La masa de la Vía Láctea en función de la distancia a su centro
Masa visible del disco – Masa ausente – Ecuaciones basadas en anillos – Radio galáctico
La masa visible del disco de la Vía Láctea puede modelarse sumando la masa de sus principales componentes: el disco estelar delgado, el disco estelar grueso, el gas de hidrógeno atómico HI y el gas de hidrógeno molecular H₂.
La masa del disco visible se escribe como
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)La parte más sencilla y útil es la masa del disco estelar:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)- r es la distancia al centro galáctico en kiloparsecs, o kpc.
- M es la masa en masas solares, M⊙.
Esta ecuación da la masa estelar visible del disco de la Vía Láctea dentro del radio r.
La masa que falta se obtiene entonces comparando la masa visible con la masa dinámica:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)En unidades astronómicas prácticas:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5\,v_c^2(r)\,r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)con vc(r) en km/s, r en kpc y la masa en M⊙.
La ecuación final de la masa del disco visible
El disco visible de la Vía Láctea está formado por estrellas y gas. Escribimos:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Los dos componentes estelares principales son el disco estelar delgado y el disco estelar grueso.
Los dos componentes del gas son el hidrógeno atómico, HI, y el hidrógeno molecular, H₂.
La ecuación más limpia es la del disco estelar:
\(M_{mathrm{disco,estrellas}(<r)=M_{mathrm{delgado}(<r)+M_{mathrm{grueso}(<r)\)Completamente escrito:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Esta es la ecuación principal para la masa del disco estelar visible de la Vía Láctea.
Por qué el disco de la Vía Láctea se modela con anillos
El disco de la Vía Láctea no es una esfera sólida. Se aproxima más a un gran disco aplanado.
Para calcular su masa, la dividimos en muchos anillos circulares finos.
Un anillo de radio r tiene circunferencia:
\(2\pi r\)Si el anillo tiene una anchura dr pequeña, entonces su área es:
\(dA=2\pi r\,dr\)Si la densidad de masa de la superficie es Σ(r), entonces la masa del anillo es:
\(dM=\Sigma(r)\,2\pi r\,dr\)Esta es la idea clave.
La masa total dentro del radio r se obtiene sumando todos los anillos desde el Centro Galáctico hasta r:
\(M(<r)=2\pi\int_0^rSigma(R)\,R\,dR\)Así pues, la masa del disco no se construye a partir de envolturas esféricas. Está construida a partir de anillos circulares.
El disco exponencial
La densidad superficial de estrellas en un disco galáctico se modela a menudo como una función exponencial:
\(\Sigma(r)=\Sigma_0 e^{-r/R_d}\)- Σ0 es la densidad de masa de la superficie central.
- Rd es la longitud de escala del disco.
- r es la distancia al centro galáctico.
Esto significa que el disco es más denso cerca del centro y se vuelve menos denso a medida que aumenta r.
Sustituyendo la densidad exponencial de la superficie en la ecuación del anillo se obtiene:
\(M(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0 e^{-R/R_d}\,R\,dR\)Resolviendo la integral se obtiene
\(M(<r)=2\pi\Sigma_0R_d^2\left[1-e^{-r/R_d}\left(1+\frac{r}{R_d}\right)\right]\)Esta es la fórmula fundamental disco-masa.
Componente 1 – El disco estelar delgado
El disco delgado es la parte brillante, plana y de formación estelar de la Vía Láctea. Contiene estrellas jóvenes, muchas estrellas similares al Sol, brazos espirales, gas, polvo y regiones activas de formación estelar.
Para el disco fino, utilizamos
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thin}}=2.50\,\mathrm{kpc}\)Desde:
\(1\,\mathrm{kpc}^2=10^6\,\mathrm{pc}^2\)nos convertimos:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thin}}=896\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)La masa del disco delgado dentro del radio r es:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=2\pi(896\times10^6)(2.50)^2\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]\)Por lo tanto:
\(M_{\mathrm{thin}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]M_\odot\)En radios muy grandes:
\(M_{\mathrm{thin,total}}\simeq3.52\times10^{10}M_\odot\)Componente 2 – El disco estelar grueso
El disco grueso es más antiguo y está más extendido verticalmente. Contiene estrellas más antiguas que se desplazan más lejos por encima y por debajo del plano galáctico.
