BeeTheory – Fundamenter – Teknisk note XIII

Inputdata og de tre testkorpora

Metoden i note XII omdanner fem observationsinput til et komplet sæt af geometriske parametre pr. galakse, klar til bølgefeltkonvolutionen. Denne note præsenterer disse parametre eksplicit for de tre testkorpora, der vil blive brugt til at evaluere modellen: Mælkevejen alene, kalibreringssættet med 22 galakser og den blinde prøve med 94 galakser. Hvert trin udvider testen med en størrelsesorden i antallet af galakser.

1. Protokollen i tre trin

Tre korpora, tre roller

Trin 1 – Mælkevejen (1 galakse). Referencepunkt. Fastsætter den globale bølgefeltkobling $\lambda$ fra interne stjerneundersøgelser og 21-cm-kort.

Trin 2 – Kalibreringssæt (22 galakser). De første tyve poster i SPARC-kataloget plus tre ekstreme tilfælde (tæt, klassisk spiral, gasrig). Modellen anvendes med $\lambda$ fastfrosset fra trin 1, hvilket giver mulighed for en global re-kalibrering, hvis det er nødvendigt.

Trin 3 – Blindtest (94 galakser). Alle parametre er fastfrosset fra trin 2. Ingen yderligere justering. Rotationskurverne for de resterende SPARC-galakser er rene forudsigelser.

2. Universelle teoriparametre (identiske for alle tre korpora)

Fem tal, der fastsættes én gang for alle galakser af alle størrelser og typer. De definerer bølgekernen og den globale kobling. De vil ikke variere på tværs af de tre trin.

Parameter	Symbol	Værdi	Rolle
Bølgemassens amplitude	$K_0$	$0.3759$	Indstiller den dimensionsløse skala for bølgekernen
3D-kohærensforhold	$c_\tekst{sph}$	$0.41$	$\ell_b / r_b$ for udbulingen
2D-kohærensforhold	$c_\tekst{disk}$	$3.17$	$\ell / R_\text{scale}$ for skiver og gasring
Spiral kohærensforhold	$c_\tekst{arm}$	$2.0$	$\ell_\tekst{arm} / R_d$ for spiralarme
Stjernernes masse-til-lys-forhold	$\Upsilon_\stjerne$	$0.5\,M_\odot/L_\odot$	Spitzer 3,6 µm (McGaugh 2014)

3. Trin 1 – Mælkevejen

3.1 Observationsinput

Mængde	Værdi	Kilde
Hubble-type $T$	4 (Sbc)	de Vaucouleurs et al. 1991
Diskens skalalængde $R_d$	2,6$ kpc	Bovy & Rix 2013
Samlet stjernemasse $M_\star$.	$4.0 \times 10^{10}\,M_\odot$	Fotometriske undersøgelser (Bland-Hawthorn & Gerhard 2016)
Samlet gasmasse $M_\text{gas}$ (HI + He)	$1.06 \times 10^{10}\,M_\odot$	21-cm kort
Observeret flad hastighed $V_f$.	$\ca. 230$ km/s ved $R_\odot$	Gaia DR3 (Ou et al. 2024)

3.2 Udledte geometriske parametre pr. komponent

Komponent	Masse ($10^{10}\,M_\odot$)	Rumlig skala	Kohærenslængde $\ell$	Profil
Bulge ($T \leq 4$ → aktiveret)	1.240	$r_b$ = 0,61 kpc	$\ell_b$ = 0,25 kpc	3D Hernquist
Tynd disk	2.070	$R_d$ = 2,60 kpc	$\ell_\text{thin}$ = 8,24 kpc	2D eksponentiel
Tyk disk	0.690	$1.5\,R_d$ = 3.90 kpc	$\ell_\text{thick}$ = 12,36 kpc	2D eksponentiel
Gasring	1.060	$R_g$ = 4,42 kpc	$\ell_\text{gas}$ = 14,01 kpc	2D-eksp. med hul
Spiralformede arme	0.2070	$R_d$ = 2,60 kpc	$\ell_\text{arm}$ = 5,20 kpc	2D azimutal

Bemærk om Mælkevejens input: Mælkevejen bruger direkte observationsnedbrydninger (Bland-Hawthorn & Gerhard 2016) i stedet for den fotometriske formel $M_star = 2pi R_d^2,Sigma_d,Upsilon_star$, der bruges til SPARC-galakser. Det skyldes, at Mælkevejen observeres indefra, og dens massekomponenter måles ved at kombinere stjerneundersøgelser, mikrolinse og dynamik snarere end ved en enkelt integreret luminositet. Nedbrydningen i komponenter og bølgefeltligningerne er ellers identiske.

