BeeTheory – Perusteet – Tekninen huomautus IV
Numeerinen simulointi:
Kahden lyijypallon välinen voima (Cavendish-asetelma).
Kaksi halkaisijaltaan 5 cm:n lyijypalloa – Cavendishin kokeen innoittama kanoninen geometria – tarjoavat makroskooppisen testitapauksen BeeTheoryn gravitaatiovoimalle. Kun kutakin palloa kohdellaan sen keskipisteessä olevana yksittäisenä vastaavana hiukkasena, jonka amplitudi on skaalattu atomien kokonaislukumäärän mukaan, BeeTheory jäljittelee Newtonin gravitaatiolain käänteisneliöskaalausta.
1. Kaava, parametrit ja keskeinen tulos
Mehiläisteoria Kahden makroskooppisen pallon välinen voima
$$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}}$ $$
missä $N_A, N_B$ ovat atomien lukumäärä kussakin pallossa, ja
$K_{{\text{BT}}} = 3\hbar^2/(2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom})$ on BeeTeoryn atomikytkentä.
Jokaista palloa käsitellään yhtenä vastaavana hiukkasena, joka on paikallistettu sen geometriseen keskipisteeseen. Sen kollektiivisen aaltofunktion amplitudi on pallon muodostavien $N$ atomien amplitudien summa, joka on verrannollinen atomien kokonaismäärään ja siten kokonaismassaan. Kahden ekvivalentin hiukkasen välinen voima seuraa suoraan edellisen huomautuksen kahden atomin tuloksesta, jossa $N_A kertaa N_B$ -vahvistus heijastaa kummankin pallon kollektiivista aaltokenttää.
Fysikaaliset parametrit
| Parametri | Symboli | Arvo |
|---|---|---|
| Pienennetty Planckin vakio | $\hbar$ | $1.0546 \ kertaa 10^{-34}$ J-s |
| Atomimassa (lyijy) | $m_\text{atom}$ | $3.441 \ kertaa 10^{-25}$ kg (= 207.2 u). |
| Atomisäde (lyijy, kovalenttinen) | $a_\text{atom}$ | $175 \ kertaa 10^{-12}$ m = 175 pm |
| BeeTeorian atomikytkentä | $K_{\text{BT}}$ | $2.771 \ kertaa 10^{-34}$ J-m |
| Lyijyn tiheys | $\rho_{\text{Pb}}$ | $11,340$ kg/m³ |
Simulaation geometria
| Määrä | Arvo |
|---|---|
| Kunkin pallon halkaisija | 5,0 cm |
| Kunkin pallon säde | 2,5 cm |
| Kunkin pallon massa | 742.2 g |
| Atomien lukumäärä palloa kohti $N$ | $2.157 \ kertaa 10^{24}$ |
| Vertailukeskipisteen etäisyys keskipisteestä $R$ | 6,0 cm |
Tärkein tulos
Käänteisneliöinen laki vahvistettu makroskooppisessa mittakaavassa
BeeTheory ennustaa kahden makroskooppisen lyijypallon välisen voiman, joka skaalautuu täsmälleen $1/R^2$:n suuruisena – tämä on gravitaation käänteisneliöinen laki. Suhde Newtonin ennusteeseen $F_N = G\,M^2/R^2$ on vakio:
$$\frac{F_{\text{BT}}}{F_N} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{G\,m_\text{atom}^2} \;\approx\; 3.5 \ kertaa 10^{25}$$$
riippumaton $R$:sta tässä piste-ekvivalenttimallissa. Newtonin lain funktionaalinen muoto palautuu identtisesti; absoluuttinen amplitudi pysyy Newtonin arvoa suurempana vakiokertoimella, joka määräytyy atomiparametrien $(\hbar, m_\text{atom}, a_\text{atom})$ mukaan.
2. Menetelmä: jokainen pallo on yksi vastaava hiukkanen
Edellisessä teknisessä huomautuksessa todettiin, että kahden alkeishiukkasen välillä BeeTeorian aaltomekanismi tuottaa vetovoiman, joka noudattaa Newtonin $1/R^2$-rakennetta. Laajentaaksemme tämän tuloksen koskemaan makroskooppisia kohteita käytämme yksinkertaisinta reseptiä: jokainen pallo esitetään yhtenä ekvivalenttisena hiukkasena, joka on paikallistettu sen keskipisteeseen ja jonka aaltofunktion amplitudia kasvatetaan suhteessa sen sisältämien atomien kokonaismäärään.
