수학적 요약(전자파의 합)
1) 안사츠(입자 A와 B 두 개)
각 파티클을 복잡한 스칼라 필드(“물질 파”)의 단색, 국소화된 등방성 소스로 모델링합니다:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \q쿼드 \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
를 클릭하고 중첩합니다:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
B를 중심으로 구형 좌표로 전환: 다음과 같이 작성합니다. \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\)를 \(r=|\mathbf s|\ll R\)로 작성하고 정의합니다:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |\mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
(r\ll R\)의 경우:
\[ |\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
B에 가깝습니다:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\알파 R}\,e^{+\알파 r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \q쿼드 \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
지점 \(B_0\)(즉, \(r=0\))에서 A의 기여도는 다음과 같습니다:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) 어떤 파동 방정식을 사용해야 하나요?
올바른 자유 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같습니다:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
정지 상태는 진동 평면/구면파이며, 봉투 \(e^{-\알파 r}\) 만으로는 정확한 자유 슈뢰딩거 해가 아닙니다.
지수 프로파일을 얻으려면 헬름홀츠 또는 푸아송 방정식을 사용합니다:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Rightarrow\;\; G_\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
포인트 소스의 경우:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]
준정적 한계 \(\mu\~0\)에서:
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) 유효 전위와 1/R 법칙
B가 A의 필드에 커플링 \(g_B\)로 결합하면 상호 작용 에너지는 다음과 같습니다:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
시간 평균화 후(또는 \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
해당 힘은 다음과 같습니다:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\right)\hat{\mathbf R} \]
장거리 한계 \(\mu R\ll 1\)에서는 1/R² 중력과 같은 법칙을 재현합니다.
4) 유용한 ID(빠른 유효성 검사)
방사형 지수 라플라시안:
\[ \나블라^2(e^{-\알파 r})= e^{-\알파 r}\left(\알파^2-\frac{2\알파}{r}\right) \]
Green의 기능 정체성:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
1/r 특이점 (및 원거리 1/r 법칙)은 그린의 함수 \(G(r)\sim 1/r\)의 구조에서 오는 것이지, \(1/r\) 인자가 없는 베어 \(e^{-\알파 r}\)에서 오는 것이 아닙니다.
두 줄로 요약
- 국소 파동을 중첩합니다: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\), 엔벨로프 \(e^{-\알파 r}\).
- 전위 \(\sim 1/R\)(및 힘 \(\sim 1/R^2\))를 얻으려면 매개체는 푸아송/헬름홀츠를 따라야 합니다: (\(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). 그러면 \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), 그리고 \(\mu\~0\)에 대해: \(V\propto 1/R\).
