BeeTheory – Fundamenter – Teknisk note IV
Numerisk simulering:
BeeTheory Force mellem to blykugler (Cavendish-opsætning)
To blykugler med en diameter på 5 cm – en kanonisk geometri inspireret af Cavendish-eksperimentet – udgør en makroskopisk testcase for BeeTheory-tyngdekraften. Ved at behandle hver kugle som en enkelt ækvivalent partikel i dens centrum, med amplitude skaleret til det samlede antal atomer, gengiver BeeTheory den inverse kvadratiske skalering af Newtons gravitationslov.
1. Formel, parametre og nøgleresultat
BeeTheory-kraft mellem to makroskopiske kugler
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}{R^2}$$
hvor $N_A, N_B$ er antallet af atomer i hver sfære, og
$K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom})$ er BeeTheory-atomkoblingen.
Hver kugle behandles som en ækvivalent partikel, der er lokaliseret i dens geometriske centrum. Amplituden af dens kollektive bølgefunktion er summen af amplituderne for de $N$ atomer, der udgør kuglen – proportional med det samlede antal atomer og derfor med den samlede masse. Kraften mellem de to ækvivalente partikler følger direkte af resultatet for to atomer i den foregående note, hvor forstærkningen $N_A gange N_B$ afspejler det kollektive bølgefelt for hver sfære.
Fysiske parametre
| Parameter | Symbol | Værdi |
|---|---|---|
| Reduceret Planck-konstant | $\hbar$ | $1.0546 \times 10^{-34}$ J-s |
| Atommasse (bly) | $m_\tekst{atom}$ | 3,441 \times 10^{-25}$ kg (= 207,2 u) |
| Atomradius (bly, kovalent) | $a_\tekst{atom}$ | $175 \times 10^{-12}$ m = 175 pm |
| BeeTheory atomkobling | $K_{\text{BT}}$ | $2.771 \times 10^{-34}$ J-m |
| Blytæthed | $\rho_{\tekst{Pb}}$ | $11\,340$ kg/m³ |
Geometri af simuleringen
| Mængde | Værdi |
|---|---|
| Diameter på hver kugle | 5,0 cm |
| Radius for hver kugle | 2,5 cm |
| Masse af hver kugle | 742.2 g |
| Antal atomer pr. kugle $N$. | $2.157 \times 10^{24}$ |
| Referenceafstand fra center til center $R$ | 6,0 cm |
Vigtigt resultat
Invers-kvadratisk lov bekræftet på makroskopisk skala
BeeTheory forudsiger en kraft mellem to makroskopiske blykugler, der skalerer nøjagtigt som $1/R^2$ – den omvendt-kvadratiske lov om gravitation. Forholdet til den newtonske forudsigelse $F_N = G\,M^2/R^2$ er konstant:
$$\frac{F_{\text{BT}}}{F_N} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{G\,m_\text{atom}^2} \;\approx\; 3,5 \times 10^{25}$$
uafhængig af $R$ for denne punktækvivalente model. Den funktionelle form af Newtons lov genfindes identisk; den absolutte amplitude forbliver større end den newtonske værdi med en konstant faktor, der er fastsat af de atomare parametre $(\hbar, m_\text{atom}, a_\text{atom})$.
2. Metode: hver kugle som en tilsvarende partikel
I den forrige tekniske note blev det fastslået, at BeeTheory-bølgemekanismen mellem to elementarpartikler producerer en tiltrækningskraft, der følger Newtons $1/R^2$-struktur. For at udvide dette resultat til makroskopiske objekter bruger vi den enkleste opskrift: Hver kugle er repræsenteret som en ækvivalent partikel lokaliseret i dens centrum, med dens bølgefunktionsamplitude forøget i forhold til det samlede antal atomer, den indeholder.
