BeeTheory – Fundamentos – Nota técnica XVII
Los Cinco Componentes Geométricos:
Inventario completo de parámetros
Antes de ampliar el marco de BeeTheory a grandes muestras de galaxias, esta nota consolida la capa de modelización: para cada uno de los cinco componentes geométricos utilizados para describir una galaxia de disco, enumera explícitamente los parámetros necesarios, el perfil de densidad, la longitud de coherencia del campo de ondas y la geometría de integración. Esta es la especificación operativa que impulsa todos los cálculos de BeeTheory a partir de la nota VII.
1. El resultado primero – de un vistazo
Por galaxia: 5 entradas observacionales → 5 componentes bariónicos → campo de ondas.
Cada galaxia se describe mediante cinco entradas observacionales que impulsan una descomposición bariónica de cinco componentes: protuberancia (3D), disco fino (2D), disco grueso (2D), anillo de gas (2D con agujero central) y exceso de brazo espiral (2D, núcleo más estrecho). Junto con cuatro parámetros teóricos universales $(K_0, c_\text{sph}, c_\text{disk}, c_\text{arm})$ y un acoplamiento global $\lambda$, esto especifica completamente el cálculo del campo de ondas.
Parámetros totales: 5 entradas observacionales + hasta 18 parámetros de componentes derivados + 5 parámetros de teoría universal. Ningún ajuste por galaxia más allá de éstos.
2. Entradas de observación (por galaxia)
| Símbolo | Cantidad | Fuente |
|---|---|---|
| $T$ | Tipo morfológico de Hubble | Catálogo (de Vaucouleurs, SPARC) |
| $R_d$ | Longitud de escala del disco estelar (kpc) | Fotometría Spitzer de 3,6 µm |
| $\Sigma_d$ | Brillo de la superficie del disco central ($L_\odot/\text{pc}^2$) | Fotometría Spitzer de 3,6 µm |
| $M_\text{HI}$ | Masa atómica total del hidrógeno ($M_odot$) | Observaciones de radio de 21 cm |
| $\Upsilon_\star$ | Relación masa-luz estelar a 3,6 µm | Fijo universal: $0,5\,M_\odot/L_\odot$ (McGaugh 2014) |
A partir de estas entradas se calculan una vez dos cantidades de masa integradas:
$$M_\star \;=\; 2\pi\,R_d^2\,\Sigma_d\,\Upsilon_\star \qquad\text{(masa estelar)}$$
$$M_\text{gas} \;=\; 1,33\,M_\text{HI} \qquad\text{(masa de gas, corrección He)}$$
3. Componente 1 – Bulto (3D Hernquist)
La protuberancia es una concentración esférica tridimensional en el centro de la galaxia. Sólo se activa en las galaxias de tipo temprano e intermedio. En las espirales e irregulares de tipo tardío, no hay protuberancia.
Activación: $T \leq 4$ (espirales S0, Sa, Sb, Sbc). Desactivado para $T \geq 5$ (Sc, Sd, Im).
| Parámetro | Símbolo | Fórmula |
|---|---|---|
| Masa abultada | $M_b$ | $0.20 \cdot M_\star$ |
| Radio de escala | $r_b$ | $\max(0.5\,R_d,\;0.3\text{ kpc})$ |
| Longitud de coherencia | $\ell_b$ | $c_\text{sph} \cdot r_b$ |
Perfil de densidad
$$\rho_b(r) \;=\; \frac{M_b\,r_b}{2\pi\,r\,(r + r_b)^3}$$
Integración del campo de ondas – conchas esféricas
$$\rho_\text{onda}^(b)}(r) \;=\; \int_0^{6r_b} \rho_b(r’) \cdot K_0\frac{(1 + \alpha_b D)\,e^{-\alpha_b D}}{D^2} \cdot 4\pi r’^2\,dr’, \quad D = \sqrt{r^2 + r’^2}, \quad \alpha_b = 1/\ell_b$$
Recuento de parámetros: 3 ($M_b$, $r_b$, $\ell_b$) cuando está activado, 0 en caso contrario.
