Résumé mathématique (somme des ondes e-αr)
1) Ansatz (deux particules A et B)
Modéliser chaque particule comme une source monochromatique, localisée et isotrope d’un champ scalaire complexe (l' »onde de matière ») :
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\nbsp;e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
et superposer :
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Passez aux coordonnées sphériques autour de B : écrivez \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) avec \(r=|\mathbf s|\ll R\), et définir :
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
Pour \(r\ll R\) :
\[ |\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
si près de B :
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
Au point \(B_0\) (c’est-à-dire \(r=0\)), la contribution de A est :
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Quelle équation d’onde utiliser ?
L’équation de Schrödinger libre correcte est la suivante :
\[ i\hbar\\npartial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi \]
Ses états stationnaires sont des ondes planes/sphériques oscillantes ; une enveloppe \(e^{-\alpha r}\) seule n’est pas une solution exacte de Schrödinger libre.
Pour obtenir des profils exponentiels, utilisez l’équation de Helmholtz ou de Poisson:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Rightarrow\;\; G_\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
Pour une source ponctuelle :
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\\N-\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\N-\nbsp;e^{-i\omega_1 t} \]
Dans la limite quasi-statique \(\mu\à 0\) :
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Potentiel effectif et loi 1/R
Si B se couple au champ de A avec un couplage \(g_B\), l’énergie d’interaction est :
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\\N- \frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Après le calcul de la moyenne temporelle (ou si \(\omega_1\simeq\omega_2\)) :
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
La force correspondante est :
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\right)\hat{\mathbf R} \]
Dans la limite à longue portée \(\mu R\ll 1\), cela reproduit une loi de gravité 1/R².
4) Identités utiles (validation rapide)
Laplacien des exponentielles radiales :
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\gauche(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\droite) \]
Identité de la fonction de Green :
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
La singularité 1/r (et la loi 1/R sur le champ lointain) provient de la structure de la fonction de Green \(G(r)\sim 1/r\), et non d’un simple \(e^{-\alpha r}\) sans le facteur \(1/r\).
En deux lignes
- Superposition d’ondes localisées : \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) avec des enveloppes \(e^{-\alpha r}\).
- Pour obtenir un potentiel \(\sim 1/R\) (et une force \(\sim 1/R^2\)), le médiateur doit obéir à Poisson/Helmholtz : \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Alors \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), et pour \(\mu\to 0\) : \N(V\propto 1/R\N).
