BeeTheory – 基礎 – テクニカルノートXXII

キャベンディッシュ再訪
単一球体の波動質量

最も単純なケース-孤立した球状の質量-に戻って、このノートでは、適切に正規化されたカーネルと明確な次元計算を用いて、BeeTheoryの波動質量計算を再構築します。Cavendish lead spheresと地球そのものを具体的なテストとして使います。銀河のコヒーレンス長 $ell_0 ￢ 1 kpc は、実験室や惑星のスケールでは波動質量を見えなくしますが、銀河のスケールでは有効な量のままです。

1.結果はまず

点質量とその波動場

孤立した質量 $m$ に対して、BeeTheory は、半径 $R$ 内の質量を囲む波動場を予言します：

M_text{wave}(<R)

ここで、$ell_0$はコヒーレンス長(kpcスケール)、$lambda$は大域結合。

M_text{wave}$は光源でのゼロから$R Ⅾg Ⅾell_0$で漸近線$lambda m$まで上昇します。キャベンディッシュ天秤も地球の重力プローブも$ell_0$より10²⁰倍小さいので、$M_text{wave}$は地球上でも太陽系でもどこでも実質的にゼロです。

物理的帰結

波の質量は存在しますが、キロパーセクのスケールに広がります。地球表面では、積分された波の質量は$M_text{wave}(<R_oplus) \sim 10^{-13} Γ M_text{vis}$。キャベンディッシュ、衛星軌道、月の力学など、どのようなローカルな探査機によって測定された「地球の質量」は、漸近的な波の質量ではなく、目に見える（原子）質量です。

2.補正後のカーネル

以前の銀河ノート(XII-XXI)では、波動カーネルは$mathcal{K}(D) = K_0,(1+alpha D)e^{-alpha D}/D^2$ と正規化されていない定数$K_0$で書かれていました。きれいな次元計算には正規化形式が必要です。有限で次元的に正しい漸近波質量を生成するカーネルは

正規化波カーネル

K}(D)\cdot \frac{e^{-D/\ell_0}}{D}$$

この形式は$[1/L^3]$の次元を持ちます（$ell_0$は長さであり、カーネル積分は$dV$を含むので）。波密度の畳み込み定義は次のようになります：

rho_text{wave}(≖vec{r}) ≖;=’; ≖lambda ≖int ≖rho_text{vis}(≖vec{r},’) ≖cdot ≖mathcal{K}(||vec{r}-≖vec{r},’|) ≖, d^3r’$$

次元チェック： $[∕rho_text{wave}] = [∕text{kg/m}^3] = [∕rho_text{vis}] ∕cdot [∕mathcal{K}] ∕cdot [dV] = [∕text{kg/m}^3] ∕cdot [1/text{m}^3] = [∕text{kg/m}^3]$ ✓.

以前の$K_0 ㎤0.3759$は正規化係数$1/(4pi ㎤ell_0^2)$に吸収されました。自由パラメータは2つだけ：

パラメータ	寸法	役割
$lambda$	無次元	R での可視質量に対する波動質量の割合
$ell_0$	長さ	波源の周囲に波動場が展開する空間的範囲

3.点質量への適用

質量$m$が原点に集中している場合($rho_text{vis}(vec{r}) = m,δ^3(vec{r})$)、畳み込みは波動場密度を直接与えます：

$$\rho_\text{wave}(r) \;=\; \frac{\lambda\,m}{4\pi\,\ell_0^2}\cdot \frac{e^{-r/\ell_0}}{r}$$

半径$R$内の囲み波質量は球面積分によって得られます：

M_text{wave}(<R) \;=;￤int_0^R 4pi r^2 ￤rho_text{wave}(r)￤dr ￤;=;￤frac{lambda↩m}{ell_0^2} ￤int_0^R r^,e^{-r/ell_0} ￤dr$$.

ΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓΓ

これはきれいな閉形式です。つの限界領域は即座に得られます：

レジーム	M_text{wave}(	解釈
R	$\approx \frac{\lambda}{2}(R/\ell_0)^2$	波動フィールドは未展開
R = Γ	約0.264	漸近線の約4分の1
R = 3, ˶= 3	約0.801	波動フィールドのほとんどが形成されました
R	$lambda$	全波質量

4.可視化：波塊の位置

波数分率$M_text{wave}(<R) / M_text{vis}$と$R / M_ell_0$の関係、$lambda = 0.098$ (MW solo fit, 注XX)と$lambda = 0.203$ (SPARC fit, 注XXI)。縦破線は、Cavendishの位置、地球表面、地球と太陽の距離、$ell_0$、$10,㎤$。

6桁のオーダーの違い

つの実線の曲線は$R ⊖approx 5,⊖ell_0$付近で漸近線$lambda$に達します。R ⊖α0.1 ⊖α0$以下では、波数分率は$10^{-3}$以下。以上では実質的に飽和。その中間ではスムーズに遷移します。キャベンディッシュ($R/ell_0 sim 10^{-21}$)と地球($R/ell_0 sim 10^{-13}$)では、「まだ波が配備されていない」領域が深く、どちらのプローブも$lambda m$の$10^{-26}$のレベルで波質量をサンプルしており、実質的にゼロです。

5.数値評価 – キャベンディッシュとアース

コヒーレンス長$ell_0 = 1.59$ kpc ($約4.91倍10^{19}$ m)の場合、注XXで天の川だけをフィッティングして求めた値：

対象	$R$	R/ell_0$	M_text{wave}(	text{wave}()。
カベンディッシュのリード球	$0.15$ m	10^{-21}$の3倍	sim 5	シム 10^{-40}$
地表	6.4 ㎝ 10^6$ m	10^{-13}$の1.3倍	sim 8	sim 5
地球と太陽の距離	10^{11}$ m	$3 10^{-9}$の10^{-9}$倍	sim 5	sim 3 ♪times 10^6$
R = Γ	4.9 ㏄ 10^{19}$ m	$1$	0.264$ 。	地球に対して$sim 1.5 ㎟ 10^{23}$
R	–	–	ラムダ = 0.098$	地球は$sim 5.9times 10^{23}$

最後の列：地球の可視質量 $m = 5.97 ㎤ 10^{24}$ kg の $R$ に囲まれた波の質量。

局所的な測定では波の質量が見えない

キャベンディッシュ天秤（10cm）から人工衛星軌道（10^7$ m）まで、地上の重力実験で実際に観測される体積に含まれる波の質量は、まったく無視できます。局所的に測定される地球は、目に見える質量で約$5.972㎟10^{24}$ kgです。完全な波の質量$lambda ⊖M_text ⊖vis ＝ 5.85 ⊖times 10^{23}$ kgは存在しますが、$sim$ kpcに広がっていて、人間が活動するどの空間スケールでも観測できません。

6.ニュートンと矛盾しない理由

古典的なニュートンの法則 $F = G m_1 m_2 / r^2$ は、キャベンディッシュによって検証され、すべての惑星観測によって検証されました。BeeTheoryはこれと何ら矛盾しません：

(a)小さなスケールでは$(R ≖ll ≖ell_0)$: 局所重力への波動質量の寄与は地球では $10^{-13}$ レベル、キャベンディッシュでは $10^{-21}$ レベル。このような乖離は実験では検出できません。ニュートンの関係 $F = GM/r^2$ は $M$ を目に見える質量だけとして成り立ちます。

(b)球対称性は軌道を保持。地球が生成する波動質量は球対称です（地球が球対称であるため）。殻の定理により、任意の距離$r > R_oplus$にいる外部の観測者は、地球の全質量（目に見える質量＋$r$に囲まれた少量の波動質量）が中心に点として作用しているのを見ます。月の軌道、惑星の軌道、衛星の軌道は、広がる波動場の存在の影響を受けません。

(c) 波の質量が重要なのは、それが展開する余地のある場所だけです。波動場が完全に形成されるには、$ell_0 ⊖1$ kpcの距離が必要です。銀河の内部では、多くの大質量天体（星、ガスなど）が$10^{11}$ 個の距離で共存しているので、波動場が重なり合って、その累積質量が大きくなります。これが自転曲線に影響を与えるところであり、ノートXXとXXIのテーマです。

