Nota técnica XXXVIII
Primera prueba de la Teoría de la Abeja contra la Relación de Aceleración Radial
BeeTheory.com – Xavier Dutertre – Technoplane S.A.S. – 20 de mayo de 2026
Resultado. Confrontamos el modelo de 3 parámetros de BeeTheory (\(\lambda = 12,696), \(c = 0,163), \(ell_{\rm floor} = 3,00\) kpc) con la Relación de Aceleración Radial (RAR) de McGaugh, Lelli y Schombert (2016). Al evaluar la predicción de \(g_{\rm obs}(g_{\rm bar})\) en 909 puntos muestreados en 101 galaxias sin bulbo SPARC, la nube BeeTheory tiene la forma general correcta -sigue la curva de McGaugh a \(g_{\rm bar})\(g_{\rm bar})\(g_{\rm bar})\(g_{{\rm bar})\(g_{{\rm bar})\} baja-, pero tiene un sesgo alto de +0,25 dex de media, con una dispersión de 0,39 dex (frente a 0,13 dex empíricamente). El sesgo no es uniforme: a baja aceleración (\(g_{\rm bar} < 10^{-12}\) m/s²) BeeTheory coincide con el RAR, mientras que a alta aceleración (alrededor y por encima de \(g_\dagger\)) sobrepredice en 0,4 a 0,5 dex. El modelo capta el comportamiento asintótico similar a MOND, pero no logra recuperar el límite de \(g_{\rm obs} \to g_{\rm bar}\) Newton en radios pequeños. Esto constituye un éxito parcial y un claro indicio para el siguiente perfeccionamiento.
1. La prueba
La Relación de Aceleración Radial expresa la correlación empírica sorprendentemente estrecha entre dos magnitudes medidas en las curvas de rotación: \(g_{\rm bar}(R)\), la aceleración newtoniana que produciría la materia visible por sí sola, y \(g_{\rm obs}(R)\), la aceleración centrípeta total inferida a partir de la velocidad de rotación. McGaugh, Lelli y Schombert (2016) mostraron que ~150 galaxias SPARC caen en una curva única bien ajustada por:
\[ g_{\rm obs}(g_{\rm bar}) \;=\; \frac{g_{\rm bar}{1 – \exp!\left(-\sqrt{g_{\rm bar}/g_\dagger}right)},\qquad g_\dagger = (1,20 \pm 0,02)\times 10^{-10}\;{\rm m/s}^2 \]
La dispersión en torno a esta curva es de sólo ~0,13 dex, apenas mayor que las incertidumbres observacionales. Cualquier teoría de gravedad modificada que pretenda sustituir a la materia oscura debe reproducir esta relación punto por punto. El RAR es el filtro empírico más estricto del mercado.
La predicción de BeeTheory es sencilla. En cada radio \(R\) dentro de una galaxia, la materia visible genera el campo de ondas cuya masa encerrada se suma a la masa encerrada bariónica con acoplamiento \(\lambda\):
\g_{\rm bar}(R) &= G,M_{\rm bar}(<\!R)\,/\,R^2 g_{\rm obs}^{\rm BT}(R) &= g_{\rm bar}(R) + G,\lambda,M_{\rm wave}(<\!R)\,/\,R^2 \ M_{\rm onda}(<\!R) &= M\,\bigl[\,1 - (1 + x + x^2/2)\,e^{-x}\bigr],\quad x = R/ell_{\rm onda} \ell_{\rm onda} &= c\,R_d + \ell_{\rm suelo} \end{aligned} \]
Utilizamos la misma descomposición bariónica que en la calibración: \(M_{\rm disco} = \Upsilon\cdot 2\pi\,\Sigma_d\,R_d^2\) con \(\Upsilon = 0,5\), \(M_{\rm gas} = 1,33\(M_{\rm HI}), \(R_{d,{\rm gas} = 2,5\(R_{d,star}). Los tres parámetros universales se mantienen en sus valores estables. La nube se genera muestreando cada galaxia en nueve radios desde \(0,5,R_d) hasta \(10,R_d), lo que da 909 puntos en los 101 discos.
2. El diagrama
Destacan tres características.
(a) Los puntos observados se sitúan cerca de la curva de McGaugh. La dispersión de los valores SPARC \(V_f\) en torno a la RAR empírica es de 0,17 dex con un pequeño sesgo de +0,10 dex, comparable a los 0,13 dex comunicados por McGaugh+2016. Nuestra muestra de 101 galaxias es sana y coherente con la RAR publicada. Esto no estaba garantizado: confirma que los pares \((g_{\rm bar}, g_{\rm obs})\) derivados del SPARC que utilizamos aquí trazan la misma relación empírica.
(b) La nube BeeTheory sigue globalmente la curva de McGaugh. No es plana (no colapsa sobre Newton), y se curva en la dirección correcta a baja \(g_{\rm bar}\). La forma funcional es cualitativamente correcta.
(c) La nube se sitúa sistemáticamente por encima de la curva, con un desplazamiento medio de +0,25 dex y una dispersión total de 0,39 dex, tres veces la dispersión empírica. La teoría de la abeja en esta forma sobrepredice \(g_{\rm obs}\).
3. Dónde se aparta la BeeTheory de la RAR
La estructura no es aleatoria. En las \(g_{\rm bar}\) más bajas (en torno a \(3\times 10^{-13}\) m/s², es decir, las regiones más externas de los discos LSB), los residuos de BeeTheory se agrupan a \(\pm 0,15\) dex de cero: el modelo aterriza en la curva de McGaugh dentro de la dispersión empírica. Éste es el régimen en el que se realizó la calibración (\(V_f\) se alcanza a \(R \aprox 5\,R_d\) donde \(g_{\rm bar}\) es bajo), por lo que se esperaba que aquí hubiera coherencia.