4. Trin 2 – Toogtyve kalibreringsgalakser

De første tyve poster i SPARC-kataloget (Lelli et al. 2016), suppleret med tre ekstreme tilfælde, der tester modellens grænser: NGC 2841 (massiv tæt tidlig type), NGC 3198 (klassisk grand-design spiral), DDO 154 (gasdomineret dværg).

For hver galakse tages de fem observationsinput $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, V_f)$ fra SPARC. Ud fra disse beregnes masserne og kohærenslængderne for de fem komponenter ved hjælp af formlerne i note XII. Tabellen nedenfor viser alle afledte størrelser.

Galaksen	Type	$R_d$ (kpc)	$\Sigma_d$ ($L_\odot/$pc$^2$)	$M_\tekst{gas}$ $(10^{10})$	$M_\star$ $(10^{10})$	$f_\tekst{gas}$	$M_b$ $(10^{10})$	$r_b$ (kpc)	$M_\tekst{tynd}$ $(10^{10})$	$M_\tekst{tykkelse}$ $(10^{10})$	$\ell_\tekst{tynd}$ (kpc)	$\ell_\tekst{gas}$ (kpc)
CamB	Im	0.47	66	0.002	0.005	0.32	–	–	0.003	0.001	1.49	2.53
D631-7	Im	0.70	115	0.051	0.018	0.74	–	–	0.013	0.004	2.22	3.77
DDO064	Im	0.33	120	0.023	0.004	0.85	–	–	0.003	0.001	1.05	1.78
DDO154	Im (gas)	0.60	45	0.063	0.005	0.92	–	–	0.004	0.001	1.90	3.23
DDO161	Im	1.10	35	0.109	0.013	0.89	–	–	0.010	0.003	3.49	5.93
DDO168	Im	0.69	100	0.028	0.015	0.65	–	–	0.011	0.004	2.19	3.72
DDO170	Im	1.10	25	0.051	0.010	0.84	–	–	0.007	0.002	3.49	5.93
ESO116-G012	Sd	2.10	115	0.160	0.159	0.50	–	–	0.119	0.040	6.66	11.32
ESO444-G084	Im	0.55	60	0.016	0.006	0.74	–	–	0.004	0.001	1.74	2.96
F561-1	Im	2.50	30	0.120	0.059	0.67	–	–	0.044	0.015	7.92	13.47
F563-1	Im	2.70	20	0.160	0.046	0.78	–	–	0.034	0.011	8.56	14.55
F563-V1	Im	1.20	25	0.040	0.011	0.78	–	–	0.008	0.003	3.80	6.47
F563-V2	Im	1.10	30	0.047	0.011	0.80	–	–	0.009	0.003	3.49	5.93
F565-V2	Im	1.00	18	0.027	0.006	0.82	–	–	0.004	0.001	3.17	5.39
F567-2	Im	1.80	15	0.080	0.015	0.84	–	–	0.011	0.004	5.71	9.70
F568-1	Sd	3.20	40	0.239	0.129	0.65	–	–	0.097	0.032	10.14	17.24
F568-3	Sd	3.00	35	0.200	0.099	0.67	–	–	0.074	0.025	9.51	16.17
F568-V1	Im	2.10	20	0.106	0.028	0.79	–	–	0.021	0.007	6.66	11.32
F571-8	Sd	4.50	50	0.293	0.318	0.48	–	–	0.239	0.080	14.27	24.25
F574-1	Sd	3.60	30	0.253	0.122	0.67	–	–	0.092	0.031	11.41	19.40
NGC2841	Sb	3.50	605	1.104	2.328	0.32	0.466	1.75	1.397	0.466	11.09	18.86
NGC3198	Sc	3.14	153	1.144	0.474	0.71	–	–	0.355	0.118	9.95	16.92

Alle 22 galakser i kalibreringssættet. Bulge-masser og -radier vises kun for $T \leq 4$ (de sidste to rækker, NGC 2841 og NGC 3198). Kohærenslængderne $\ell_\text{thick} = 1,5\,\ell_\text{thin}$ og $\ell_\text{arm} = (2,0/3,17)\,\ell_\text{thin}$ er udeladt fra tabellen for at holde den kompakt.

