La masa del disco de la Vía Láctea en función del radio

TL;DR

La masa visible del disco de la Vía Láctea puede modelarse como la suma de varios componentes: el disco estelar delgado, el disco estelar grueso, el gas de hidrógeno atómico HI y el gas de hidrógeno molecular H₂.

La ecuación más útil es:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

donde r es la distancia al centro galáctico en kiloparsecs, o kpc.

Para la parte estelar del disco, utilizando los parámetros de la Vía Láctea comúnmente adoptados del modelo de masa galáctica de McMillan, la masa dentro del radio r es:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

con r en kpc y la masa en masas solares, M⊙.

Esta ecuación describe la masa estelar visible del disco de la Vía Láctea en función de la distancia al Centro Galáctico.

Ecuación final para la masa del disco visible

El disco visible de la Vía Láctea puede escribirse como:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

La parte estelar es la más limpia:

\(M_{mathrm{disco,estrellas}(<r)=M_{mathrm{delgado}(<r)+M_{mathrm{grueso}(<r)\)

Utilización de parámetros numéricos:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

donde:

r = distancia al centro galáctico en kpc
Mdisk_,estrellas = masa del disco estelar dentro del radio r
M⊙ = una masa solar

Los parámetros utilizados aquí proceden del modelo de masa de la Vía Láctea de McMillan de 2017, que da un radio solar R₀ = 8,20 ± 0,09 kpc, una velocidad circular v₀ = 232,8 ± 3,0 km/s y una masa estelar total (54,3 ± 5,7) × 10⁹ M⊙.

El disco de la Vía Láctea está construido con anillos

Una forma sencilla de entender la ecuación de masa es imaginar que se corta el disco galáctico en muchos anillos circulares finos.

Cada anillo tiene:

\(\mathrm{circunferencia}=2\pi r\) \(\mathrm{anchura}=dr\) \(\mathrm{area}=2\pi r\,dr\)

Si la densidad de masa superficial del disco es Σ(r), entonces la masa de un anillo delgado es:

\(dM=2\pi r\,\Sigma(r)\,dr\)

La masa dentro del radio r se obtiene sumando todos los anillos desde el centro hasta r:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma(R)\,R\,dR\)

Esta es la idea matemática básica que subyace a la ecuación de la masa del disco.

La ecuación exponencial del disco

El disco estelar de la Vía Láctea suele aproximarse mediante una densidad superficial exponencial:

\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)

donde:

Σ₀ = densidad de masa de la superficie central
_Rd = longitud de la escala del disco
r = distancia al centro galáctico

La longitud de escala _Rd nos indica la rapidez con la que el disco se vuelve menos denso a medida que nos desplazamos hacia el exterior.

Sustituyendo esta densidad en la ecuación del anillo se obtiene:

\(M(<r)=2\pi\int_{0}^{r}\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)

Resolviendo la integral se obtiene:

\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)

Esta es la ecuación principal utilizada para el disco estelar.

Componente 1 – El disco estelar delgado

El disco delgado es la parte brillante, plana y de formación estelar de la Vía Láctea. Contiene estrellas jóvenes, muchas estrellas similares al Sol, gas, polvo y los brazos espirales.

Para el disco estelar delgado:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)

Desde:

\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)

escribimos:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

La masa dentro del radio r es

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)

Por lo tanto:

\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)

La masa total del disco delgado se obtiene tomando r → ∞:

\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)

Componente 2 – El disco estelar grueso

El disco grueso es más antiguo, está más extendido verticalmente y es más difuso que el disco fino. Sus estrellas se mueven más lejos por encima y por debajo del plano galáctico.