Vahvistustekijä
$$N \;=\; \frac{M_\text{sphere}}{m_\text{atom}}$$$
Halkaisijaltaan 5 cm:n lyijypallolle saadaan $N = 0,742\,\text{kg}. / 3.441 \ kertaa 10^{-25}\,\text{kg} \ noin 2.16 \ kertaa 10^{24}$. Kunkin pallon kollektiivinen aaltoamplitudi on näin monta kertaa suurempi kuin yksittäisen lyijyatomin. Kahden pallon välinen BeeTeorian voima saadaan sitten yhdistämällä nämä kaksi amplitudia:
Kahden samanarvoisen hiukkasen välinen voima
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2} \;=\; \frac{M_A \cdot M_B}{m_\text{atom}^2} \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$
Tämä kaava on rakenteeltaan Newtonin lain kaltainen: verrannollinen massojen tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Suhteellisuusvakio on BeeTeorian kytkentä $K_{\text{BT}}/m_\text{atom}^2$, jolla on tässä yksinkertaistetussa kaavassa tehokkaan gravitaatiovakion rooli:
BeeTeorian efektiivinen gravitaatiovakio
$$G_{\text{BT}} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{m_\text{atom}^2} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_\text{atom}^3\,a_\text{atom}}$$
3. Numeeriset tulokset eri etäisyyksillä
Alla olevassa taulukossa esitetään kahden lyijypallon välinen BeeTheory-voima ja vastaava newtonilainen voima, jotka on arvioitu Cavendishin vaa’alle tyypillisistä senttimetreistä kymmeneen metriin:
| $R$ (cm) | $F_{\text{BT}}$ (N) | $F_N = G M^2/R^2$ (N) | $F_{\text{BT}}/F_N$ $F_{\text{BT}}/F_N$ | Skaalauslaki |
|---|---|---|---|---|
| 6 | $3.58 \ kertaa 10^{17}$ | $1.02 \times 10^{-8}}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 10 | $1.29 \times 10^{17}$ | $3.68 \ kertaa 10^{-9}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 20 | $3.22 \ kertaa 10^{16}$ | $9.19 \times 10^{-10}}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 50 | 5.16 \ kertaa 10^{15}$… | $1.47 \times 10^{-10}}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 100 | $1.29 \times 10^{15}$ | $3.68 \ kertaa 10^{-11}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 1 000 | $1.29 \times 10^{13}$ | $3.68 \ kertaa 10^{-13}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
Suhde $F_{\text{BT}}/F_N$ on täysin vakio kaikilla testatuilla etäisyyksillä. Tämä vahvistaa, että näillä kahdella lausekkeella on sama $1/R^2$ funktionaalinen muoto. Tässä yksinkertaistetussa ekvivalenttihiukkasmallissa BeeTheory toistaa Newtonin käänteisneliöskaalauksen täsmälleen; nämä kaksi eroavat toisistaan atomimittakaavan parametrien asettamalla kokonaiskerrannaisvakiolla.
4. Yksityiskohtainen laskelma arvolla $R = 6$ cm
Jotta simulointi olisi täysin läpinäkyvä, tässä on vaiheittainen laskenta Cavendishin kaltaisella vertailukokoonpanolla:
Vaihe 1 – Atomikytkentä
$$K_{\text{BT}} \;=\; \frac{3 \hbar^2}{2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom}} \;=\; \frac{3 \times (1,054 \times 10^{-34})^2}{2 \times 3,441 \times 10^{-25} \times 1.75 \times 10^{-10}}} $$$
$$$K_{\\text{BT}} \;=\; 2.771 \ kertaa 10^{-34}\;\text{J-m}$$
Vaihe 2 – Atomien lukumäärä palloa kohti
$$N \;=\; \frac{M_\text{sphere}}{m_\text{atom}} \;=\; \frac{0.742\;\text{kg}}{3.441 \times 10^{-25}\;\text{kg}}$ $$
$$$N \;=\; 2.157 \ kertaa 10^{24}\;\text{atoms}$$
Vaihe 3 – BeeTeorian voima R = 6 cm:ssä.
$$F_{\text{BT}} \;=\; N^2 \cdot \frac{K_{\text{BT}}{R^2} \;=\; (2.157 \ kertaa 10^{24})^2 \cdot \frac{2.771 \ kertaa 10^{-34}}{(0.06)^2}$$
$$$F_{\\text{BT}} \;=\; 3.58 \ kertaa 10^{17}\;\text{N}$$
Vaihe 4 – Newtonin vertailuarvo R = 6 cm:ssä
$$F_N \;=\; \frac{G\,M^2}{R^2} \;=\; \frac{6.674 \times 10^{-11} \times (0.742)^2}{(0.06)^2}$$$
$$$F_N \;=\; 1.02 \ kertaa 10^{-8}\;\text{N} \;\approx\; 10\;\text{nN}$$$
Newtonin arvo, noin 10 nN, on odotettua suuruusluokkaa alle kilogramman painoisten lyijypallojen väliselle gravitaatiovetovoimalle senttimetrin etäisyydellä toisistaan. BeeTeorian arvo tässä yksinkertaistetussa ekvivalenttihiukkasmallissa on paljon suurempi, mutta sen etäisyysriippuvuus on identtinen: molemmat voimat skaalautuvat arvona $1/R^2$.
