数学的要約（e-αr波の和）

1) アンサッツ（2つの粒子AとB）

各粒子を単色、局在、等方性の複素スカラー場（「物質波」）の発生源としてモデル化します：

\[ \εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε \qqquad \psi_B( \mathbf r,t)=B,e^{-β|mathbf r-mathbf r_B|}}, e^{-iomega_2 t}. \]

と重ね合わせます：

\[ \Psi( \mathbf r,t)=psi_A( \mathbf r,t)+psi_B( \mathbf r,t) \]

Bを中心とする球座標に切り替え：Write \と書いて定義します：

For \(r` R`)：

\[ |\R-r(r^2/R) \]

Bの近く：

\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qqquad \B(\mathbf r,t)=B,e^{-β r}}, e^{-iomega_2 t}. \]

点（＝B_0）において、Aからの寄与は

\[ \psi_A(B_0,t)=A,e^{-alpha R}, e^{-iomega_1 t}. \]

2) どの波動方程式を使うか？

正しい自由シュレーディンガー方程式は次の通りです：

\[ ihbar = -frac{hbar^2}{2m} \]

その定常状態は振動する平面/球面波であり、包絡線（e^{-α r}）だけでは厳密な自由シュレーディンガー解にはなりません。

指数関数的なプロファイルを得るには、ヘルムホルツ方程式またはポアソン方程式を使います：

\[ (\nabla^2-mu^2) \phi( \mathbf r,t)= -4pi,S( \mathbf r)e^{-iomega t}. \G_mathbf(r)=-4pi;S( \mathbf r)e^{-iomega t}； G_mu(r)=8Frac{e^{-iomega r}}{4pi r}. \]

点音源の場合：

\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]

準静的極限において：

\[ G_0(r)=frac{1}{4pi r} \]

3) 有効ポテンシャルと1/Rの法則

BがAの場と結合Γ(g_BΓ)で結合すると、相互作用エネルギーは

\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4pi},ⅳfrac{e^{-mu R}}{R}cos(ⅳω_1 t+varphi) \]

時間平均後（またはif ￤￤￤￤￤￤）：

\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]

対応する力は

\[ \F(R)=-frac{g_A g_B}{4pi}, e^{-mu R}left(⊖1}{R^2}+frac{mu}{R}right)⊖hat \]

長距離極限では、1/R²重力的な法則が再現されます。

4) 役に立つアイデンティティ（迅速な検証）

放射状指数のラプラシアン：

\[ \nabla^2(e^{-alpha r})= e^{-alpha r}left(Γ^2-Γ^2-Γfrac{2alpha}{r}Γ) \]

グリーン関数の恒等式：

\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]

1/rの特異点（と遠方界1/Rの法則）は、グリーン関数の構造から来るものであって、｟(e^{-alpha r}｠)から来るものではありません。

2行で

Superpose localized waves：\Superpose localized waves: （局在波を重ね合わせる）。
ポテンシャル(G(r))と力(G(r))を求めるには、媒介物(Mediator)がポアソン/ヘルムホルツ(Poisson/Helmholtz)に従う必要があります：\G(r)∕e^{-∕mu r}/r ∕）。すると、(V_{AB}(R) \propto e^{-u-mu R}/R}) となり、(V_{AB}(R) \propto e^{-umu R} to 0)：\(Vpropto 1/R).