نظرية النحلة – الأسس – المذكرة الفنية الخامسة

مجالان هما نقطتان:
نظرية الصدفة وإعداد كافنديش

تعاملت الملاحظة السابقة مع كل كرة رصاصية على أنها جسيم مكافئ واحد عند مركزها. وبالنسبة للتفاعل المربع العكسي المركزي، فإن هذا الاختزال تبرره نظرية نيوتن للصدفة: فالكرة المتجانسة تعمل خارجيًّا كما لو كانت كتلتها مركزة عند مركزها. وبما أن القوة المزدوجة لنظرية النحلة لها نفس البنية المركزية 1/R^2$ في النموذج الذي نتناوله هنا، فإن النظرية نفسها تدعم المحاكاة على غرار كافنديش.

1. النتيجة في بيان واحد

نظرية الصدفة – نيوتن، 1687

بالنسبة إلى أي قوة مركزية متغيرة بمقدار 1 \ R ^ 2$، تؤثر قذيفة كروية متجانسة على أي نقطة خارجية تمامًا كما لو كانت كتلتها بأكملها مركزة عند مركزها.

$$$$F\\!\ يسار(\نص {كرة الكتلة } M، \نص { نقطة خارجية على مسافة } d\right) \؛ =\؛ F\!\ يسار(\نص { كتلة نقطة } M \نص { في المركز، لوحظ في } d\right)$$$

هذه واحدة من أعمق نتائج الميكانيكا الكلاسيكية. وقد استخلصها نيوتن في كتاب المبادئ، الكتاب الأول، الاقتراح LXXI، وهي ضرورية لمعالجة الكواكب والأقمار والأجسام الكروية ككتل نقطية في الميكانيكا السماوية. والنظرية دقيقة للأجسام المتماثلة كرويًّا والنقاط الخارجية، وتعتمد على الصيغة المركزية للقوة 1/R^2$ وليس على القيمة العددية لثابت الاقتران.

نظرًا لأن التفاعل الزوجي لنظرية النحلة الذي تناولناه في الملاحظة السابقة له نفس البنية المربعة العكسية المركزية، فإن نظرية الصدفة تنطبق على نموذج الجسيم المكافئ المناظر للكرات المتجانسة غير المتداخلة.

2. سبب صحة النظرية: البرهان في مسارين

يضيء برهانان مكافئان النتيجة من زاويتين متكاملتين. كان اشتقاق نيوتن الأصلي هندسيًّا. أما البرهان الحديث، الذي غالبًا ما يُعبَّر عنه بقانون غاوس، فيستخدم تدفق مجال الجاذبية.

المسار أ – برهان نيوتن الهندسي

افترض وجود قذيفة كروية رقيقة كتلتها $M$ ونصف قطرها $R_s$، ونقطة خارجية $P$ على مسافة $d > R_s$ من مركز القذيفة. حلِّل الغلاف إلى حلقات متناهية الصغر متعامدة على المحور $OP$. كل حلقة عند الزاوية القطبية $\theta$ لها مساحة سطح $dA = 2\pi R_s^2 \sin\theta\، d\theta$ وتقع على مسافة $r(\theta) = \sqrt{d^2 + R_s^2 – 2 d R_s \cos\theta}$ من $P$$.

مركِّبة القوة على طول المحور $OP$، مدمجة على جميع الحلقات، هي

$$$$$F = -G\\، \sigma \int_0^^^pi \frac{2\pi R_s^2 \sin\theta}{r(\theta)^2} \cdot \frac{d – R_s_s\cos\theta}{r(\theta)} \,d\theta, \qquad \sigma = \frac{M}{4\pi R_s^2}$$$$$

مع تغيير المتغير $u = r(\theta)$، حيث $u\، دو = R_s d \sin\theta\، d\theta$، يتم تبسيط التكامل وإيجاد قيمته إلى نتيجة الكتلة النقطية:

$$$$F = – \، \، \frac{G\، M}{d^2}$$$$$$

بالضبط قوة الكتلة النقطية $M$ الموجودة في مركز الصدفة. إن عمليات الإلغاء ليست عرضية: فهي تحدث لأن العامل الهندسي $(d_s \s\cos\theta)/r^3$ مطابق تمامًا لقانون القوة العكسية المربعة.