スケール分離が鍵

なぜなら、波動場が展開する空間スケール（$sim$ kpc）は、人間の実験室や惑星での実験スケールよりも非常に大きいからです。遷移半径は約500pcで、それ以下では波の影響は無視でき、それ以上では重力収支を支配します。

7.地球の可視質量／波動質量分解

ビーセオリーは、地球の総質量（原子／バリオン質量と、地球があらゆる場所で発生させた波動場の質量を合わせたもの）が、局所的に測定された質量を上回ると予測しています。具体的には

M_text{Earth, total}\M_text+ M_text{wave}(\infty) \;= M_text{vis}\cdot (1 + Γ)$$.

ここで、$M_text{vis}$は局所的に測定された質量（キャベンディッシュ、衛星、月の力学の報告）です。分解すると

数量	lambda = 0.098$（MWソロ）	ラムダ = 0.203$ (SPARC)
M_text{vis}$（地球の原子質量）	5.972 ㎉ 10^{24}$ kg	5.972 ㎉ 10^{24}$ kg
M_text{wave}(˶´⚰︎`˵) = M_lambda M_text{vis}$	5.853 ㎉ 10^{23}$ kg	1.212 ㎉ 10^{24}$ kg
M_text{total} = (1 + ˶ˆ꒳ˆ˵) M_text{vis}$.	6.557 ㎉ 10^{24}$ kg	7.184 ㎉ 10^{24}$ kg
波数分率$lambda/(1+lambda)$。	$8.9\%$	$16.9\%$
可視部分$1/(1+lambda)$。	$91.1\%$	$83.1\%$

地球可視質量= 局所的に測定された質量。地球波質量 = kpcに広がる追加質量。

異なる解釈

上の表には2通りの読み方があります。解釈A：$M_text{vis} = 5.97 ㎝ 10^{24}$ kgが実際の原子質量で、波の質量は地球に局在していない付加的な重力質量。地球は1.09M_text{vis}$の総重力の影響を「持っている」が、その大部分は遠くにあります。解釈B：局所的に測定された$5.97 ㎤ 10^{24}$kgは、すでに可視質量＋局所的に囲まれた波動質量の合計であり、波動に囲まれた部分は局所的スケールでは無視できるので、原子質量は$5.97 ㎤ 10^{24}$kg。惑星スケールでの波動質量は測定不可能なので、この2つの解釈は操作上等価です。

8.概要

1. BeeTheoryの波動カーネルは$mathcal{K}(D) = e^{-D/ell_0}/(4pi ell_0^2 D)$として適切に正規化され、次元的にクリーンな予測を与えます。

2.点質量$m$に対して、半径$R$内の囲み波質量は$M_text{wave}(

3.キャベンディッシュや地球のスケールでは、$R/ell_0は10^{-13}$以下なので、内包される波の質量は$10^{-26},λ m$以下となり、全く検出できません。

4.地球の目に見える（原子）質量は、局所的に測定された質量と非常に高い精度で等しい。波の質量は存在するが、キロパーセク規模に広がっていること。

5.孤立した物体の球対称性は、その物体が生成する波の質量が外部の物体の軌道を乱さないことを保証します。

6.波動質量が実用的に意味を持つのは、注釈VII-XXIで研究している銀河領域である$R ⊖0.3, ⊖approx 500$ pcのスケールだけです。

7.理論のパラメータは、無次元比$lambda$とコヒーレンス長$ell_0$の二つになります。

参考文献キャベンディッシュ、H. –地球の密度を決定するための実験、Phil.Trans.R. Soc. London 88, 469 (1798).- Newton, I. –Philosophiae Naturalis Principia Mathematica(1687).貝の定理。- 湯川秀樹 –素粒子の相互作用について, Proc.Phys.-Math.Soc. Japan 17, 48 (1935)。独自のスクリーンポテンシャル形式- Dutertre, X. –Bee Theory™：Wave-BasedModeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023)。

キャベンディッシュ再訪単一球体の波動質量