Para el disco grueso, utilizamos
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\,M_\odot\,\mathrm{pc}^{-2}\) \(R_{d,\mathrm{thick}}=3.02\,\mathrm{kpc}\)Conversión de la densidad superficial:
\(\Sigma_{0,\mathrm{thick}}=183\times10^6\,M_\odot\,\mathrm{kpc}^{-2}\)La masa del disco grueso dentro del radio r es:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=2\pi(183\times10^6)(3.02)^2\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Por lo tanto:
\(M_{\mathrm{thick}}(<r)=1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]M_\odot\)En radios muy grandes:
\(M_{\mathrm{thick,total}}\simeq1.05\times10^{10}M_\odot\)Masa total del disco estelar
Añadir los discos finos y gruesos:
\(M_{mathrm{disco,estrellas}(<r)=M_{mathrm{delgado}(<r)+M_{mathrm{grueso}(<r)\)Entonces:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)La masa total del disco estelar es
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)=3.52\times10^{10}+1.05\times10^{10}\) \(M_{\mathrm{disk,stars}}(\infty)\simeq4.57\times10^{10}M_\odot\)Así pues, el disco estelar visible de la Vía Láctea contiene unos 45.700 millones de masas solares.
Añadir el disco de gas
El disco de la Vía Láctea también contiene gas visible. Los dos principales componentes del gas son el hidrógeno atómico, HI, y el hidrógeno molecular, H₂.
El gas no se modela como un simple disco exponencial porque tiene una depresión central. Una forma útil es:
\(\Sigma_{\mathrm{gas}}(r)=\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{r}-\frac{r}{R_d}\right)\)- Rm es la escala del agujero central.
- Rd es la longitud de escala radial.
La masa dentro del radio r es
\(M_{\mathrm{gas}}(<r)=2\pi\int_0^r\Sigma_0\exp\left(-\frac{R_m}{R}-\frac{R}{R_d}\right)R\,dR\)Gas hidrógeno atómico: HI
Para el hidrógeno atómico:
\(R_{d,\mathrm{HI}}=7.0\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{HI}}=4.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{HI,total}}\simeq1.1\times10^{10}M_\odot\)Una ecuación normalizada es:
\(M_{\mathrm{HI}}(<r)=1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}M_\odot\)Esto da la fracción de la masa total de gas HI contenida dentro del radio r.
Gas hidrógeno molecular: H₂
Para el hidrógeno molecular:
\(R_{d,\mathrm{H_2}}=1.5\,\mathrm{kpc}\) \(R_{m,\mathrm{H_2}}=12.0\,\mathrm{kpc}\) \(M_{\mathrm{H_2,total}}\simeq1.2\times10^9M_\odot\)La ecuación de masa normalizada es
\(M_{\mathrm{H_2}}(<r)=1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}M_\odot\)Ecuación completa del disco visible
La ecuación completa del disco visible es:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}(<r)+M_{\mathrm{thick}}(<r)+M_{\mathrm{HI}}(<r)+M_{\mathrm{H_2}}(<r)\)Escrito totalmente:
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]+1.1\times10^{10}\frac{\int_0^r e^{-4/R-R/7}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-4/R-R/7}R\,dR}+1.2\times10^9\frac{\int_0^r e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}{\int_0^\infty e^{-12/R-R/1.5}R\,dR}\)- r y R están en kpc.
- M está en M⊙.
Esta ecuación da la masa del disco visible de la Vía Láctea dentro de un radio r.
Masa dinámica a partir de la rotación
La velocidad de rotación observada de la Vía Láctea nos indica cuánta masa se necesita gravitacionalmente.
Para movimientos circulares:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)- vc(r) es la velocidad circular en el radio r.