4. Componente 2 – Disco estelar delgado (exponencial 2D)
El disco delgado contiene la mayor parte de la masa estelar que no se encuentra en la protuberancia. Es el componente estelar geométricamente más delgado, con la menor extensión vertical. Siempre está activado.
| Parámetro | Símbolo | Fórmula |
|---|---|---|
| Masa de disco fino | $M_\text{thin}$ | $0,75 \cdot (M_\star – M_b)$ |
| Longitud de la escala | $R_d$ | Observado (entrada) |
| Longitud de coherencia | $\ell_\text{thin}$ | $c_\text{disco} \cdot R_d$ |
Perfil de densidad e integración
$$\Sigma_\text{thin}(R) \;=\; \frac{M_\text{thin}}{2\pi\,R_d^2}\,e^{-R/R_d}$$
$$\rho_\text{onda}^(\text{delgado})}(r) \;=\; \int_0^{8R_d} \Sigma_text{thin}(R’) \cdot K_0\frac{(1 + \alpha_text{thin} D)\,e^{-\alpha_text{thin} D}{D^2} \cdot 2\pi R’\,dR’$$
Recuento de parámetros: 3 ($M_\texto{delgado}$, $R_d$, $\ell_\texto{delgado}$). Integración sobre anillos concéntricos $R’$.
5. Componente 3 – Disco estelar grueso (2D exponencial, más ancho)
El disco grueso está compuesto por estrellas más viejas y dinámicamente más calientes distribuidas en una escala radial más amplia que el disco fino. Siempre está activado. Transporta el 25% de la masa estelar no bulbosa.
| Parámetro | Símbolo | Fórmula |
|---|---|---|
| Masa de disco grueso | $M_\texto{grueso}$ | $0,25 \cdot (M_\star – M_b)$ |
| Longitud de la escala | $R_\texto{grueso}$ | $1.5 \cdot R_d$ |
| Longitud de coherencia | $\ell_\text{grueso}$ | $c_\text{disco} \cdot R_\text{espesor} = 1,5\c_text{disco},R_d$ |
Perfil de densidad e integración
$$\Sigma_\text{thick}(R) \;=\; \frac{M_\text{thick}}{2\pi\,R_\text{thick}^2}\,e^{-R/R_\text{thick}}$$
$$\rho_\text{wave}^{(\text{thick})}(r) \;=\; \int_0^{8R_\text{thick}} \Sigma_texto{grueso}(R’) \cdot K_0\frac{(1 + \alfa_texto{grueso} D)\,e^{-alfa_texto{grueso} D}{D^2} \cdot 2\pi R’\,dR’$$
Recuento de parámetros: 3 ($M_texto{grueso}$, $R_texto{grueso}$, $\ell_texto{grueso}$). Misma geometría de anillo que el disco delgado.
6. Componente 4 – Anillo de gas (HI + He, 2D con orificio central)
El gas atómico neutro de la galaxia (con corrección de helio) está distribuido en una escala más amplia que el disco estelar y está centralmente agotado. Es el componente bariónico más extendido, y en general se extiende mucho más allá del disco óptico.
| Parámetro | Símbolo | Fórmula |
|---|---|---|
| Masa de gas | $M_\text{gas}$ | $1.33 \cdot M_\text{HI}$ |
| Longitud de la escala de gas | $R_g$ | 1,7 $ \cdot R_d$ (Broeils & Rhee 1997) |
| Radio del orificio central | $R_\text{hole}$ | $0,5 \cdot R_g$ |
| Longitud de coherencia | $\ell_\text{gas}$ | $c_\text{disk} \cdot R_g = 1,7\c_text{disk},R_d$ |
Perfil de densidad e integración
$$\Sigma_\text{gas}(R) \;=\; \frac{M_\text{gas}}{2\pi\,R_g^2}\,\exp\!\left(-\frac{R_\text{hole}}{R} – \frac{R}{R_g}\right)$$
$$\rho_\text{wave}^{(\text{gas})}(r) \;=\; \int_{R_\text{hole}}^{8R_g} \Sigma_\text{gas}(R’) \cdot K_0\frac{(1 + \alpha_\text{gas} D)\,e^{-\alpha_\text{gas} D}{D^2} \cdot 2\pi R’\,dR’$$
La forma doble exponencial capta tanto el agotamiento central (el término $-R_\text{hole}/R$ suprime el perfil a $R$ pequeños, donde el hidrógeno neutro suele estar fotoionizado o en forma molecular) como el declive exterior (el término $-R/R_g$). El límite inferior de la integración comienza en $R_\text{hole}$, donde el perfil se vuelve no despreciable.
Recuento de parámetros: 4 ($M_\text{gas}$, $R_g$, $R_\text{agujero}$, $\ell_\text{gas}$). Integración anular con radio interior truncado.
