Fungsi Gelombang untuk Dua Atom Hidrogen: Penurunan dan Kalibrasi yang Ketat

1. Fungsi Gelombang: Bentuk 3D yang Tepat

1.1 Postulat Awal Teori Lebah

Setiap partikel elementer dimodelkan oleh fungsi gelombang yang meluruh secara eksponensial di ketiga arah spasial dari pusatnya. Untuk atom hidrogen dalam keadaan dasar, ini bukan sekadar postulat tetapi hasil kuantum-mekanis yang tepat: fungsi gelombang Teori Lebah bertepatan dengan orbital 1s hidrogen.

\(\psi_{1s}(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\exp\left(-\frac{r}{a_0}\right),\qquad r=|\mathbf{r}|\)

Dalam notasi ringkas dengan α = _1/a0:

\(\psi(r)=\frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt{\pi}}e^{-\alpha r}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}\)

1.2 Normalisasi – Verifikasi Tepat

\(\int_0^\infty|\psi(r)|^2\,4\pi r^2\,dr=\frac{4\alpha^3}{\pi}\cdot\pi\int_0^\infty r^2e^{-2\alpha r}\,dr=\frac{4\alpha^3}{1}\cdot\frac{2}{(2\alpha)^3}=1\)

1.3 Energi – Verifikasi Persamaan Schrödinger

Menerapkan persamaan Schrödinger yang tidak bergantung pada waktu:

\(\hat{H}\psi=E\psi\) \(\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2+V(r),\qquad V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\)

Laplacian yang tepat dari exp(-αr) dalam koordinat bola adalah:

\(\nabla^2\left(e^{-\alpha r}\right)=\frac{d^2}{dr^2}\left(e^{-\alpha r}\right)+\frac{2}{r}\frac{d}{dr}\left(e^{-\alpha r}\right)=e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right)\)

Koreksi terhadap makalah BeeTheory

Perkiraan asli ∇²f(r) ≈ _-3α/RAB membuang ketergantungan radial. Laplacian yang tepat memiliki dua suku: ^α²e-αr dan ^-2αe-αr/r. Penurunan yang dikoreksi mempertahankan kedua suku tersebut.

Dalam satuan atom, dengan ħ =_me = e = 1 dan _a0 = 1:

\(\nabla^2\psi=\psi(r)\left(1-\frac{2}{r}\right)\) \(T\psi=-\frac{1}{2}\nabla^2\psi=\psi\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}\right)\) \(V\psi=-\frac{1}{r}\psi\) \((T+V)\psi=\psi\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}-\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{2}\psi\) \(E_{1s}=-\frac{1}{2}E_h=-13.6057\,\mathrm{eV}\)

3. Dari Kopling Kinetik ke Potensi Interaksi

3.1 Interaksi Teori Lebah Lengkap

Interaksi Teori Lebah antara atom A dan B berasal dari penggabungan kinetik medan gelombang A dengan kerapatan elektron B. Dikombinasikan dengan tolakan nuklir, total energi interaksi berbentuk:

\(E_{\mathrm{BT}}(R)=-\kappa\frac{e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}}{\sqrt{\pi}}+\frac{1}{R}\)

Suku negatifnya adalah daya tarik dan suku 1/R adalah tolakan nuklir. Dua parameter mengontrol interaksi: κ dan _αeff.

3.2 Perbandingan dengan Kertas Asli

3.3 Mengapa Potensinya adalah Yukawa, Bukan Coulomb

Faktor ^e-R/αeff muncul dari amplitudo gelombang A pada posisi B. Pada pemisahan yang besar, interaksi meluruh secara eksponensial. Hal ini membuat interaksi Teori Lebah skala atomik menjadi potensial Yukawa dengan rentang terbatas.

\(F(R)=-\frac{dE}{dR}=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}\alpha_{\mathrm{eff}}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}+\frac{1}{R^2}\)

Pada panjang ikatan H₂, istilah menarik dan menjijikkan menjadi seimbang.

5. Kurva Energi Potensial dan Perbandingan dengan Eksperimen

Grafik yang disarankan: Kurva energi potensial H₂ yang membandingkan data referensi BeeTheory, Heitler-London, dan eksperimen.

Teks alternatif: Kurva energi potensial H₂ dengan jarak R dalam angstrom pada sumbu horizontal dan energi dalam elektronvolt pada sumbu vertikal. Kurva BeeTheory mencapai titik minimum di dekat R = 0,74 Å pada -4,52 eV, sesuai dengan jarak ikatan H₂ eksperimental dan energi disosiasi.

R (a0)	R (pm)	Ewave	Enuc	EBT	EBT (eV)	Status
0.50	26.5	-1.482	+2.000	+0.518	+14.09	menjijikkan
0.80	42.3	-1.246	+1.250	+0.004	+0.11	mendekati nol
1.00	52.9	-1.110	+1.000	-0.110	-2.98	menarik
1.20	63.5	-0.988	+0.833	-0.155	-4.22	menarik
1.401	74.1	-0.880	+0.714	-0.166	-4.517	minimum
1.60	84.7	-0.784	+0.625	-0.159	-4.33	sumur dangkal
2.00	105.8	-0.622	+0.500	-0.122	-3.32	naik
3.00	158.8	-0.349	+0.333	-0.015	-0.42	mendekati nol
5.00	264.6	-0.110	+0.200	+0.090	+2.46	ekor menjijikkan

Teori Lebah:_Req = 74,2 pm dan_De = 4,52 eV dengan konstruksi yang telah dikalibrasi.

Heitler-London: memprediksi panjang ikatan yang lebih besar dan energi disosiasi yang lebih rendah.

Percobaan:_Req = 74,14 pm dan_De = 4,520 eV.

7. Pertanyaan Terbuka dan Turunan Berikutnya

Dari H₂ ke gravitasi – masalah penskalaan BeeTheory

Pada skala atomik, BeeTheory mereproduksi kimia H₂ dengan κ = 3,509 Eh dan αeff = 1,727 a0. Pada skala galaksi, BeeTheory menggunakan panjang koherensi yang diukur dalam kiloparsec. Pertanyaan yang masih terbuka adalah bagaimana skala panjang koherensi dari sistem atomik ke sistem astrofisika.

Derivasi berikutnya: atom helium dan multi-elektron

Untuk helium, fungsi gelombang dapat diperkirakan sebagai:

\(\psi_{\mathrm{He}}(r)=Ne^{-\alpha_{\mathrm{He}}r}\)

Menguji BeeTheory terhadap interaksi He₂ van der Waals adalah langkah alami selanjutnya.

Perpanjangan: atom yang tidak identik

Untuk atom A dan B dengan konstanta peluruhan yang berbeda, interaksi BeeTheory secara umum dapat dituliskan sebagai:

\(E(R)=-\kappa_{AB}\frac{e^{-R/\alpha_{AB}}}{\sqrt{\pi}}+\frac{Z_AZ_B}{R}\)

BeeTheory.com – Menjelajahi gravitasi melalui fisika kuantum berbasis gelombang

© Technoplane S.A.S. – Konten yang diproduksi dengan keahlian manusia dan bantuan AI