5. Mitä tämä tulos osoittaa
Newtonin käänteisneliörakenne toistetaan.
Kahdelle makroskooppiselle pallolle, joita käsitellään vastaavina pistehiukkasina, BeeTeoria tuottaa voiman, joka skaalautuu täsmälleen $1/R^2$:n suuruisena ja on tiukasti verrannollinen massojen $M_A cdot M_B$ tuloon. Nämä ovat Newtonin universaalin gravitaatiolain kaksi määräävää rakenteellista piirrettä, ja molemmat ilmenevät suoraan BeeTheoryn aaltomekanismista tässä yksinkertaistetussa mallissa.
Atomimittakaavan parametrit ohjaavat amplitudia
BeeTeorian amplitudi $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2 m_\text{atom} a_\text{atom})$ riippuu yksinomaan muodostavien atomien kvanttiominaisuuksista: Planckin vakio, atomin massa ja atomin säde. Lyijyn valinta tässä simulaatiossa antaa tietyt numeeriset arvot, mutta ennusteen rakenne on yleinen. Mikä tahansa materiaali tuottaisi saman $1/R^2$-skaalauksen, jonka amplitudi skaalautuu sen omilla atomiparametreilla.
Kokeellisen vakion G
Newtonin gravitaatiovakio $G$ on mitattu makroskooppinen vakio. BeeTeoria johtaa gravitaatiovuorovaikutuksen rakenteen aaltofformalismista; $G$:n tarkan numeerisen arvon yhteensovittaminen edellyttää empiiristä siltaa mikroskooppisten aaltoparametrien ja makroskooppisen havainnon välillä. Edellä havaittu suhde $F_{\text{BT}}/F_N \ noin 3.5 \ kertaa 10^{25}$ kvantifioi tämän lyijypallon ekvivalenttihiukkasmallin amplitudiaukon.
6. Yhteenveto
1. Kaksi halkaisijaltaan 5 cm:n ja painoltaan 742 g:n lyijypalloa, joita käsitellään ekvivalentteina pistehiukkasina, tuottavat BeeTeorian voiman, jonka muoto on $F_{{\text{BT}}(R) = N^2 \cdot K_{{\text{BT}}}/R^2$.
2. Tällä voimalla on sama funktionaalinen riippuvuus kuin Newtonin lailla $F_N = G\,M^2/R^2$, sekä 1/R^2$:n suuruisen skaalauksen että $M_A \cdot M_B$:n suhteellisuuden osalta.
3. Suhde $F_{\text{BT}}/F_N$ on lyijylle tässä mallissa vakio, joka on yhtä suuri kuin $K_{\text{BT}}/(G m_\text{atom}^2) \ noin 3,5 \ kertaa 10^{25}}$, etäisyydestä riippumatta.
4. BeeTeoria toistaa siten Cavendish-tyyppiseen gravitaatioasetelmaan liittyvän makroskooppisen käänteisneliörakenteen, mutta absoluuttinen normalisointi voidaan liittää empiiriseen vakioon $G$.
Seuraavassa huomautuksessa tarkastellaan, miten sama aaltomekanismi, jota sovelletaan laajoihin ainejakaumiin, kuten galakseihin ja tähtijoukkoihin, tuottaa luonnollisesti uusia gravitaatiovaikutuksia, jotka on historiallisesti liitetty pimeään aineeseen – ilman, että tarvitaan mitään uutta hiukkasta.
Viitteet. Dutertre, X. – Mehiläisteoria™: Aaltopohjainen painovoiman mallintaminen, v2, BeeTheory.com (2023). Perusteellinen derivaatio. – Cavendish, H. – Experiments to Determine the Density of the Earth, Philosophical Transactions of the Royal Society 88, 469 (1798). Alkuperäinen mittaus lyijypallojen välisestä gravitaatiovetovoimasta. – Newton, I. – Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Royal Society (1687). Yleinen gravitaatiolaki.
BeeTheory.com – Aaltopohjainen kvanttigravitaatio – Makroskooppinen testi – © Technoplane S.A.S. 2026