Forstærkningsfaktor
$$N \;=\; \frac{M_\tekst{kugle}}{m_\tekst{atom}}$$
For en blykugle med en diameter på 5 cm giver dette $N = 0,742\,\text{kg} / 3,441 \times 10^{-25}\,\text{kg} / 3,441 \times 10^{-25}\,\text{kg} \ca. 2,16 \times 10^{24}$. Hver kugles kollektive bølgeamplitude er så mange gange større end et enkelt blyatoms. BeeTheory-kraften mellem de to kugler fås derefter ved at kombinere de to amplituder:
Kraft mellem to ækvivalente partikler
$$F_{\text{BT}}(R) \;=\; N_A \cdot N_B \cdot \frac{K_{\text{BT}}{R^2} \;=\; \frac{M_A \cdot M_B}{m_\text{atom}^2} \cdot \frac{K_text{BT}}(R) \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2}$$
Denne formel har samme struktur som Newtons lov: proportional med produktet af masserne og omvendt proportional med kvadratet på afstanden. Proportionalitetskonstanten er BeeTheory-koblingen $K_{\text{BT}}/m_\text{atom}^2$, som spiller rollen som en effektiv gravitationskonstant i denne forenklede formulering:
BeeTheory effektiv gravitationskonstant
$$G_{\text{BT}} \;=\; \frac{K_{\text{BT}}}{m_\text{atom}^2} \;=\; \frac{3\hbar^2}{2\,m_\text{atom}^3\,a_\text{atom}}$$
3. Numeriske resultater på tværs af afstande
Tabellen nedenfor viser BeeTheory-kraften og den tilsvarende newtonske kraft mellem de to blykugler, vurderet ved afstande fra centimeter, typisk for en Cavendish-vægt, til ti meter:
| $R$ (cm) | $F_{\text{BT}}$ (N) | $F_N = G M^2/R^2$ (N) | $F_{\text{BT}}/F_N$ | Lov om skalering |
|---|---|---|---|---|
| 6 | $3.58 \times 10^{17}$ | $1.02 \times 10^{-8}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 10 | $1.29 \times 10^{17}$ | $3.68 \times 10^{-9}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 20 | $3.22 \times 10^{16}$ | $9.19 \times 10^{-10}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 50 | $5.16 \times 10^{15}$ | $1.47 \times 10^{-10}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 100 | $1.29 \times 10^{15}$ | $3.68 \times 10^{-11}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
| 1 000 | $1.29 \times 10^{13}$ | $3.68 \times 10^{-13}$ | $3.51 \times 10^{25}$ | $1/R^2$ |
Forholdet $F_{\text{BT}}/F_N$ er strengt konstant på tværs af alle testede afstande. Dette bekræfter, at de to udtryk deler den samme funktionelle form $1/R^2$. I denne forenklede ækvivalente partikelmodel gengiver BeeTheory Newtons inverse kvadratiske skalering nøjagtigt; de to adskiller sig ved en samlet multiplikativ konstant, der er indstillet af parametre på atomar skala.
4. Detaljeret beregning ved $R = 6$ cm
For at gøre simuleringen helt gennemsigtig, følger her en trinvis beregning af den Cavendish-lignende referencekonfiguration:
Trin 1 – Atomar kobling
$$K_{\text{BT}} \;=\; \frac{3 \hbar^2}{2\,m_\text{atom}\,a_\text{atom}} \;=\; \frac{3 \times (1.054 \times 10^{-34})^2}{2 \times 3.441 \times 10^{-25} \times 1,75 \times 10^{-10}}$$
$$K_{\text{BT}} \;=\; 2,771 \times 10^{-34}\;\text{J-m}$$
Trin 2 – Antal atomer pr. kugle
$$N \;=\; \frac{M_\tekst{kugle}}{m_\tekst{atom}} \;=\; \frac{0,742\;\text{kg}}{3,441 \times 10^{-25}\;\text{kg}}$$
$$N \;=\; 2,157 \times 10^{24}\;\text{atoms}$$
Trin 3 – BeeTheory-kraft ved R = 6 cm
$$F_{\text{BT}} \;=\; N^2 \cdot \frac{K_{\text{BT}}}{R^2} \;=\; (2,157 \times 10^{24})^2 \cdot \frac{2,771 \times 10^{-34}}{(0,06)^2}$$
$$F_{\text{BT}} \;=\; 3,58 \times 10^{17}\;\text{N}$$
Trin 4 – Newtonsk reference ved R = 6 cm
$$F_N \;=\; \frac{G\,M^2}{R^2} \;=\; \frac{6,674 \times 10^{-11} \times (0.742)^2}{(0.06)^2}$$
$$F_N \;=\; 1,02 \times 10^{-8}\;\text{N} \;\approx\; 10\;\text{nN}$$
Den newtonske værdi på ca. 10 nN er i den forventede størrelsesorden for gravitationel tiltrækning mellem blykugler på under et kilogram med en afstand på en centimeter. BeeTheory-værdien i denne forenklede ækvivalente partikelmodel er meget større, men dens afstandsafhængighed er identisk: begge kræfter skalerer som $1/R^2$.