المسار (ب) – برهان التدفق لجاوس

أي قوة مركزية $$1/R^2^2$ لها مجال خالٍ من التباعد خارج المصدر، تمامًا مثل المجال الكهربائي لشحنة نقطية. حدِّد تدفُّق الجاذبية عبر سطح مغلق $\سيغما $$ يحيط بالكتلة الكلية $M_\text{enc}$:

$$\oint_\Sigma \vec{g} \cdot d\vec{A} \\;=\\؛ -\,4\pi G \,M_نص{enc}$$$$$

طبِّق ذلك على كرة نصف قطرها \d > R_s$ ومركزها مركز الصدفة. وفقًا للتماثل الكروي، يكون $\vec{g}$ شعاعيًا وله نفس المقدار في كل مكان على هذا السطح. وبالتالي، فإن التدفق يساوي $g \cdot 4\pi d^2 = -4\pi G M$، ما يعطي $g = -GM/d^2$ – مجال كتلة نقطية.

يتفق المساران لأن كلا المسارين يعتمدان على نفس المكون الأساسي: قانون 1/R^2$1 مع التماثل الكروي. لا تدخل أي قيمة عددية محددة لثابت الاقتران في البرهان – تعتمد النظرية على الشكل الوظيفي للقوة.

3. التحقق العددي

ولجعل النظرية ملموسة، قمنا بحساب قوة الجاذبية التي يبذلها غلاف كروي متجانس نصف قطره 0.5 م وكتلته الكلية 1 كجم على نقطة خارجية، وذلك بالتكامل المزدوج المباشر على سطح الغلاف. تمت مقارنة النتائج مع معادلة الكتلة النقطية المتوقعة $F = -GM/d^2$:

المسافة $ d$ (م)	$ F$ من التكامل (N)	$ F = -GM/d^2$ (N)	الخطأ النسبي
1.0	6.6743 $ 6.6743 \times 10^{-11}$	6.6743 $ 6.6743 \times 10^{-11}$	5.8 \5.8 \أضعاف 10^^{-14}$ %
2.0	1.6686 دولارًا أمريكيًا في 10^{-11}$ دولارًا أمريكيًا	1.6686 دولارًا أمريكيًا في 10^{-11}$ دولارًا أمريكيًا	7.7 \times 7.7 \times 10^^{-14}$ %
5.0	2.6697 دولارًا أمريكيًا \times 10^{-12}$	2.6697 دولارًا أمريكيًا \times 10^{-12}$	1.5 \1.5 \مرة 10^^{-14}$ %
10.0	6.6743 دولارًا أمريكيًا في 10^{-13}$ دولار أمريكي	6.6743 دولارًا أمريكيًا في 10^{-13}$ دولار أمريكي	1.5 \1.5 \مرة 10^^{-14}$ %
100.0	6.6743 دولارًا أمريكيًا في 10^{-15}$ دولار أمريكي	6.6743 دولارًا أمريكيًا في 10^{-15}$ دولار أمريكي	1.2 \Times 10^^{-14}$ % %

يتم الحصول على توافق مع الدقة المعروضة، ويقتصر ذلك على التكامل العددي فقط. تم التحقق من نظرية الصدفة عدديًا: قوة الصدفة المتجانسة على نقطة خارجية مطابقة لقوة الكتلة النقطية عند مركزها.

إن توسيع نطاق نظرية الصدفة ليشمل كرة متجانسة صلبة متجانسة أمر مباشر: يمكن تحليل الكرة الصلبة إلى أصداف متحدة المركز، كل منها يؤثر خارجيًّا ككتلة نقطية عند المركز المشترك. ومن ثَمَّ، فإن القوة الخارجية الكلية هي قوة كتلة نقطية واحدة تساوي مجموع كتل جميع الأصداف – أي الكتلة الكلية للكرة.

