BeeTheory – Fundamentos – Nota técnica X
Anatomía de los residuos:
Una tendencia lineal con el tamaño del disco
La prueba ciega de 94 galaxias de la nota IX mostró una tendencia residual sistemática con el tamaño del disco. Esta nota caracteriza cuantitativamente esa tendencia, aísla las mayores desviaciones a cada lado e identifica el origen estructural de la dispersión.
1. El resultado primero
Un residuo lineal, dos poblaciones opuestas
El error de predicción escala linealmente con la longitud de escala del disco: $\text{error},(\%) \aprox -31,7 + 12,8\,R_d$, con una correlación de Pearson $r = +0,75$. La línea cruza el cero en $R_d = 2,48$ kpc, esencialmente el tamaño del disco de la Vía Láctea que ancló la calibración. Los dos extremos de esta regresión corresponden a dos poblaciones atípicas físicamente distintas: grandes espirales masivas (sobrepredichas) en un extremo, enanas compactas (infrapredichas) en el otro.
2. El residuo es lineal en $R_d$
El trazado del error de predicción frente a $R_d$, con cada punto coloreado según el tipo de Hubble, hace inmediatamente visible la linealidad de la tendencia. La línea roja es la regresión lineal del error en $R_d$ sobre las 94 galaxias ciegas.
Error en función del tamaño del disco
$$\text{error},(\%) \;\approx\; -31,7 \;+\; 12,8 \times R_d \,[\text{kpc}]$$
Ajuste lineal en 94 galaxias ciegas, Pearson $r = +0,75$, RMSE de los residuos $= 18,4\%$.
Comparación de formas funcionales
Se compararon varias parametrizaciones alternativas. La forma lineal es estadísticamente indistinguible de las alternativas logarítmica y de raíz cuadrada:
| Modelo | Pearson $r$ | RMSE | Comentario |
|---|---|---|---|
| $\text{err} = a + b\,R_d$ (lineal) | $+0.749$ | $18.4\%$ | Forma analítica más limpia |
| $\text{err} = a + b\,\log_{10}R_d$ | $+0.748$ | $18.4\%$ | Estadísticamente equivalente |
| $\text{err} = a + b\,\sqrt{R_d}$ | $+0.768$ | $17.7\%$ | Marginalmente mejor, sin ganancia real |
| $\text{err} = a + b\,R_d + c\,R_d^2$ | – | $17.8\%$ | Término cuadrático muy pequeño ($c \aprox -1,1$) |
Por lo tanto, se adopta la forma lineal como la descripción fiel más sencilla de los datos.
Distribución del tipo de Hubble a lo largo de la línea
| Clase Hubble | $N$ | Mediana $R_d$ (kpc) | Error medio | Posición |
|---|---|---|---|---|
| S0-Sa (tipo temprano) | 4 | 2.9 | $+0.0\%$ | Centro, cerca del paso por cero |
| Sb-Sbc (intermedio) | 23 | 3.2 | $+3.9\%$ | A la derecha del centro; cola en la región de sobrepredicción |
| Sc-Scd (espiral tardía) | 27 | 2.5 | $+7.7\%$ | Repartidos por el diagrama |
| Sd-Im (enana / irregular) | 40 | 1.6 | $-3.2\%$ | Lado izquierdo; cola en la región infrapredicada |
El patrón de color de la figura no es una firma independiente de la tendencia lineal: es la misma firma vista a través del eje de morfología. La secuencia de Hubble en las galaxias de disco se correlaciona con el tamaño del disco: las enanas tardías son predominantemente compactas, las espirales intermedias son predominantemente grandes. Por tanto, cada color se sitúa en un tramo diferente de la línea de regresión, con Sd-Im a la izquierda, Sc-Scd en el centro y Sb-Sbc a la derecha.
Un residuo estructural, no ruido aleatorio
Una dispersión que depende linealmente de un único parámetro físico, y que cruza el cero en el punto de calibración, es la firma de una constante aditiva ausente en una de las relaciones del modelo, no de una dispersión observacional aleatoria. La desviación es corregible: puede ser absorbida por un único grado de libertad adicional en la ley de coherencia-longitud.
