Formalisation :
Le calcul de la théorie des abeilles à l’échelle galactique

5. Convolution du champ d’ondes – équations intégrales par composante

La densité du champ d’ondes à une position $\vec{r}$ est la convolution de la distribution des sources baryoniques avec le noyau d’ondes. Pour un système à symétrie galactique (symétrie axiale, approximation monopolaire), chaque composante baryonique contribue de manière additive :

Les cinq intégrales sont écrites ci-dessous, une par composante. Chaque intégrale convertit une distribution de masse baryonique en une distribution de masse du champ d’ondes au même point spatial.

5.1 Bulge – Intégration de la coque en 3D

L’intégration se fait sur des coques sphériques concentriques de rayon $r’$. Le point de champ au rayon $r$ du centre voit chaque coquille à une séparation effective $D = \sqrt{r^2 + r’^2}$ dans l’approximation monopolaire. L’intégration s’étend jusqu’à $r_\text{max} = 6\,r_b$, au-delà de laquelle la densité du renflement est numériquement négligeable.

5.2 Intégration disque mince – anneau 2D

Le disque est décomposé en anneaux concentriques de rayon $R’$ et de largeur infinitésimale $dR’$, chacun portant une masse surfacique $\Sigma_\text{thin}(R’)\,2\pi R’\,dR’$. La même approximation monopolaire s’applique : le champ d’ondes au rayon $r$ du centre reçoit des contributions de chaque anneau à la séparation effective $D = \sqrt{r^2 + R’^2}$. Le domaine d’intégration est $R_\text{max} = 8\,R_d$.

5.3 Intégration disque épais – anneau 2D

Identique à l’intégration du disque mince, avec $\Sigma_\text{thick}(R’)$ comme densité de source et un paramètre de noyau $\alpha_\text{thick} = 1/(c_\text{disk}\\N,\cdot 1.5\N,R_d)$. L’étendue radiale plus large du disque épais se traduit par une gamme de cohérence d’onde légèrement plus large.

5.4 Anneau de gaz – intégration d’un anneau en 2D avec appauvrissement central

La distribution du gaz a un trou central, capturé par la coupure radiale à $R_\text{hole} = 0.5\,R_g$ dans la limite inférieure de l’intégration. En dehors de cette coupure, le gaz s’étend plus loin que le disque stellaire, ce qui se traduit par une échelle caractéristique plus grande $R_g = 1.7\,R_d$, qui alimente la longueur de cohérence $\ell_\text{gas} = c_\text{disk}\,R_g$.

5.5 Excès de bras en spirale – intégration d’un anneau en 2D avec une amplitude réduite

Les bras spiraux sont traités comme un renforcement moyen axial de la densité de surface du disque mince au niveau de $10\%$, avec leur propre longueur de cohérence $\ell_\text{arm} = c_\text{arm}\,R_d$. Le noyau est donc plus étroit que celui du disque mince, ce qui reflète la concentration azimutale de la structure en spirale.

7. Paramètres au niveau de la théorie

Le cadre complet de la Théorie de l’abeille, tel qu’il est appliqué aux galaxies, contient cinq paramètres au niveau de la théorie. Ces paramètres sont universels : ils ne varient pas d’une galaxie à l’autre.

Symbole	Signification	Rôle
$K_0$	Amplitude de la masse d’onde	Définit l’échelle sans dimension du noyau d’onde
$c_\text{sph}$	Constante géométrique 3D	Rapport $\ell/r_\text{scale}$ pour les sources sphériques (bulbe)
$c_\texte{disque}$	Constante géométrique 2D	Rapport $\ell/R_\text{scale}$ pour les sources en disque et en anneau
$c_\text{arm}$	Constante géométrique de la spirale	Rapport $\ell/R_d$ pour l’excès de bras concentré azimutalement
$\lambda$	Couplage global champ d’ondes	Échelle de la densité totale du champ d’ondes

9. Le rôle de la densité de la surface centrale (Note XI révision)

Le diagnostic de la Note XI a identifié que l’erreur de prédiction résiduelle est fortement corrélée avec la densité baryonique centrale de surface $\Sigma_d$, indépendamment de la longueur d’échelle du disque $R_d$. La formalisation présentée ci-dessus est la version du modèle avant que cette découverte ne soit incorporée – elle n’utilise que $R_d$ dans les expressions de la longueur de cohérence $\ell_i = c_i\,R_d$.

La structure unidirectionnelle du calcul est préservée par ce raffinement : $\Sigma_d$ est une entrée observationnelle, les longueurs de cohérence modifiées alimentent les mêmes intégrales de convolution, et la courbe de rotation émerge comme auparavant. Seul un lien opérationnel est ajouté – la dépendance de $\ell_i$ à l’égard d’une seconde observable.

10. Résumé de la méthodologie

1. Données d’entrée. Cinq observables par galaxie : le type de Hubble $T$, l’échelle du disque $R_d$, la luminosité de surface $\Sigma_d$, la masse HI $M_\text{HI}$, et le rapport universel masse stellaire/lumière $\Upsilon_\star$.

2. Décomposition baryonique. Cinq composantes : bulbe (si $T \leq 4$), disque mince, disque épais, anneau de gaz, excès du bras spiral. Chacune porte un profil analytique de densité.

3. Noyau d’onde. Forme universelle de type Yukawa $\mathcal{K}_i(D) = K_0\,(1 + \alpha_i D)\,e^{-\alpha_i D}/D^2$ avec une longueur de cohérence $\ell_i = c_i\,R_\text{scale}$ déterminée par l’étendue géométrique de chaque composant.

4. Convolution. Chaque composante génère une densité de champ d’ondes par le biais d’une intégrale unidimensionnelle sur les anneaux (composantes 2D) ou les coquilles (renflement 3D). La densité totale du champ d’ondes est la somme des cinq composantes, mise à l’échelle par le couplage global $\lambda$.

5. Résultat. La masse d’onde incluse $M_\text{wave}(R)$ est intégrée et combinée avec la vitesse baryonique $V_\text{bar}(R)$ pour obtenir la courbe de rotation prédite $V_c(R)$.

6. Paramètres au niveau de la théorie. (K_0,\Nc_texte{sph},\Nc_texte{disque},\Nc_texte{bras},\Nc_texte{bras},\Nc_lambda)$ – universel, pas de réglage par galaxie. Un raffinement en cours d’étude ajoutera une dépendance à $\Sigma_d$.

7. Direction. Entrées → baryons → champ d’ondes → courbe de rotation. Pas de rétroaction. La courbe de rotation est une prédiction, pas un ajustement.