BeeTheory – 기초 – 기술 노트 IV
수치 시뮬레이션:
두 납 구 사이의 벌이론 힘 (캐번디쉬 설정)
캐번디시 실험에서 영감을 얻은 표준 기하학인 지름 5cm의 납 구 두 개는 BeeTheory 중력에 대한 거시적인 테스트 사례를 제공합니다. 각 구를 중심에 있는 하나의 등가 입자로 취급하고 진폭을 전체 원자 수에 맞춰 조정한 BeeTheory는 뉴턴의 중력 법칙의 역제곱 배율을 재현합니다.
1. 공식, 매개변수 및 주요 결과
두 거시적 구체 사이의 벌이론 힘
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$.
여기서 $N_A, N_B$는 각 구의 원자 수이며, $K_{\text}$는 다음과 같습니다.
K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom})$는 비이론 원자 결합입니다.
각 구체는 기하학적 중심에 국한된 하나의 등가 입자로 취급됩니다. 집합 파동 함수의 진폭은 구를 구성하는 $N$ 원자의 진폭의 합으로, 총 원자 수에 비례하며 따라서 총 질량에 비례합니다. 두 개의 등가 입자 사이의 힘은 이전 노트의 두 원자 결과에서 직접 따르며, 각 구의 집합 파장을 반영하는 $N_A 곱하기 N_B$ 증폭을 따릅니다.
물리적 매개 변수
| 매개변수 | 기호 | 가치 |
|---|---|---|
| 플랑크 상수 감소 | $\hbar$ | 1.0546 \times 10^{-34}$ J-s |
| 원자 질량(납) | $m_\text{atom}$ | 3.441 \times 10^{-25}$ kg(= 207.2u) |
| 원자 반경(납, 공유 결합) | $a_\text{atom}$ | 175 \times 10^{-12}$ m = 175 오후 |
| 비이론 원자 결합 | $K_{\text{BT}}$ | 2.771 \times 10^{-34}$ J-m |
| 리드 밀도 | $\rho_{\text{Pb}}$ | 11\,340$ kg/m³ |
시뮬레이션의 기하학적 구조
| 수량 | 가치 |
|---|---|
| 각 구의 지름 | 5.0 cm |
| 각 구의 반경 | 2.5cm |
| 각 구의 질량 | 742.2 g |
| 구체당 원자 수 $N$ | 2.157 \times 10^{24}$ |
| 기준 센터 간 거리 $R$ | 6.0 cm |
주요 결과
거시적 규모에서 확인된 역제곱 법칙
BeeTheory는 중력의 역제곱 법칙인 $1/R^2$와 정확히 일치하는 두 개의 거시적 납 구 사이의 힘을 예측합니다. 뉴턴의 예측인 $F_N = G\,M^2/R^2$와의 비율은 일정합니다:
$$\frac{F_{\text{BT}}}{F_N} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{G\,m_\text{atom}^2} \;\약\; 3.5 \times 10^{25}$$.
이 점 등가 모델의 경우 $R$과 무관합니다. 뉴턴 법칙의 함수 형태는 동일하게 회복되며, 절대 진폭은 원자 매개변수 $(\hbar, m_\text{atom}, a_\text{atom})$에 의해 설정된 일정한 계수만큼 뉴턴 값보다 더 크게 유지됩니다.
2. 방법: 각 구체는 하나의 등가 입자로 간주합니다.
이전 기술 노트에서는 두 기본 입자 사이에서 벌이론 파동 메커니즘이 뉴턴의 $1/R^2$ 구조를 따라 인력을 발생시킨다는 사실을 확인했습니다. 이 결과를 거시적 물체로 확장하기 위해 가장 간단한 처방을 사용합니다. 각 구는 그 중심에 국한된 하나의 등가 입자로 표현되며, 파동 함수 진폭은 포함된 총 원자 수에 비례하여 증가합니다.
증폭 계수
$$N \;=\; \frac{M_\text{구}}{m_\text{원자}}$$
직경 5cm의 납 구의 경우 $N = 0.742\,\text{kg}입니다. / 3.441 \times 10^{-25}\,\text{kg} \약 2.16 \times 10^{24}$입니다. 각 구의 집단 파동 진폭은 단일 납 원자보다 이보다 몇 배 더 큽니다. 그러면 두 구체 사이의 벌이론 힘은 두 진폭을 결합하여 구할 수 있습니다:
두 등가 입자 사이의 힘
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2} \;=\; \frac{M_A \cdot M_B}{m_\text{atom}^2} \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$
이 공식은 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례하는 뉴턴의 법칙의 구조를 가지고 있습니다. 비례 상수는 이 단순화된 공식에서 유효 중력 상수의 역할을 하는 벌이론 결합 $K_{\text{BT}}/m_\text{atom}^2$입니다:
벌이론 유효 중력 상수
$$G_{\text{BT}} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{m_\text{atom}^2} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_\text{atom}^3\,a_\text{atom}}$$
3. 거리별 수치 결과
아래 표는 캐번디시 저울의 일반적인 간격인 센티미터에서 10미터까지의 거리에서 평가한 두 납 구 사이의 벌 이론 힘과 그에 상응하는 뉴턴의 힘을 보여줍니다:
| R$ (cm) | $F_{\text{BT}}$ (N) | $f_n = g m^2/R^2$ (n) | $F_{\text{BT}}/F_N$ | 스케일링 법칙 |
|---|---|---|---|---|
| 6 | 3.58 \times 10^{17}$ | 1.02 \times 10^{-8}$ | 3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 10 | 1.29 \times 10^{17}$ | 3.68 \times 10^{-9}$ | 3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 20 | 3.22 \times 10^{16}$ | $9.19 \배 10^{-10}$ | 3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 50 | 5.16 \times 10^{15}$ | 1.47 \times 10^{-10}$ | 3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 100 | 1.29 \times 10^{15}$ | 3.68 \times 10^{-11}$ | 3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 1 000 | 1.29 \times 10^{13}$ | 3.68 \times 10^{-13}$ | 3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
F_{\text{BT}}/F_N$의 비율은 테스트한 모든 거리에서 엄격하게 일정합니다. 이는 두 식이 동일한 $1/R^2$ 함수 형태를 공유한다는 것을 확인시켜 줍니다. 이 단순화된 등가 입자 모델에서 BeeTheory는 뉴턴의 역제곱 배율을 정확히 재현하며, 이 둘은 원자 규모 매개변수에 의해 설정된 전체 곱셈 상수만큼 다릅니다.