4. سبب انطباق النظرية على نظرية النحل

يعتمد البرهان على خاصيتين من خصائص القوة، وعلى هاتين الخاصيتين فقط:

(أ) الطابع المركزي: تكون القوة موجهة على طول الخط الواصل بين الجسمين المتفاعلين.
(ب) الاعتماد على المربع العكسي: يتدرج المقدار على أساس 1/R^2$.

أثبتت المذكرة الفنية السابقة قوة نظرية النحل بين جسيمين أوليين:

قوة الجسيمات ثنائية الجسيمات

$$$$F_F_{{\\نص{{{{BT}}(R) \؛ = \\؛ \frac{{K_{{{\نص{{BT}}}}{R^2}، \qquad K_{\\نص{{BT}} = \frac{3\\hbar ^2}{2\، م_نص{ذرة}}، أ_نص{ذرة}}$$$$$

هذه القوة مركزية من خلال التماثل الكروي للدالة الموجية المنتظمة، وتتدرج بمقياس 1$/ر^2$. وبالتالي يتحقق شرطا نظرية الغلاف في إطار الجسيم المكافئ المستخدم هنا.

نظرية غلاف نظرية النحلة

تؤثر كرة متجانسة مكونة من جسيمات نظرية النحلة $N$ على أي مراقب خارجي تمامًا كجسيم مكافئ واحد بسعة $N$ يقع في مركز الكرة، شريطة أن يكون التفاعل الزوجي مركزيًا ويتبع 1/R^2$.

هذا هو المبرر الرياضي للإجراء المستخدم في محاكاة كافنديش في الملاحظة السابقة. إن استبدال كل كرة رصاصية بجسيم مكافئ واحد في مركزها ليس مجرد تبسيط بصري؛ ففي نموذج المربع العكسي المركزي، هو التعبير المحكم لنظرية الغلاف.

5. محاكاة كافنديش الصارمة التي تم إجراؤها على

حسبنا في الملاحظة السابقة قوة النحلةالنظرية بين كرتين رصاصيتين قطر كل منهما 5 سم، 742 جم، يفصل بينهما 6 سم من المركز إلى المركز، باستخدام المعادلة:

$$$$$F_{\{النص{{BT}} \\;=\\؛ N_A \cdot N_B \cdot N_B \cdot \frac{{K_{{\نص{BT}}}{R^2}$$$$

تُثبت نظرية الغلاف أن هذه الصيغة هي التعبير المختزل الصحيح لمجالين متجانسين وغير متداخلين في نموذج المربع العكسي المركزي. يمثل كل عامل $N$ العدد الإجمالي للذرات في الكرة الخاصة به؛ ويحدد مركزا الكرتين $R$؛ ولا حاجة إلى مزيد من التنقيح الهندسي لحساب المجال الخارجي.

التحقق العددي مباشر. ينتج عن تحليل كل كرة رصاصية إلى أغلفة رقيقة متحدة المركز وتكامل قوة النحلة من كل غلاف من الكرة A على كل غلاف من الكرة B:

الطريقة	النتيجة
الاندماج المباشر للكرة المزدوجة على قوة زوجية نظرية النحلة	$ F = 3.5812 \times 10^{17}$ N
تكافؤ الجسيمات النقطية، نظرية الصدفة: $F = N ^ 2 K_{\text{{BT}}/R^2$	$ F = 3.5812 \times 10^{17}$ N
الفرق	0، مطابق لجميع الأرقام المعروضة

تبرير محاكاة كافنديش

إن التبسيط المستخدم في محاكاة كافنديش – استبدال كل كرة رصاصية بجسيم مكافئ واحد في مركزها – مبرر بنظرية الصدفة المطبقة على قوة BeeTheory 1/R^2$. وبالتالي يتم التعبير عن المحاكاة في صورتها الأكثر إحكامًا: جسمان كرويان يصبحان سعتين مركزيتين مكافئتين.