Dækning af parameterrummet

De 22 kalibreringsgalakser spænder over $R_d$ fra $0,33$ til $4,5$ kpc (faktor 14), $Sigma_d$ fra 15 til 605 $L_odot/tekst{pc}^2$ (faktor 40) og stjernemasse fra $4 gange 10^7$ til $2,3 gange 10^{10},M_odot$ (faktor 500). Mælkevejen ($R_d = 2,6$ kpc, $M_star = 4 gange 10^{10}$) befinder sig i den øverste massive ende af intervallet, hvilket gør den til et stringent kalibreringsanker for dværgene, der dominerer prøven.

5. Trin 3 – Blindtest på 94 SPARC-galakser

Blindtestsættet består af 94 galakser fra SPARC-kataloget, som er adskilt fra de 22 kalibreringsgalakser. De spænder over hele spektret af skivegalakser – fra kompakte dværge til kæmpespiraler – og blev aldrig brugt til at kalibrere nogen af parametrene.

For at gøre det kort vises kun tolv repræsentative galakser i tabellen nedenfor. Den fulde liste over 94 findes i Appendiks A.

Galaksen	Type	$R_d$ (kpc)	$\Sigma_d$	$M_\tekst{gas}$ $(10^{10})$	$M_\star$ $(10^{10})$	$f_\tekst{gas}$	$M_b$ $(10^{10})$	$r_b$ (kpc)	$M_\tekst{tynd}$ $(10^{10})$	$M_\tekst{tykkelse}$ $(10^{10})$	$\ell_\tekst{tynd}$ (kpc)	$\ell_\tekst{gas}$ (kpc)
F583-1	Im	1.80	22	0.093	0.022	0.81	–	–	0.017	0.006	5.71	9.70
IC2574	Sm	2.80	18	0.293	0.044	0.87	–	–	0.033	0.011	8.88	15.09
M33	Sc	1.40	190	0.146	0.117	0.56	–	–	0.088	0.029	4.44	7.54
NGC0801	Sc	5.80	190	0.931	2.008	0.32	–	–	1.506	0.502	18.39	31.26
NGC2403	Sc	1.80	186	0.279	0.189	0.60	–	–	0.142	0.047	5.71	9.70
NGC3521	Sbc	2.80	327	1.144	0.805	0.59	0.161	1.40	0.483	0.161	8.88	15.09
NGC5055	Sbc	3.50	250	0.998	0.962	0.51	0.192	1.75	0.577	0.192	11.09	18.86
UGC02885	Sc	8.50	150	2.394	3.405	0.41	–	–	2.554	0.851	26.95	45.81
UGC11455	Sc	5.50	40	1.064	0.380	0.74	–	–	0.285	0.095	17.43	29.64
NGC6503	Sc	2.40	210	0.466	0.380	0.55	–	–	0.285	0.095	7.61	12.93
NGC2915	Im	0.50	160	0.064	0.013	0.84	–	–	0.009	0.003	1.58	2.69
UGC02487	S0	7.50	300	1.596	5.301	0.23	1.060	3.75	3.181	1.060	23.77	40.42

Repræsentativ delmængde (12 ud af 94 blinde galakser). Den komplette liste spænder over Hubble-typerne S0-Im og inkluderer de mest massive observerede skivegalakser (UGC 02885, UGC 11455) samt ultrakompakte dværge (NGC 6789, UGC 05764).

Testområde

De 94 blinde galakser udvider parameterområdet langt ud over kalibreringssættet. $R_d$ varierer fra $0,30$ til $8,50$ kpc, overfladetætheden fra $12$ til $605$ $L_\odot/\text{pc}^2$, og den observerede flade hastighed fra $17$ til $330$ km/s. Mælkevejens kalibreringsanker ved $R_d = 2,6$ kpc ligger nogenlunde på den geometriske median af denne fordeling.

