Μαθηματική σύνοψη (άθροισμα κυμάτων e-αr)
1) Προσαρμογή (δύο σωματίδια Α και Β)
Μοντελοποιήστε κάθε σωματίδιο ως μια μονοχρωματική, εντοπισμένη, ισότροπη πηγή ενός σύνθετου κλιμακωτού πεδίου (το “κύμα ύλης”):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)=A\,e^{-\alpha|\mathbf r-\mathbf r_A|}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta|\mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^{-i\omega_2 t} \]
και επικάλυψη:
\[ \Psi(\mathbf r,t)=\psi_A(\mathbf r,t)+\psi_B(\mathbf r,t) \]
Εναλλαγή σε σφαιρικές συντεταγμένες γύρω από το B: γράψτε \(\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) με \(r=|\mathbf s|\ll R\), και ορίστε:
\[ R=|\mathbf r_B-\mathbf r_A|,\quad |\mathbf r-\mathbf r_B|=r,\quad |\mathbf r-\mathbf r_A|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
Για \(r\ll R\):
\[ |\mathbf R-\mathbf s|\approx R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
τόσο κοντά στο B:
\[ \psi_A(\mathbf r,t)\approx A\,e^{-\alpha R}\,e^{+\alpha r\cos\theta}\,e^{-i\omega_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\beta r}\,e^{-i\omega_2 t} \]
Στο σημείο \(B_0\) (δηλ. \(r=0\)), η συνεισφορά του Α είναι:
\[ \psi_A(B_0,t)=A\,e^{-\alpha R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) Ποια κυματική εξίσωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί;
Η σωστή ελεύθερη εξίσωση Schrödinger είναι:
\[ i\hbar\,\partial_t\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\,\nabla^2\Psi \]
Οι στάσιμες καταστάσεις της είναι ταλαντευόμενα επίπεδα/σφαιρικά κύματα- μια περιβάλλουσα \(e^{-\alpha r}\) από μόνη της δεν είναι ακριβής λύση ελεύθερου Schrödinger.
Για να λάβετε εκθετικά προφίλ, χρησιμοποιήστε την εξίσωση Helmholtz ή Poisson:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= -4\pi\,S(\mathbf r)\,e^{-i\omega t} \;\;\Δεξιά \;\, G_\\mu(r)=\frac{e^{-\mu r}}{4\pi r} \]
Για μια σημειακή πηγή:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu|\mathbf r-\mathbf r_A|}}}{|\mathbf r-\mathbf r_A|}}\,e^{-i\omega_1 t} \]
Στο οιονεί στατικό όριο \(\mu\to 0\):
\[ G_0(r)=\frac{1}{4\pi r} \]
3) Αποτελεσματικό δυναμικό και ο νόμος 1/R
Αν το Β συζεύξει με το πεδίο του Α με σύζευξη \(g_B\), η ενέργεια αλληλεπίδρασης είναι:
\[ V_{AB}(R,t)= \frac{g_A g_B}{4\pi}\,\frac{e^{-\mu R}}{R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
Μετά τη μέση τιμή του χρόνου (ή αν \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\propto \frac{e^{-\mu R}}{R} \]
Η αντίστοιχη δύναμη είναι:
\[ \mathbf F(R)=-\frac{g_A g_B}{4\pi}\,e^{-\mu R}\left(\frac{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\right)\hat{\mathbf R} \]
Στο όριο μεγάλης εμβέλειας \(\mu R\ll 1\), αυτό αναπαράγει έναν νόμο 1/R² που μοιάζει με τον νόμο της βαρύτητας.
4) Χρήσιμες ταυτότητες (γρήγορη επικύρωση)
Λαπλασιανή των ακτινικών εκθετικών:
\[ \nabla^2(e^{-\alpha r})= e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right) \]
Ταυτότητα της συνάρτησης του Green:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
Η ιδιομορφία 1/r (και ο νόμος 1/R του μακρινού πεδίου) προέρχεται από τη δομή της συνάρτησης Green \(G(r)\sim 1/r\), όχι από μια απλή \(e^{-\alpha r}\) χωρίς τον παράγοντα \(1/r\).
Σε δύο γραμμές
- Επικαλύψτε τοπικά κύματα: \(\Psi=\psi_A+\psi_B\) με περιβάλλουσες \(e^{-\alpha r}\).
- Για να προκύψει ένα δυναμικό \(\sim 1/R\) (και μια δύναμη \(\sim 1/R^2\)), ο μεσολαβητής πρέπει να υπακούει στους κανόνες Poisson/Helmholtz: \(G(r)\sim e^{-\mu r}/r\). Τότε \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}/R\), και για \(\mu\to 0\): \(V\propto 1/R\).