- G es la constante gravitatoria.
En unidades prácticas:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=2.325\times10^5\left(\frac{v_c(r)}{\mathrm{km/s}}\right)^2\left(\frac{r}{\mathrm{kpc}}\right)M_\odot\)Si la velocidad de rotación es aproximadamente plana:
\(v_c(r)\aprox233\,\mathrm{km/s}\)entonces:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq2.325\times10^5(233)^2r\,M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<r)\simeq1.26\times10^{10}r\,M_\odot\)con r en kpc.
Esto significa que si la curva de rotación se mantiene casi plana, la masa dinámica crece casi linealmente con el radio.
La ecuación de la masa perdida
La masa faltante es la diferencia entre la masa dinámica y la masa visible:
\(M_{mathrm{falta}(<r)=M_{mathrm{din}(<r)-M_{mathrm{visible}(<r)\)Utilizando la ecuación de rotación:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)En unidades prácticas:
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=2.325\times10^5v_c^2(r)r-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)- vc(r) está en km/s.
- r está en kpc.
- M está en M⊙.
Si nos centramos sólo en el disco visible:
\(M_{{mathrm{missing}}(<r)\simeq2,325\times10^5v_c^2(r)r-M_{{mathrm{disk,visible}}(<r)\)Esta es la ecuación central que conecta la rotación observada de la Vía Láctea con la masa visible de su disco.
Una extensión de la masa desaparecida basada en las ondas
Un modelo de disco explica la masa visible. La masa que falta es la que queda tras comparar esta masa visible con la masa dinámica.
Un modelo basado en ondas puede describir la masa ausente como una densidad efectiva generada por el disco visible.
La idea rectora es que cada elemento de masa visible genera un campo efectivo que disminuye con la distancia.
Sea la distancia entre un punto fuente r′ y un punto de observación r:
\(D=|r-r’|\)Entonces una contribución elemental puede escribirse como:
\(d\rho_{mathrm{onda}(r)=\rho_{{mathrm{visible}(r’)\lambda e^{-D/\ell}\ dV\)- λ es un factor de acoplamiento adimensional.
- ℓ es una longitud de coherencia.
- D es la distancia entre la fuente y el punto de observación.
Esta forma significa que la contribución efectiva disminuye exponencialmente con la distancia:
\(e^{-D/\ell}\)El parámetro ℓ controla hasta dónde se extiende el efecto.
Densidad efectiva de todo el disco
Para un disco, la densidad efectiva total en un punto (R,z) puede escribirse como una convolución del disco visible con un núcleo exponencial.
El disco fuente tiene densidad superficial:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)Un punto de la fuente del disco está situado en el radio R′ y el ángulo φ.
La distancia desde ese punto fuente a un punto de observación (R,z) es:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)La densidad efectiva es entonces:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)con:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Esta ecuación dice que cada anillo de masa visible contribuye a la densidad efectiva en (R,z), con una fuerza que decae como e-D/ℓ.
Interpretación anillo por anillo
El disco puede entenderse de nuevo a través de anillos.
Un anillo visible de radio R′ tiene masa:
\(dM_{\mathrm{visible}}=2\pi R’\Sigma(R’)\,dR’\)En la extensión basada en ondas, ese anillo contribuye a la densidad efectiva a su alrededor.
La contribución es más fuerte cerca del anillo y disminuye con la distancia:
\(e^{-D/\ell}\)Así pues, la densidad efectiva no se inserta a mano como un halo esférico. Se genera a partir de la geometría del propio disco.
A distancias cortas, sigue la geometría del disco. A distancias mayores, tras integrarse en muchos anillos, la distribución efectiva puede hacerse más suave y extendida.
Fórmula compacta para la densidad efectiva basada en las ondas
Utilizando el disco exponencial:
\(\Sigma(R’)=\Sigma_0e^{-R’/R_d}\)se puede escribir la densidad efectiva esquemáticamente como:
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda\Sigma_0}{\ell}\int_0^\infty R’e^{-R’/R_d}\left[\int_0^{2\pi}e^{-\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}/\ell}\,d\phi\right]dR’\)Esta es la forma general más limpia. Mantiene la geometría real del disco:
- R′ es el radio del anillo fuente.