3. Las diez galaxias más sobreestimadas
Estas son las galaxias para las que BeeTheory predice una velocidad de rotación plana superior a la observada. Ordenadas por el tamaño del residuo:
| Galaxia | Tipo Hubble | $R_d$ (kpc) | $M_\star/10^{10}$ | $f_\text{gas}$ | $\Sigma_d$ | $V_f$ | $V_\text{tot}$ | Error |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| UGC00128 | Sd-Im | 7.50 | 1.06 | 0.39 | 60 | 135 | 243 | +80.0% |
| NGC0801 | Sb-Sbc | 5.80 | 2.01 | 0.32 | 190 | 208 | 326 | +56.6% |
| NGC2955 | Sb-Sbc | 5.50 | 3.99 | 0.23 | 420 | 266 | 406 | +52.7% |
| UGC02885 | Sc-Scd | 8.50 | 3.40 | 0.41 | 150 | 290 | 441 | +52.0% |
| NGC0925 | Sc-Scd | 3.10 | 0.22 | 0.75 | 72 | 105 | 155 | +48.0% |
| NGC6195 | Sb-Sbc | 5.20 | 3.40 | 0.26 | 400 | 260 | 380 | +46.3% |
| NGC6674 | Sb-Sbc | 5.50 | 3.33 | 0.29 | 350 | 260 | 380 | +46.2% |
| NGC5033 | Sb-Sbc | 4.50 | 1.27 | 0.46 | 200 | 195 | 280 | +43.7% |
| UGC02487 | S0-Sa | 7.50 | 5.30 | 0.23 | 300 | 330 | 465 | +40.8% |
| NGC6503 | Sc-Scd | 2.40 | 0.38 | 0.55 | 210 | 121 | 168 | +38.9% |
| Propiedad | Valor medio | Gama | Comparación |
|---|---|---|---|
| $R_d$ | 4,5 kpc | 2.4 – 8.5 | $2\times$ mayor que la mediana |
| $M_\star$ | $1.3 \times 10^{10}\,M_\\odot$ | 2,2 \times 10^{9}$ – 5,3 \times 10^{10}$ | $8\times$ más masivo |
| $f_\text{gas}$ | $0.41$ | $0.23$ – $0.87$ | Por debajo de la mediana (0,64) |
| Hubble $T$ | $5$ (Sbc) | $1$ – $8$ | Concentrado en espirales intermedias |
| $V_f$ | 195$ km/s | $69$ – $330$ | Los rotadores más rápidos de la muestra |
Perfil del grupo de las sobrepredicadas
Espirales grandes, masivas y de tipo intermedio. Estas galaxias se sitúan en el lado derecho de la línea de regresión, muy por encima del cruce por cero. La ley de longitud de coherencia del modelo $\ell = c_\text{disk}\,R_d$ produce valores de $\ell$ superiores a 20 kpc en este régimen, generando más masa de campo de ondas de la que requiere la rotación observada.
4. Las diez galaxias con menos predicciones
Estas son las galaxias para las que BeeTheory predice una velocidad de rotación plana inferior a la observada. Ordenadas por el tamaño del residuo:
| Galaxia | Tipo Hubble | $R_d$ (kpc) | $M_\star/10^{10}$ | $f_\text{gas}$ | $\Sigma_d$ | $V_f$ | $V_\text{tot}$ | Error |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| NGC6789 | Sd-Im | 0.30 | 0.01 | 0.53 | 250 | 60 | 22 | -63.0% |
| UGC05764 | Sd-Im | 0.40 | 0.00 | 0.86 | 80 | 57 | 31 | -45.6% |
| UGCA442 | Sd-Im | 1.00 | 0.00 | 0.85 | 15 | 57 | 32 | -44.2% |
| NGC4138 | S0-Sa | 1.30 | 0.13 | 0.33 | 250 | 150 | 85 | -43.6% |
| NGC4389 | Sb-Sbc | 1.20 | 0.07 | 0.37 | 150 | 110 | 62 | -43.4% |
| NGC4085 | Sb-Sbc | 1.20 | 0.09 | 0.42 | 200 | 135 | 79 | -41.1% |
| NGC2915 | Sd-Im | 0.50 | 0.01 | 0.84 | 160 | 85 | 53 | -38.2% |
| NGC2976 | Sb-Sbc | 0.75 | 0.04 | 0.29 | 220 | 80 | 50 | -37.4% |
| NGC4183 | Sc-Scd | 1.60 | 0.03 | 0.81 | 40 | 110 | 70 | -36.3% |
| UGCA281 | Sd-Im | 0.50 | 0.01 | 0.63 | 80 | 40 | 26 | -36.1% |
| Propiedad | Valor medio | Gama | Comparación |
|---|---|---|---|
| $R_d$ | 1,1 kpc | 0.30 – 1.80 | $2\times$ menor que la mediana |
| $M_\star$ | $2.7 \times 10^{8}\,M_\\odot$ | 4 \times 10^{7}$ – 1,3 \times 10^{9}$ | $6\times$ menos masivo |
| $f_\text{gas}$ | $0.58$ | $0.29$ – $0.86$ | Por debajo de la mediana (0,64) |
| Hubble $T$ | $8$ (Sd) | $1$ – $10$ | Concentrado en enanas de tipo tardío |
| $V_f$ | $82$ km/s | $40$ – $150$ | Rotadores lentos |
Perfil del grupo poco predecible
Compactas, enanas de baja masa y pequeñas espirales. Estas galaxias se sitúan en el lado izquierdo de la línea de regresión, muy por debajo del cruce por cero. La ley de longitud de coherencia $\ell = c_\text{disk}\,R_d$ produce $\ell$ del orden de $1$-$3$ kpc en este régimen, posiblemente demasiado corta para recoger toda la extensión del campo de ondas.