Para el disco estelar grueso

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)

Entonces:

\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)

La masa dentro del radio r es

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

Por lo tanto:

\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)

La masa total del disco grueso es

\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)

Masa del disco estelar: Disco delgado + Disco grueso

Sumando ambos componentes estelares se obtiene

\(M_{mathrm{disco,estrellas}(<r)=M_{mathrm{delgado}(<r)+M_{mathrm{grueso}(<r)\)

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)

En radios muy grandes:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)

Así, en este modelo, el disco estelar visible de la Vía Láctea contiene alrededor de:

45.700 millones de masas solares

Componente 3 – Gas hidrógeno atómico, HI

El disco de la Vía Láctea también contiene gas visible. El primer componente gaseoso importante es el hidrógeno atómico, escrito HI.

A diferencia del disco estelar, el gas no está bien descrito por un simple disco exponencial. Tiene una depresión central, o «agujero», por lo que una forma mejor es:

\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)

Para HI:

\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)

La masa dentro del radio r es

\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]M_\odot\)

Esta ecuación dice: tome la masa total HI y multiplíquela por la fracción del disco HI contenida dentro del radio r.

Componente 4 – Gas hidrógeno molecular, H₂

El segundo componente principal del gas es el hidrógeno molecular, escrito H₂. Este gas está más estrechamente asociado a las nubes frías y a la formación de estrellas.

Para H₂:

\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)

La masa dentro del radio r es

\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]M_\odot\)

Ecuación de masa del disco visible completo

Combinación de estrellas y gas:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)

Completamente escrito:

\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\left[\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}\right]+1.2\times10^9\left[\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\right]\)

donde:

r y R están en kpc
M está en M⊙

Esta ecuación da la masa del disco visible de la Vía Láctea dentro de un radio r, medido desde el Centro Galáctico.

Ejemplo: Masa dentro de la órbita del Sol

El Sol se encuentra aproximadamente a:

\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)

Utilizando sólo la ecuación del disco estelar:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)\simeq3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)

Numéricamente, esto da aproximadamente:

\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\simeq3.7\times10^{10}M_\odot\)

Así, dentro de la órbita del Sol, el disco estelar ya contiene la mayor parte de su masa total.

¿Por qué utilizar anillos?

El método del anillo es útil porque el disco de una galaxia no es una esfera.

Para un objeto esférico, la envoltura de masa en el radio r tiene área:

\(4\pi r^2\)

Pero para un disco delgado, la masa se reparte en anillos circulares:

\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)

Esta es la razón por la que las ecuaciones de masa del disco parecen diferentes de las ecuaciones de masa esférica.

En un disco:

la masa proviene de los anillos

En una esfera:

la masa proviene de las conchas

La Vía Láctea contiene componentes tanto en forma de disco como esféricos, pero esta página se centra en el disco.

Qué incluye esta ecuación

La ecuación incluye:

Componente	Significado	¿Incluido?
Disco estelar delgado	Estrellas jóvenes y de edad intermedia cerca del plano galáctico	Sí
Disco estelar grueso	Las estrellas más viejas más alejadas del plano	Sí
Gas HI	Hidrógeno atómico	Sí
Gas H₂	Hidrógeno molecular	Sí
Bulto/barra	Estructura estelar central	No
Halo de materia oscura	Componente gravitatorio invisible	No
Halo estelar	Estrellas viejas muy difusas	No

Por eso la llamamos la masa visible del disco, no la masa total de la Vía Láctea.

Cómo se conecta esto con la masa desaparecida

Una vez conocida la masa visible del disco, los astrónomos la comparan con la masa requerida por la rotación observada de la Galaxia.

La masa dinámica deducida del movimiento circular es:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)

En unidades prácticas:

\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)

La masa que falta es entonces:

\(M_{mathrm{falta}(<r)=M_{mathrm{din}(<r)-M_{mathrm{visible}(<r)\)

Para esta página, la contribución del disco es:

\(M_{mathrm{visible}(<r)\aprox M_{mathrm{disco,visible}(<r)\)

Un modelo completo de la Vía Láctea añadiría también la protuberancia/barra central y otros componentes bariónicos menores.

Limitaciones importantes

Este modelo es útil, pero no es perfecto.