4. R = 6$ cm에서 상세 계산
시뮬레이션을 완전히 투명하게 만들기 위해 캐번디시와 유사한 참조 구성에서 단계별 계산을 수행합니다:
1단계 – 원자 결합
$$K_{\text{BT}} \;=\; \frac{3 \hbar^2}{2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom}} \;=\; \frac{3 \times (1.054 \times 10^{-34})^2}{2 \times 3.441 \times 10^{-25} \1.75 \times 10^{-10}}$$
$$K_{\text{BT}} \;=\; 2.771 \times 10^{-34}\;\text{J-m}$$
2단계 – 구체당 원자 수
$$N \;=\; \frac{M_\text{구}}{m_\text{원자}} \;=\; \frac{0.742\;\text{kg}}{3.441 \times 10^{-25}\;\text{kg}}$$
$$N \;=\; 2.157 \times 10^{24}\;\text{atoms}$$
3단계 – R = 6cm에서 벌 이론의 힘
$$F_{\text{BT}} \;=\; N^2 \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2} \;=\; (2.157 \times 10^{24})^2 \cdot \frac{2.771 \times 10^{-34}}{(0.06)^2}$$
$$F_{\text{BT}} \;=\; 3.58 \times 10^{17}\;\text{N}$$
4단계 – R = 6 cm에서의 뉴턴 기준
$$F_N \;=\; \frac{G\,M^2}{R^2} \;=\; \frac{6.674 \times 10^{-11} \times (0.742)^2}{(0.06)^2}$$
$$F_N \;=\; 1.02 \times 10^{-8}\;\text{N} \;\approx\; 10\;\text{nN}$$
뉴턴의 값인 약 10 nN은 센티미터 규모의 분리에서 1킬로그램 미만의 납 구 사이의 중력 인력의 예상 크기 순서입니다. 이 단순화된 등가 입자 모델에서 비이론 값은 훨씬 더 크지만 거리 의존성은 동일합니다. 두 힘은 모두 $1/R^2$로 스케일링됩니다.
5. 이 결과로 확인된 사항
뉴턴의 역제곱 구조 재현
등가 점 입자로 취급되는 두 개의 거시적 구체의 경우, 벌 이론은 $1/R^2$로 정확히 스케일링되고 질량 $M_A cdot M_B$의 곱에 엄격하게 비례하는 힘을 생성합니다. 이는 뉴턴의 만유인력의 법칙의 두 가지 구조적 특징이며, 이 단순화된 모델의 BeeTheory 파동 메커니즘에서 직접적으로 드러납니다.
6. 요약
1. 직경 5cm, 무게 742g의 납 구 두 개를 각각 등가 점 입자로 취급하면 $F_{\text{BT}}(R) = N^2 \cdot K_{\text{BT}}/R^2$ 형태의 벌이론 힘이 생성됩니다.
2. 이 힘은 $1/R^2$ 스케일링과 $M_A \cdot M_B$ 비례 모두에서 뉴턴의 법칙 $F_N = G\,M^2/R^2$와 동일한 함수 의존성을 갖습니다.
3. 이 모델에서 납에 대한 비율 $F_{\text{BT}}/F_N$ 은 거리에 관계없이 $K_{\text{BT}}/(G m_\text{atom}^2) \약 3.5 \배 10^{25}$ 로 일정합니다.
4. 따라서 BeeTheory는 캐번디시 유형 중력 설정과 관련된 거시적 역제곱 구조를 재현하는 동시에 절대 정규화는 경험적 상수 $G$에 연결되도록 남겨둡니다.
다음 노트에서는 은하와 성단과 같은 물질의 확장된 분포에 동일한 파동 메커니즘을 적용하여 새로운 입자를 호출하지 않고도 역사적으로 암흑 물질에 기인한 추가적인 중력 효과를 자연스럽게 생성하는 방법을 살펴봅니다.
참고 문헌. 두테르트르, X. – 꿀벌 이론™: 파동 기반 중력 모델링, v2, BeeTheory.com (2023). 기초 도출. – 캐번디시, H. – 지구의 밀도를 결정하기 위한 실험, 왕립학회지 88, 469 (1798). 납 구 사이의 중력 인력의 원래 측정. – 뉴턴, I. – 철학 자연 원리 수학, 왕립 학회 (1687). 만유인력의 법칙.
BeeTheory.com – 파동 기반 양자 중력 – 거시적 테스트 – © Technoplane S.A.S. 2026