7. Componente 5 – Exceso de brazo en espiral (2D, núcleo más estrecho)
Los brazos en espiral son una modulación azimutal de la densidad superficial del disco delgado. Se tratan, en la aproximación monopolar axisimétrica de BeeTheory, como un realce uniforme efectivo del perfil del disco delgado en el nivel del 10%, pero con una longitud de coherencia distinta que refleja la menor extensión angular de la estructura del brazo en comparación con un disco liso.
| Parámetro | Símbolo | Fórmula |
|---|---|---|
| Masa efectiva del brazo | $M_\text{arm}$ | $0.10 \cdot M_\text{thin}$ |
| Escala radial | $R_d$ | Sigue el disco fino |
| Longitud de coherencia | $\ell_\text{arm}$ | $c_\text{arm} \cdot R_d$ (más estrecho que $\ell_\text{delgado}$) |
Perfil de densidad e integración
$$Sigma_text{arm}(R) \;=\; 0,10 \cdot \Sigma_text{thin}(R) \;=\; \frac{0,10\,M_text{thin}}{2\pi,R_d^2},e^{-R/R_d}$$
$$\rho_\text{onda}^(\text{arm})}(r) \;=\\; \int_0^{8R_d} \Sigma_\text{arm}(R’) \cdot K_0\frac{(1 + \alpha_\text{arm} D)\,e^{-\alpha_\text{arm} D}{D^2} \cdot 2\pi R’\,dR’$$
Debido a que $c_\text{arm} < c_\text{disk}$, el núcleo del brazo espiral está más localizado que el del disco delgado: el campo se intensifica a separaciones cortas pero se amortigua exponencialmente más allá de unos pocos kpc. Esto capta el hecho de que los brazos espirales reales producen rasgos gravitatorios locales intensos pero no extienden la coherencia por todo el disco.
Recuento de parámetros: 3 ($M_\text{arm}$, $R_d$, $\ell_\text{arm}$). Misma geometría de anillo que el disco delgado.
8. Tabla resumen – todos los componentes a la vez
| # | Componente | Geometría | Masa | Escala radial | Coherencia $\ell$ | Activación | Parámetros |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Bulto | Esfera Hernquist 3D | $0.20\,M_\star$ | $r_b = \max(0,5R_d,\,0,3)$ | $c_\text{sph}\$,r_b$ | $T \leq 4$ | 3 |
| 2 | Disco fino | Exponencial 2D | $0,75\,(M_estrella – M_b)$ | $R_d$ | $c_\texto{disco},R_d$ | Siempre | 3 |
| 3 | Disco grueso | Exponencial 2D | 0,25$,(M_estrella – M_b)$ | $1.5\,R_d$ | $1.5\,c_\text{disk}\,R_d$ | Siempre | 3 |
| 4 | Anillo de gas | Exp. 2D con orificio central | 1,33$,M_\text{HI}$ | $1,7\,R_d$, $R_\texto{agujero} = 0,85\,R_d$ | $1.7\,c_\text{disk}\,R_d$ | Siempre | 4 |
| 5 | Brazos en espiral | Exceso acimutal 2D | $0.10\,M_\text{thin}$ | $R_d$ (sigue delgada) | $c_\text{arm}\$,R_d$ | Siempre | 3 |
9. Parámetros teóricos universales (idénticos para todas las galaxias)
Cinco números fijan el núcleo de onda de BeeTheory. Son universales: los mismos valores se aplican a la Vía Láctea, a las enanas y a las espirales masivas. No varían de una galaxia a otra y se determinan una vez sobre una muestra de calibración.
