Fonctions d’onde pour deux atomes d’hydrogène : Dérivation et étalonnage rigoureux

1. La fonction d’onde : Forme 3D exacte

1.1 Postulat de départ de la théorie des abeilles

Chaque particule élémentaire est modélisée par une fonction d’onde qui décroît exponentiellement dans les trois directions de l’espace à partir de son centre. Pour l’atome d’hydrogène dans son état fondamental, il ne s’agit pas d’un simple postulat mais d’un résultat exact de mécanique quantique : la fonction d’onde de la théorie de l’abeille coïncide avec l’orbitale 1s de l’hydrogène.

\(\psi_{1s}(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\exp\left(-\frac{r}{a_0}\right),\qquad r=|\mathbf{r}|\)

En notation compacte avec α = _1/a0:

\(\psi(r)=\frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt{\pi}}e^{-\alpha r}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}\)

1.2 Normalisation – Vérification exacte

\(\int_0^\infty|\psi(r)|^2\,4\pi r^2\,dr=\frac{4\alpha^3}{\pi}\cdot\pi\int_0^\infty r^2e^{-2\alpha r}\,dr=\frac{4\alpha^3}{1}\cdot\frac{2}{(2\alpha)^3}=1\)

1.3 Énergie – Vérification de l’équation de Schrödinger

Application de l’équation de Schrödinger indépendante du temps :

\(\hat{H}\psi=E\psi\) \(\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2+V(r),\qquad V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\)

Le Laplacien exact de exp(-αr) en coordonnées sphériques est :

\(\nabla^2\left(e^{-\alpha r}\right)=\frac{d^2}{dr^2}\left(e^{-\alpha r}\right)+\frac{2}{r}\frac{d}{dr}\left(e^{-\alpha r}\right)=e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right)\)

Correction de l’article de BeeTheory

L’approximation originale ∇²f(r) ≈ _-3α/RAB ne tient pas compte de la dépendance radiale. Le Laplacien exact a deux termes : ^α²e-αr et ^-2αe-αr/r. La dérivation corrigée conserve les deux termes.

En unités atomiques, avec ħ =_me = e = 1 et _a0 = 1 :

\(\nabla^2\psi=\psi(r)\left(1-\frac{2}{r}\right)\) \(T\psi=-\frac{1}{2}\nabla^2\psi=\psi\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}\right)\) \(V\psi=-\frac{1}{r}\psi\) \((T+V)\psi=\psi\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}-\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{2}\psi\) \(E_{1s}=-\frac{1}{2}E_h=-13.6057\,\mathrm{eV}\)

3. Du couplage cinétique au potentiel d’interaction

3.1 L’interaction complète de la théorie des abeilles

L’interaction BeeTheory entre les atomes A et B provient du couplage cinétique du champ d’ondes de A avec la densité d’électrons de B. Combinée à la répulsion nucléaire, l’énergie totale d’interaction prend la forme suivante :

\(E_{\mathrm{BT}}(R)=-\kappa\frac{e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}}{\sqrt{\pi}}+\frac{1}{R}\)

Le terme négatif est attractif et le terme 1/R est une répulsion nucléaire. Deux paramètres contrôlent l’interaction : κ et _αeff.

3.2 Comparaison avec le document original

3.3 Pourquoi le potentiel est de Yukawa et non de Coulomb

Le facteur ^e-R/αeff émerge de l’amplitude de l’onde de A à la position de B. À grande séparation, l’interaction décroît exponentiellement. Cela fait de l’interaction BeeTheory à l’échelle atomique un potentiel de Yukawa à portée finie.

\(F(R)=-\frac{dE}{dR}=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}\alpha_{\mathrm{eff}}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}+\frac{1}{R^2}\)

À la longueur de la liaison H₂, les termes attractifs et répulsifs s’équilibrent.

5. Courbe d’énergie potentielle et comparaison avec l’expérience

Graphique proposé : Courbe d’énergie potentielle H₂ comparant la théorie de Bee, Heitler-London et les données expérimentales de référence.

Alt text : Courbe d’énergie potentielle H₂ avec la distance R en angströms sur l’axe horizontal et l’énergie en électronvolts sur l’axe vertical. La courbe BeeTheory atteint son minimum près de R = 0,74 Å à -4,52 eV, ce qui correspond à la distance de liaison H₂ et à l’énergie de dissociation expérimentales.

R (a0)	R (pm)	Ewave	Enuc	EBT	EBT (eV)	Statut
0.50	26.5	-1.482	+2.000	+0.518	+14.09	répulsif
0.80	42.3	-1.246	+1.250	+0.004	+0.11	proche de zéro
1.00	52.9	-1.110	+1.000	-0.110	-2.98	attractif
1.20	63.5	-0.988	+0.833	-0.155	-4.22	attractif
1.401	74.1	-0.880	+0.714	-0.166	-4.517	minimum
1.60	84.7	-0.784	+0.625	-0.159	-4.33	puits peu profond
2.00	105.8	-0.622	+0.500	-0.122	-3.32	en hausse
3.00	158.8	-0.349	+0.333	-0.015	-0.42	proche de zéro
5.00	264.6	-0.110	+0.200	+0.090	+2.46	queue répulsive

Théorie de l’abeille :_Req = 74,2 pm et_De = 4,52 eV par construction calibrée.

Heitler-London : prévoit une longueur de liaison plus importante et une énergie de dissociation plus faible.

Expérience :_Req = 74,14 pm et_De = 4,520 eV.

7. Questions ouvertes et prochaines dérivations

De H₂ à la gravité – le problème d’échelle de la théorie des abeilles

A l’échelle atomique, BeeTheory reproduit la chimie de H₂ avec κ = 3.509 Eh et αeff = 1.727 a0. A l’échelle galactique, BeeTheory utilise des longueurs de cohérence mesurées en kiloparsecs. La question ouverte est de savoir comment la longueur de cohérence passe des systèmes atomiques aux systèmes astrophysiques.

Dérivation suivante : atomes d’hélium et d’électrons multiples

Pour l’hélium, la fonction d’onde peut être approximée comme suit :

\(\psi_{\mathrm{He}}(r)=Ne^{-\alpha_{\mathrm{He}}r}\)

L’étape suivante consiste à tester la BeeTheory sur les interactions de He₂ van der Waals.

Extension : atomes non identiques

Pour les atomes A et B ayant des constantes de désintégration différentes, l’interaction générale BeeTheory peut être écrite comme suit :

\(E(R)=-\kappa_{AB}\frac{e^{-R/\alpha_{AB}}}{\sqrt{\pi}}+\frac{Z_AZ_B}{R}\)

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