A continuación, la tendencia asciende de forma constante con \(g_{\rm bar}\). Alrededor de \(g_\dagger = 1,2\ veces 10^{-10}\) m/s² (la aceleración de transición en el RAR empírico), la mediana binned se sitúa entre +0,45 y +0,50 dex. En unidades lineales, \(g_{\rm obs}^{\rm BT}\) es aproximadamente 3 veces el valor McGaugh en la correspondiente \(g_{\rm bar}\). Se trata de las regiones interiores de las galaxias, donde \(R\) es pequeño en comparación con \(R_d\).
Por qué falla hacia el interior. El RAR empírico requiere que a \(g_{\rm bar}\ elevado (en lo profundo del disco), \(g_{\rm obs}\a g_{\rm bar}\) – domine la materia visible, y la contribución del campo de ondas debe pasar a ser subdominante. En la parametrización actual de BeeTheory, \(\ell_{\rm onda} = c\,R_d + \ell_{\rm suelo}) es de aproximadamente 3 kpc para casi todas las galaxias (porque \(c = 0,16\) es pequeño). A \(R \ll \ell_{\rm onda}\), \(x = R/\ell_{\rm onda}\) es pequeño y \(M_{\rm onda}(<\!R) \aprox M\,x^3/6\) - la masa de la onda crece con \(R), pero lo hace a partir de un acoplamiento \(\lambda = 12,7\). El producto \(\lambda \cdot M_{\rm onda}(<\!R)\) no desaparece lo suficientemente rápido como para recuperar Newton a \(R\) pequeños. El modelo "filtra" la contribución de la onda hacia el interior.
4. Síntesis y próximos pasos
| Métrica | Nube BeeTheory | Observado (\(V_f\) puntos) | McGaugh+2016 |
|---|---|---|---|
| Desplazamiento medio (dex) | +0.25 | +0.10 | 0,00 (definición) |
| Dispersión \(\sigma\) (dex) | 0.39 | 0.17 | ~0.13 |
| Número de puntos | 909 (101 gal.) | 101 | ~2700 (~150 gal.) |
| ¿Forma cualitativamente correcta? | Sí | Sí | – |
| ¿Límite de Newton a alta \(g_{\rm bar}\)? | No (+0,5 dex) | – | Sí (incorporado) |
Lectura. BeeTheory supera el RAR asintóticamente a baja aceleración – el régimen que conduce a curvas de rotación planas, donde se ancló la calibración. Falla en el régimen de alta aceleración, donde el RAR converge a Newton y BeeTheory no. Se trata de un defecto limpio y localizado, no de una incompatibilidad al por mayor. La forma de 3 parámetros nunca fue necesaria para reproducir el comportamiento del disco interior porque \(V_f\) se fija en \(R \sim 5\,R_d\). El encuentro con el RAR obliga al modelo a ser correcto en todos los radios, no sólo en \(V_f\).
Caminos por explorar
(i) Saturando \(\ell_{{rm wave}}) a \(R\) pequeños. Un refinamiento natural es hacer que la extensión efectiva del campo de ondas sea una función de las condiciones locales, por ejemplo \(\ell_{\rm onda}(R)\) creciendo con \(R\) en lugar de fijarse en \(c\,R_d + \ell_{\rm suelo}\). Esto suprimiría el acoplamiento de ondas en \(R\) pequeño y dejaría que Newton dominara donde \(g_{\rm barra}\) es alto.
(ii) Acoplamiento dependiente de \(g\). Si \(\lambda) dependiera a su vez de \(g_{\rm bar}} – por ejemplo, \(\lambda \a \lambda \cdot f(g_{\rm bar}/g_dagger)\cdot f(g_{\rm bar}/g_dagger)\cdot f(g_{\rm bar}}) con \(f \a 0\cdot f(g_{\rm bar}}) a alta \(g_{\rm bar}}) y \(f \a 1\cdot f(g_{\rm bar}}) a baja \cdot f(g_{\rm bar}}) – el modelo podría reproducir exactamente la curva de McGaugh. El reto es motivar tal dependencia a partir de la microfísica de la función de onda, no imponerla fenomenológicamente.
(iii) Límite en \(\ell_{\rm floor}\) para galaxias masivas. El mismo defecto que produce aquí el sesgo alto de \ell(g_{\rm bar}) puede estar relacionado con la sobrepredicción de +43% en NGC3198 en la calibración y con las sobrepredicciones de +25-45% en varias galaxias ciegas Sc/Sbc. Una saturación de \(\ell_{\rm floor}\) (o una que dependa de \(M_{\rm visible}\)) podría corregir ambos simultáneamente.
Nota sobre la metodología. Todos los cálculos: 101 galaxias SPARC sin bulbo (\(T \geq 4\)), 909 tripletes \((R, g_{\rm bar}, g_{\rm obs})\) en \(R/R_d \ en {0,5, 1,0, 1,5, 2,0, 3,0, 4,0, 5,0, 7,0, 10,0}). Parámetros estables \((\lambda, c, \ell_{\rm suelo}) = (12,696,\, 0,163,\, 3,00 {\rm kpc})\). RAR empírico de McGaugh con \(g_\dagger = 1,20\times 10^{-10}\) m/s². La comparación con las mediciones individuales SPARC publicadas de McGaugh+2016 (no reproducidas aquí a partir de las muestras originales de curvas de rotación) es un paso siguiente natural.
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