(e^{-alfa r}).
- Om een potentiaal \(\sim 1/R) (en kracht \(\sim 1/R^2)) te krijgen, moet de mediator Poisson/Helmholtz gehoorzamen: \G(r)\sim e^{-\mu r}/r). Dan moet \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/r), en voor \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/r): \.