6. Strukturen i de tre korpora – sammenlignende oversigt

Ejendom	Trin 1 – Mælkevejen	Trin 2 – 22 kalibreringsgalakser	Trin 3 – 94 blinde galakser
Antal galakser	1	22	94
Rolle	Anker	Kalibrering / global tilpasning af $\lambda$.	Forudsigelse
$R_d$ interval	2,6 kpc (fast)	$0,33$ – $4,5$ kpc	$0.30$ – $8.5$ kpc
$\Sigma_d$ interval	(direkte masser)	15 – 605 $L_\odot/\text{pc}^2$.	12 – 605 $L_\odot/\text{pc}^2$.
$M_\star$ rækkevidde	$4 \times 10^{10}\,M_\odot$	$4 \times 10^7$ – $2.3 \times 10^{10}$	$3 \times 10^7$ – $5.3 \times 10^{10}$
$V_f$ interval	230 km/s	2 – 278 km/s	17 – 330 km/s
Dækkede Hubble-typer	Sbc	S0a, Sb, Sc, Sd, Im	S0, Sa, Sb, Sbc, Sc, Sd, Im, Sm
Udbulinger aktiveret ($T \leq 4$)	Ja	2 af 22	$\sim$30 af 94
Hvad er monteret	$\lambda$ (global kobling)	$\lambda$ kan tilpasses globalt	Intet – helt blind

7. Hvad denne note fastslår

Inputs fuldt specificeret før enhver beregning

For hver af de 117 galakser (1 + 22 + 94) er de fem observationsinput $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, \Upsilon_\star)$ og den resulterende geometriske nedbrydning fastlagt, før bølgefeltberegningen begynder. Bølgefeltligningerne i note XII fungerer på disse input uden nogen galaksespecifik indstilling ud over de universelle parametre $(K_0, c_\text{sph}, c_\text{disk}, c_\text{arm}, \lambda)$.

En gradueret test af generalisering

De tre trin danner en naturlig kaskade af stigende sværhedsgrad i testen. Trin 1 fastslår, at rammen kan beskrive Mælkevejen ved hjælp af dens observerede baryoniske indhold. Trin 2 verificerer, at kalibreringen kan generaliseres til en lille heterogen stikprøve, herunder ekstreme tilfælde. Trin 3 placerer rammen i en ægte forudsigelsestilstand uden yderligere parameterjustering på en prøve, der er stor nok til, at reststatistikken er meningsfuld.

Ensrettet hele vejen igennem

På hvert trin beregnes rotationskurven ud fra de baryoniske input, aldrig omvendt. Sammenligningen med observationer er en test, ikke et kalibreringsloop. Det enkelte tal $lambda$ fastsættes én gang for Mælkevejen (trin 1), raffineres muligvis globalt for de 22 kalibreringsgalakser (trin 2) og fastfryses derefter til den blinde forudsigelse for de 94 resterende galakser (trin 3).

8. Sammenfatning

1. BeeTheory-rammen vil blive anvendt i tre på hinanden følgende trin: 1 galakse (Mælkevejen), så 22 (kalibrering), så 94 (blind).

2. For hver galakse producerer de fem observationsinput $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, \Upsilon_\star)$ en fem-komponent nedbrydning med eksplicitte masser, skalaer og kohærenslængder, beregnet en gang via formlerne i note XII.

3. De fem universelle teoriparametre $(K_0, c_\text{sph}, c_\text{disk}, c_\text{arm}, \Upsilon_\star)$ gælder identisk for alle 117 galakser. Den globale kobling $\lambda$ tilpasses senest i trin 2 og fastfryses til trin 3.

4. Kalibreringssættet dækker en faktor på 14 i $R_d$, 40 i $\Sigma_d$ og 500 i $M_\star$. Blindsættet udvider disse områder yderligere. Mælkevejens anker ligger inden for begge.

5. Hvert trin er en test af modellens generalisering. Det blinde trin er rent forudsigeligt: Ingen information om rotationskurver fra de 94 galakser indgår i beregningen på noget tidspunkt.

Referencer. Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. – SPARC: Mass Models for 175 Disk Galaxies with Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves, AJ 152, 157 (2016). Kilde i kataloget. – Bland-Hawthorn, J., Gerhard, O. – The Galaxy in Context, ARA&A 54, 529 (2016). Mælkevejens strukturelle parametre. – Bovy, J., Rix, H.-W. – A direct dynamical measurement of the Milky Way’s disk surface density profile, ApJ 779, 115 (2013). – McGaugh, S. S. – The third law of galactic rotation, Galaxies 2, 601 (2014). $\Upsilon_\star$ ved 3,6 µm. – Ou, X. et al – The dark matter profile of the Milky Way, MNRAS 528, 693 (2024). Gaia 2024 rotationskurve. – Dutertre, X. – Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023).