5. Comparación lado a lado de los tres grupos
| Propiedad (mediana) | Previsión excesiva (err > +30%, $N = 15$) |
Bien predicho (|err| ≤ 30%, $N = 67$) |
Predicción insuficiente (err < -30%, $N = 12$) |
|---|---|---|---|
| $R_d$ (kpc) | 4.5 | 2.4 | 1.1 |
| $M_\star / 10^{10}$ | 1.27 | 0.15 | 0.027 |
| $M_\texto{gas} / 10^{10}$ | 0.93 | 0.27 | 0.04 |
| $f_\text{gas}$ | 0.41 | 0.64 | 0.58 |
| $\Sigma_d$ | 200 | 140 | 115 |
| Hubble $T$ | 5 (Sbc) | 6 (Sc) | 8 (Sd) |
| $V_f$ (km/s) | 195 | 113 | 82 |
Cada propiedad varía monotónicamente de izquierda a derecha. El grupo sobrepredicho es más grande, más masivo, más dominado por las estrellas y de rotación más rápida; el grupo infrapredicho es más pequeño, más ligero, rico en gas y más lento; la mayoría bien predicha se sitúa entre ambos. La Vía Láctea ($R_d = 2,6$ kpc, $V_f aprox 230$ km/s) cae de forma natural dentro del régimen bien predicho en el que se ancló la calibración.
6. Interpretación
El modelo tiene un único parámetro de acoplamiento $\lambda$ y tres constantes geométricas universales $(c_\text{disk}, c_\text{sph}, c_\text{arm})$. Éstas se determinaron en una galaxia de tamaño intermedio (la Vía Láctea, $R_d = 2,6$ kpc) y se validaron en veintidós galaxias de tamaño similar. La prueba ciega de la Nota IX muestra que generalizan razonablemente bien, pero con un residuo que deriva linealmente con el tamaño del disco.
Una corrección afín es suficiente
La linealidad del residuo en $R_d$ -bien ajustado por una única línea recta que cruza el cero en $R_d = 2,48$ kpc- es la firma de una compensación aditiva ausente en la relación coherencia-longitud. La ley actual $\ell = c_\text{disco}\,R_d$ vincula la longitud de coherencia de onda de forma estrictamente proporcional a la escala del disco. Sustituirla por una relación afín $\ell = c_\text{disk}(R_d – R_0)$, donde $R_0$ es un pequeño desplazamiento de unos 2,5$ kpc, produciría un residuo que desaparece en el punto de calibración y crece linealmente a ambos lados, exactamente el patrón observado.
La mayoría bien predicha es ampliamente representativa
Dos tercios de la muestra caen en la franja bien predicha. Estas 67 galaxias abarcan toda la gama de tipos de Hubble y un factor de $\sim 100$ en masa estelar. El dominio de validez del modelo no es estrecho: cubre la mayor parte de la población SPARC, con desviaciones concentradas en los dos extremos del tamaño del disco, exactamente como produciría un residuo lineal dependiente de $R_d$.
7. Resumen
1. El error de predicción de la prueba ciega de 94 galaxias sigue una tendencia lineal limpia en la longitud de escala del disco: $\text{error}(\%) \approx -31,7 + 12,8\,R_d$, con Pearson $r = +0,75$ y RMSE de los residuos $= 18,4\%$.
2. La regresión lineal cruza el cero en $R_d = 2,48$ kpc, esencialmente el tamaño del disco de la Vía Láctea que ancló la calibración. Los dos extremos de la línea corresponden a dos poblaciones atípicas físicamente distintas.
3. Las 15 galaxias sobrepredichas en más de $+30\%$ son espirales grandes, masivas y de tipo intermedio: mediana $R_d = 4,5$ kpc, $M_\star \aprox 10^{10}\ M_\odot$, $V_f \aprox 200$ km/s.
4. Las 12 galaxias subestimadas en más de un $-30\%$ son enanas compactas de baja masa: mediana $R_d = 1,1$ kpc, $M_\star \aprox 3 \times 10^{8}\,M_\odot$, $V_f \aprox 80$ km/s.
5. La desviación es absorbible mediante una corrección afín de la ley de longitud de coherencia, $\ell = c_\text{disk}(R_d – R_0)$, con $R_0 \aprox 2,5$ kpc – introduciendo una única constante nueva.
Referencias. Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. – SPARC: Modelos de masa para 175 galaxias de disco con fotometría Spitzer y curvas de rotación precisas, AJ 152, 157 (2016). – de Vaucouleurs, G. et al. – Tercer catálogo de referencia de galaxias brillantes, Springer (1991). – McGaugh, S. S. – La tercera ley de la rotación galáctica, Galaxies 2, 601 (2014). – Dutertre, X. – Teoría Bee™: Modelado de la gravedad basado en ondas, v2, BeeTheory.com (2023).
BeeTheory.com – Gravedad cuántica basada en las ondas – Residuos SPARC – © Technoplane S.A.S. 2026