| Símbolo | Valor | Papel |
|---|---|---|
| $K_0$ | $0.3759$ | Amplitud de la masa de onda – fija la escala adimensional del núcleo |
| $c_\text{sph}$ | $0.41$ | Coeficiente de coherencia 3D: $\ell_b / r_b$ para fuentes esféricas (protuberancia) |
| $c_\text{disco}$ | $3.17$ | Relación de coherencia 2D: $\ell / R_\text{scale}$ para discos y anillo de gas |
| $c_\text{arm}$ | $2.0$ | Relación de coherencia en espiral: núcleo más estrecho para la modulación del brazo |
| $\lambda$ | $0.4957$ | Acoplamiento global del campo de ondas (escala la densidad total de ondas) |
El propio núcleo de la onda, idéntico para cada componente, es:
$$\mathcal{K}(D) \;=\; K_0 \cdot \frac{(1 + \alpha D)\,e^{-\alpha D}{D^2}, \qquad \alpha = 1/\ell$$
10. De los componentes a la curva de rotación
La densidad total del campo de ondas en el radio $r$ es la suma de las contribuciones de los cinco componentes, escalada por el acoplamiento global:
$$\rho_\text{wave}(r) \;=\; \lambda \cdot \!\i \i \in \b,\texto{delgado},\texto{grueso},\texto{gas},\texto{brazo}}(r)$$
A continuación, la masa de onda encerrada y la velocidad circular prevista:
$$M_\text{onda}(R) \;=\; \int_0^R 4\pi r^2 \rho_\text{onda}(r)\$,dr$$
$$V_c^2(R) \;=\; V_\text{bar}^2(R) \;+\; \frac{G\,M_\text{onda}(R)}{R}$$
donde $V_\text{bar}(R)$ es la velocidad circular newtoniana de los bariones visibles (fórmula de Freeman de 1970 para cada componente exponencial del disco, masa encerrada de Hernquist para el bulbo, todo combinado en cuadratura).
11. Contabilidad de parámetros – resumen
Por galaxia, lo que entra y lo que se deriva
Entradas observacionales (por galaxia): 5 cantidades ($T$, $R_d$, $\Sigma_d$, $M_\text{HI}$, $\Upsilon_\star$).
Parámetros componentes derivados (por galaxia): 13 si $T > 4$ (sin protuberancia), 16 si $T \leq 4$ (con protuberancia). Todos calculados a partir de las 5 entradas anteriores mediante fórmulas deterministas.
Parámetros de la teoría universal: 5 números ($K_0$, $c_\text{sph}$, $c_\text{disk}$, $c_\text{arm}$, $\lambda$). Idénticos para cada galaxia.
Parámetros de ajuste libres por galaxia: $\mathbf{0}$. El modelo no tiene ajuste por galaxia.
12. Resumen
1. Cada galaxia se describe mediante cinco componentes geométricos: un bulbo (Hernquist 3D, opcional), un disco estelar delgado, un disco estelar grueso, un anillo de gas con agujero central y un exceso de brazo espiral (estos cuatro últimos son exponenciales 2D).
2. La protuberancia se activa sólo para $T \leq 4$ (de S0 a Sbc). Los cuatro componentes 2D están siempre presentes.
3. Cada componente contribuye con una integral separada a la densidad del campo de ondas: integración en concha esférica para la protuberancia, integración en anillo para los cuatro componentes 2D.
4. El número de parámetros derivados por galaxia es como máximo de 16 (con protuberancia) o 13 (sin protuberancia), todos ellos calculados de forma determinista a partir de 5 entradas observacionales.
5. Los cinco parámetros universales de la teoría $(K_0, c_text{sph}, c_text{disk}, c_text{arm}, lambda)$ son idénticos para todas las galaxias – no se ajustan por galaxia.
6. En el modelo no existe ningún parámetro libre por galaxia. Una vez que $lambda$ se fija en una muestra de calibración, todas las curvas de rotación posteriores son puras predicciones.
Referencias. Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. – SPARC: Modelos de masa para 175 galaxias de disco con fotometría Spitzer y curvas de rotación precisas, AJ 152, 157 (2016). – Hernquist, L. – An analytical model for spherical galaxies and bulges, ApJ 356, 359 (1990). Perfil de densidad del bulbo. – Freeman, K. C. – Sobre los discos de las galaxias espirales y S0, ApJ 160, 811 (1970). Velocidad circular exponencial del disco. – Broeils, A. H., Rhee, M.-H. – Observaciones cortas con WSRT de 21 cm de galaxias espirales e irregulares, A&A 324, 877 (1997). Relación de escala entre gas y disco estelar. – McGaugh, S. S. – La tercera ley de la rotación galáctica, Galaxies 2, 601 (2014). $\Upsilon_\star$ a 3,6 µm. – Bland-Hawthorn, J., Gerhard, O. – La galaxia en su contexto, ARA&A 54, 529 (2016). Descomposición estructural de la Vía Láctea. – Dutertre, X. – Teoría Bee™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023).
BeeTheory.com – Gravedad cuántica basada en las ondas – Capa de modelado – © Technoplane S.A.S. 2026