6. الشمولية الهيكلية للنظرية

نظرية الغلاف هي الخاصية البنائية التي تجعل الميكانيكا السماوية قابلة للتطبيق. وهي السبب الذي جعل نيوتن يتعامل مع الكواكب كنقاط عند حساب المدارات. وهي السبب في قدرة غاوس على تحويل الجاذبية إلى مشكلة جريان. وهي أيضًا السبب في إمكانية تمثيل العديد من التوزيعات الكتلية المتماثلة كرويًا من خلال كتلتها المغلقة.

يجب أن ترث أي نظرية موجية للجاذبية تهدف إلى إعادة إنتاج تفاعل مركزي عكسي تربيعي هذه الخاصية. ترث نظرية النحلة التي تشتق القوة 1/R^2$$ من البنية الكروية للدالة الموجية المنتظمة، نفس سلوك الصدفة في النظام الذي يكون فيه التفاعل الزوجي مركزيًّا وعكسي المربع. وهذا ليس من قبيل المصادفة: نفس البنية الرياضية التي تجعل نظرية الغلاف تعمل مع نيوتن – التماثل الشعاعي والقياس المربع العكسي – هي البنية المستخدمة في قانون قوة نظرية النحل.

جسر من المجهرية إلى العيانية

نظرية الغلاف هي الأداة الشكلية التي تنتقل بها نظرية بي من تفاعل موجي بين جسيمين إلى قوة بين أجسام كروية عيانية. وبدون تغيير بنية القوة الزوجية، فإن نفس قانون 1/R^2$$ الذي يحكم زوجًا أوليًّا يحكم أيضًا كرتين رصاصيتين أو جسمين كرويين مثاليين فلكيين مثاليين. يتم الحفاظ على البنية الموجية للمادة من خلال هذا الممر، في طبقات متناسقة من المقياس الذري إلى المقياس العياني.

7. ملخص

1. تنص نظرية نيوتن للصدفة على أن الكرة المتجانسة تؤثِّر على نقطة خارجية تمامًا ككتلة نقطية عند مركزها لأي قوة مركزية 1^^2$1^2$.

2. تعتمد النظرية على الصورة المربعة العكسية وعلى التماثل الشعاعي، ولا تدخل القيمة العددية المحددة لثابت الاقتران في البرهان.

3. قوة الجسيمات ثنائية الجسيمات المستخدمة هنا تقاس بمقياس 1/R^2$، وهي قوة مركزية – وبالتالي تنطبق نظرية الصدفة على الأجسام الكروية المتجانسة في هذا النموذج.

4. إن كرتين رصاصيتين في هندسة كافنديش تكافئان، لحساب القوة الخارجية، جسيمين نقطيين من نظرية بيثوري في مركزيهما، يحمل كل منهما سعة $N = M_/m__text{atom}$.

5. ومن ثم، فإن المحاكاة الواردة في الملاحظة السابقة هي تعبير نظرية الصدفة المدمجة لقوة نظرية النحلة بين جسمين كرويين ماكروسكوبيين.

توسع الملاحظة التالية هذا التحليل ليشمل التوزيعات الموسعة غير الكروية للكتلة – وهو الإعداد الطبيعي لاختبارات نظرية النحلة على نطاق المجرة.

المراجع. نيوتن، الأول – Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica، الجمعية الملكية (1687). الكتاب الأول، المقترح LXXI – البرهان الهندسي الأصلي لنظرية الصدفة. – غاوس، ج. ف. – Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus (1839). الصيغة القائمة على التدفق. – Dutertre, X. – نظرية النحلة™: النمذجة القائمة على الموجة للجاذبية، الإصدار 2، BeeTheory.com (2023). الاشتقاق التأسيسي لقوة الموجة 1/R^2$$. – كافنديش، هـ. – تجارب لتحديد كثافة الأرض، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية 88، 469 (1798). قياس كرة الرصاص.

مجالان هما نقطتان:نظرية الصدفة وإعداد كافنديش