Matemaattinen yhteenveto (e-αr-aaltojen summa)
1) Lähtökohta (kaksi hiukkasta A ja B)
Mallinnetaan jokainen hiukkanen monokromaattisena, paikallisena, isotrooppisena kompleksisen skalaarikentän lähteenä (”aineaalto”):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
ja aseta päällekkäin:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Siirry pallokoordinaatteihin B:n ympärillä: kirjoita \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) ja \(r=|\mathbf s|\ll R\), ja määrittele:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad,\quad |\mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
\(r\ll R\):
\[ |\\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
niin lähellä B:tä:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
Pisteessä \(B_0\) (eli \(r=0\)) A:n osuus on:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Mitä aaltoyhtälöä käytetään?
Oikea vapaa Schrödingerin yhtälö on:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
Sen stationaariset tilat ovat värähteleviä taso-/palloaaltoja; kuori \(e^{-\alpha r}\) ei yksinään ole tarkka vapaa Schrödingerin ratkaisu.
Eksponentiaalisten profiilien saamiseksi käytetään Helmholtzin tai Poissonin yhtälöä:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\ Oikeaoppinen\;\; G_\\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
Pistelähteen osalta:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r-\mathbf r_A||}}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t} \]
Kvasistaattisessa raja-arvossa \(\mu\-0\):
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Tehollinen potentiaali ja 1/R-laki
Jos B kytkeytyy A:n kenttään kytkennällä \(g_B\), vuorovaikutuksen energia on:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Ajan keskiarvoistamisen jälkeen (tai jos \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
Vastaava voima on:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\right)\hat{\mathbf R} \]
Pitkän kantaman raja-arvossa \(\mu R\ll 1\) tämä toistaa 1/R² gravitaatiolain kaltaisen lain.
4) Hyödylliset identiteetit (nopea validointi)
Radiaalisten eksponentiaalien Laplacian:
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right) \]
Greenin funktion identiteetti:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
1/r-singulariteetti (ja kaukokentän 1/R-laki) johtuu Greenin funktion \(G(r)\sim 1/r\) rakenteesta, ei pelkästä \(e^{-\alpha r}\):stä ilman \(1/r\) tekijää.
Kahdella rivillä
- Paikallisten aaltojen päällekkäisyys: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) ja \(e^{-\alpha r}\).
- Saadaksemme potentiaalin \(\sim 1/R\) (ja voiman \(\sim 1/R^2\)) välittäjän on noudatettava Poisson/Helmholtz-periaatetta: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Sitten \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), ja \(\mu\to 0\): \(V\propto 1/R\).