5. Hvad dette resultat fastslår
Newtons omvendt-kvadratiske struktur gengives
For to makroskopiske kugler, der behandles som ækvivalente punktpartikler, producerer BeeTheory en kraft, der skalerer nøjagtigt som $1/R^2$ og er strengt proportional med produktet af masserne $M_A cdot M_B$. Det er de to definerende strukturelle træk ved Newtons lov om universel gravitation, og begge kommer direkte fra BeeTheorys bølgemekanisme i denne forenklede model.
Parametre på atomar skala driver amplituden
BeeTheory-amplituden $K_{\text{BT}} = 3\hbar^2/(2 m_\text{atom} a_\text{atom})$ afhænger udelukkende af kvanteegenskaberne for de atomer, der indgår: Plancks konstant, den atomare masse og den atomare radius. Valget af bly i denne simulering giver specifikke numeriske værdier, men strukturen i forudsigelsen er generel. Ethvert materiale vil producere den samme $1/R^2$-skalering med en amplitude, der er skaleret af dets egne atomparametre.
Den eksperimentelle konstant G’s rolle
Newtons gravitationskonstant $G$ er en målt makroskopisk konstant. BeeTheory udleder strukturen af den gravitationelle interaktion fra bølgeformalismen; at matche den præcise numeriske værdi af $G$ kræver den empiriske bro mellem mikroskopiske bølgeparametre og makroskopisk observation. Forholdet $F_{\text{BT}}/F_N \approx 3,5 \times 10^{25}$ fundet ovenfor kvantificerer amplitudegabet i denne blykugle-ækvivalente partikelmodel.
6. Sammenfatning
1. To blykugler med en diameter på 5 cm og en vægt på 742 g hver, der behandles som ækvivalente punktpartikler, frembringer en BeeTheory-kraft af formen $F_{\text{BT}}(R) = N^2 \cdot K_{\text{BT}}/R^2$.
2. Denne kraft har den samme funktionelle afhængighed som Newtons lov $F_N = G\,M^2/R^2$, både i dens $1/R^2$-skalering og dens $M_A \cdot M_B$-proportionalitet.
3. Forholdet $F_{\text{BT}}/F_N$ er konstant for bly i denne model, svarende til $K_{\text{BT}}/(G m_\text{atom}^2) \ca. 3,5 \gange 10^{25}$, uafhængigt af afstanden.
4. BeeTheory gengiver dermed den makroskopiske invers-kvadratiske struktur, der er forbundet med en gravitationel opsætning af Cavendish-typen, samtidig med at den absolutte normalisering er forbundet med den empiriske konstant $G$.
Den næste note undersøger, hvordan den samme bølgemekanisme, anvendt på udvidede fordelinger af stof som galakser og stjerneklynger, naturligt producerer yderligere gravitationseffekter, der historisk tilskrives mørkt stof – uden at påberåbe sig nogen ny partikel.
Referencer. Dutertre, X. – Bee Theory™: Bølgebaseret modellering af tyngdekraften, v2, BeeTheory.com (2023). Grundlæggende udledning. – Cavendish, H. – Experiments to Determine the Density of the Earth, Philosophical Transactions of the Royal Society 88, 469 (1798). Oprindelig måling af den gravitationelle tiltrækning mellem blykugler. – Newton, I. – Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, Royal Society (1687). Universel lov om gravitation.
BeeTheory.com – Bølgebaseret kvantegravitation – Makroskopisk test – © Technoplane S.A.S. 2026