En primer lugar, la Vía Láctea no es un disco axisimétrico perfectamente liso. Tiene brazos espirales, una barra central, regiones de formación estelar y estructuras locales.

En segundo lugar, el gas es difícil de modelizar porque lo observamos desde el interior de la Galaxia. Su distancia y su rotación deben reconstruirse a partir de los datos de velocidad.

En tercer lugar, el disco tiene un espesor vertical. Las ecuaciones anteriores son en su mayoría ecuaciones de densidad superficial, que son excelentes para los perfiles radiales de masa pero no describen todos los detalles verticales.

En cuarto lugar, los parámetros dependen del modelo galáctico adoptado. El modelo de McMillan es un punto de referencia sólido, pero distintos estudios pueden dar masas de disco, longitudes de escala y perfiles de gas ligeramente diferentes. McMillan informa explícitamente de las incertidumbres estadísticas para parámetros globales clave como R₀, v₀, masa estelar, masa virial y densidad local de materia oscura.

Glosario

Centro galáctico
La región central de la Vía Láctea, alrededor del agujero negro supermasivo Sagitario A*.

Kiloparsec, kpc
Unidad de distancia utilizada en astronomía galáctica. Un kiloparsec equivale a unos 3.260 años-luz.

Masa solar, M⊙
La masa del Sol. Se utiliza como unidad de masa estándar en astronomía.

Densidad superficial, Σ(r)
Masa por unidad de superficie del disco galáctico en el radio r.

Longitud de escala, _Rd
Distancia a lo largo de la cual la densidad del disco disminuye en un factor e.

Disco delgado
El disco plano, denso y de formación estelar de la Vía Láctea.

Disco grueso
Un disco estelar más antiguo y extendido verticalmente que rodea al disco fino.

HI
Gas de hidrógeno atómico.

H₂
Hidrógeno molecular gaseoso.

Masa dinámica
La masa necesaria para explicar la velocidad orbital observada de las estrellas y el gas.

Masa ausente
La diferencia entre la masa dinámica y la masa visible.

Notas de accesibilidad

Texto alternativo sugerido para la imagen:

Texto alternativo para el diagrama 1: «Vista frontal del disco de la Vía Láctea dividido en anillos circulares alrededor del Centro Galáctico».
Texto alternativo para el diagrama 2: «Vista lateral de la Vía Láctea que muestra un disco estelar delgado incrustado dentro de un disco estelar más grueso y antiguo».
Texto alternativo para el gráfico: «Gráfico que muestra el aumento de la masa acumulada del disco visible con el radio desde el centro galáctico».

Utilice etiquetas legibles como:

«Radio desde el centro galáctico, kpc»
«Masa dentro del radio, masas solares»
«Disco delgado»
«Disco grueso»
«Disco de gas»
«Disco visible total»

Enlaces internos sugeridos

Curva de rotación de la Vía Láctea
Materia oscura y masa desaparecida
¿Qué es un kiloparsec?
El centro galáctico explicado
Disco fino frente a disco grueso

Referencias externas sugeridas

Para saber más:

McMillan, P. J. «La distribución de la masa y el potencial gravitatorio de la Vía Láctea». Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica, 2017.
McMillan, P. J. «Modelos de masa de la Vía Láctea». arXiv, 2011.
Cautun et al. «El perfil de masa total de la Vía Láctea inferido a partir de Gaia DR2». El artículo modela la Vía Láctea con una protuberancia, un disco fino, un disco grueso, un disco HI, un disco de gas molecular, gas circungaláctico y un halo oscuro.
Marasco et al. «Distribución y cinemática del gas atómico y molecular dentro del círculo solar». Este estudio modela el gas galáctico mediante anillos y ajusta los datos de HI y CO.

Masa visible

Para estimar la masa visible de la Vía Láctea en cualquier radio, elija un valor de r en kpc e insértelo en:

Para un primer cálculo, utilice la ecuación disco-estelar más sencilla. A continuación, añada gas HI y H₂ para obtener un modelo de disco visible más completo.