- R es el radio de observación en el plano galáctico.
- z es la altura por encima o por debajo del plano galáctico.
- φ es el ángulo alrededor del anillo fuente.
De la densidad efectiva a la masa efectiva
Una vez conocida la densidad efectiva, la masa efectiva correspondiente dentro del radio r puede escribirse como:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_{V(r)}\rho_{\mathrm{wave}}(\mathbf{x})\,d^3x\)En coordenadas esféricas:
\(M_{\mathrm{wave}}(<r)=\int_0^r\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\rho_{\mathrm{wave}}(s,\theta,\phi)s^2\sin\theta\,d\phi\,d\theta\,ds\)Esta masa efectiva puede entonces compararse con la masa desaparecida observada:
\(M_{mathrm{onda}(<r)\aprox M_{{mathrm{falta}(<r)\)Eso da una condición comprobable.
La limitación física clave
Las curvas de rotación galáctica planas requieren aproximadamente:
\(v_c(r)\approx\mathrm{constante}\)Si vc(r) es aproximadamente constante, entonces:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2}{G}\)entonces:
\(M_{{mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)Esta es la razón esencial por la que aparece la masa faltante.
La masa del disco visible no crece linealmente para siempre. Se aproxima a una masa total finita:
\(M_{mathrm{disco,visible}(<r)\rightarrow M_{mathrm{disco,visible}(\infty)\)Pero la masa dinámica deducida de una curva de rotación plana sigue creciendo:
\(M_{{mathrm{dyn}}(<r)\propto r\)Por lo tanto:
\(M_{mathrm{falta}(<r)=M_{mathrm{din}(<r)-M_{mathrm{visible}(<r)\)también crece con el radio.
Ejemplo numérico sencillo en el radio del Sol
El Sol está situado a unos:
\(R_0\simeq8.2\,\mathrm{kpc}\)Utilizando la ecuación del disco estelar:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/2.50}\left(1+\frac{8.2}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-8.2/3.02}\left(1+\frac{8.2}{3.02}\right)\right]\)Esto da aproximadamente:
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<8.2\,\mathrm{kpc})\approx3.7\times10^{10}M_\odot\)Si la velocidad circular es
\(v_c\simeq233\,\mathrm{km/s}\)entonces la masa dinámica dentro de 8,2 kpc es:
\(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)=2.325\times10^5(233)^2(8.2)M_\odot\) \(M_{\mathrm{dyn}}(<8.2)\approx1.03\times10^{11}M_\odot\)La diferencia muestra por qué la masa visible por sí sola no puede explicar la rotación observada.
Qué incluye y qué no incluye este modelo
| Componente | ¿Incluido en la ecuación del disco? |
|---|---|
| Disco estelar delgado | Sí |
| Disco estelar grueso | Sí |
| Hidrógeno atómico gaseoso, HI | Sí |
| Hidrógeno molecular gaseoso, H₂ | Sí |
| Protuberancia central/barra | No |
| Halo estelar | No |
| Halo de materia oscura | No |
| Masa efectiva basada en ondas | Ampliación opcional |
Las ecuaciones anteriores se centran en el disco.
