Riepilogo matematico (somma di onde e-αr)
1) Ansatz (due particelle A e B)
Modellare ogni particella come una sorgente monocromatica, localizzata e isotropa di un campo scalare complesso (l'”onda di materia”):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alfa|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t}. \]
e sovrapporre:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Passa alle coordinate sferiche attorno a B: scriva \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) con \(r=|\mathbf s|\ll R\), e definire:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\R-marco r-marco r_B|=r,\quad |\mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
Per \(r\ll R\):
\[ |\R-marco R-marco s|approx R-marco Costeta + O (r^2/R) \]
così vicino a B:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-alfa R}\,e^{+alfa rcos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B,e^{-\beta r}},e^{-i\omega_2 t} \]
Nel punto \(B_0\) (cioè \(r=0\)), il contributo da A è:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-alfa R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Quale equazione d’onda utilizzare?
L’equazione di Schrödinger libera corretta è:
\[ i\hbar\, \parziale_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\, \nabla^2\Psi \]
I suoi stati stazionari sono onde oscillatorie piane/sferiche; un inviluppo \(e^{-\alpha r}\) da solo non è una soluzione esatta di Schrödinger.
Per ottenere profili esponenziali, utilizzare l’equazione di Helmholtz o di Poisson:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Rightarrow\;\; G_mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
Per una sorgente puntiforme:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]
Nel limite quasi statico \(\mu\ a 0\):
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Potenziale effettivo e legge 1/R
Se B si accoppia al campo di A con l’accoppiamento \(g_B\), l’energia di interazione è:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Dopo la media temporale (o se \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
La forza corrispondente è:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\sinistra(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\destra)\hat{\mathbf R} \]
Nel limite a lungo raggio \(\mu R\ll 1\), questo riproduce una legge di tipo gravitazionale 1/R².
4) Identità utili (convalida rapida)
Laplaciano degli esponenziali radiali:
\[ \nabla^2(e^{-alfa r})= e^{-alfa r}\sinistra(\alfa^2-\frac{2alfa}{r}\destra) \]
Identità della funzione di Green:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
La singolarità 1/r (e la legge di campo lontano 1/R) deriva dalla struttura della funzione di Green \(G(r)\sim 1/r\), non da un nudo \(e^{-alfa r}\) senza il fattore \(1/r\).
In due righe
- Sovrapporre le onde localizzate: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) con inviluppi \(e^{-alfa r}\).
- Per ottenere un potenziale \(\sim 1/R\) (e una forza \(\sim 1/R^2\)), il mediatore deve obbedire a Poisson/Helmholtz: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Allora \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), e per \(\mu\ a 0\): \(V\propto 1/R\).