Un modelo completo de la masa de la Vía Láctea también incluiría:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{disk}}+M_{\mathrm{bulge}}+M_{\mathrm{stellar\,halo}}+M_{\mathrm{missing}}\)o, en una formulación basada en ondas:
\(M_{\mathrm{total}}=M_{\mathrm{visible}}+M_{\mathrm{wave}}\)Resumen final de las ecuaciones principales
Disco estelar visible
\(M_{\mathrm{disk,stars}}(<r)=3.52\times10^{10}\left[1-e^{-r/2.50}\left(1+\frac{r}{2.50}\right)\right]+1.05\times10^{10}\left[1-e^{-r/3.02}\left(1+\frac{r}{3.02}\right)\right]\)Disco visible completo
\(M_{\mathrm{disk,visible}}(<r)=M_{\mathrm{thin}}+M_{\mathrm{thick}}+M_{\mathrm{HI}}+M_{\mathrm{H_2}}\)Masa dinámica
\(M_{\mathrm{dyn}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}\)Masa faltante
\(M_{\mathrm{missing}}(<r)=\frac{r\,v_c^2(r)}{G}-M_{\mathrm{visible}}(<r)\)Masa anular
\(dM=2\pi r\Sigma(r)\,dr\)Disco exponencial
\(\Sigma(r)=\Sigma_0e^{-r/R_d}\)Densidad efectiva basada en las ondas
\(\rho_{\mathrm{wave}}(R,z)=\frac{\lambda}{\ell}\int_0^\infty\int_0^{2\pi}\Sigma(R’)e^{-D/\ell}R’\,d\phi\,dR’\)con:
\(D=\sqrt{R^2+R’^2-2RR’\cos\phi+z^2}\)Glosario
Centro galáctico
La región central de la Vía Láctea.
Radio r
Distancia desde el centro galáctico, medida normalmente en kiloparsecs.
Kiloparsec, kpc
Unidad de distancia galáctica. Un kpc equivale a unos 3.260 años-luz.
Masa solar, M⊙
La masa del Sol.
Densidad superficial, Σ(r)
Masa por unidad de superficie del disco galáctico.
Disco delgado
La parte plana, brillante y con formación estelar de la Vía Láctea.
Disco grueso
Un componente estelar más antiguo y extendido verticalmente.
HI
Gas de hidrógeno atómico.
H₂
Hidrógeno molecular gaseoso.
Masa dinámica
La masa necesaria para explicar la velocidad de rotación observada.
Masa desaparecida
La diferencia entre la masa dinámica y la masa visible.
Longitud de coherencia, ℓ
En la extensión basada en ondas, la escala de distancia a lo largo de la cual disminuye la contribución efectiva.
Factor de acoplamiento, λ
Un parámetro adimensional que controla la fuerza de la contribución efectiva de las ondas.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la ecuación más importante?
La ecuación más importante del disco visible es Mdisk,visible(<r)=Mthin+Mthick+MHI+MH₂. La ecuación más importante de la masa faltante es Mmissing(<r)=rvc²(r)/G-Mvisible(<r).
¿Por qué utilizamos anillos?
Porque el disco de la Vía Láctea es plano. Un disco se construye naturalmente a partir de anillos circulares, por lo que la masa anular es dM=2πrΣ(r)dr.
¿Por qué la masa visible deja de crecer rápidamente?
Porque la densidad del disco disminuye exponencialmente. A radios grandes, cada vez hay menos materia visible.
¿Por qué aparece la masa desaparecida?
Porque la curva de rotación observada permanece casi plana a grandes distancias. Una curva de rotación plana implica que la masa dinámica crece de forma aproximadamente lineal con el radio, mientras que la masa visible del disco no lo hace.
¿Prueba esta página un modelo específico de materia oscura?
No. Las ecuaciones del disco describen la materia visible. La ecuación de la masa ausente muestra el desfase entre la masa visible y la masa dinámica. La parte basada en las ondas es un modelo adicional que puede contrastarse con la curva de rotación observada.
Notas de accesibilidad
Texto alternativo sugerido para la imagen:
- Imagen 1: «Diagrama de arriba abajo del disco de la Vía Láctea dividido en anillos circulares alrededor del Centro Galáctico».
- Imagen 2: «Vista lateral de la Vía Láctea que muestra un disco delgado rodeado por un disco estelar más grueso».
- Imagen 3: «Gráfico de la masa visible del disco y de la masa dinámica que aumenta con la distancia al centro galáctico».
- Imagen 4: «Ilustración de un campo exponencial que disminuye con la distancia a un elemento de masa visible».