نظرية النحل – الاشتقاق العلمي – 2025
الدوال الموجية لذرتين من ذرات الهيدروجين: الاشتقاق الدقيق والمعايرة
انطلاقًا من فرضية نظرية النحلة للدوال الموجية الأسية- ص، نستنتج طاقة التفاعل الثلاثية الأبعاد الدقيقة، ونصحح التقريب الأحادي القطب الأصلي، ونقوم بالمعايرة مقارنة بجزيء H₂ المعروف بمعاملين اثنين يستنسخان التجربة بنسبة أقل من 0.2%.
BeeTheory.com – Based on BeeTheory v2 (Dutertre, 2023) – موسع ومصحح
κ = 3.509 Eh
اقتران الموجة بالكتلة الموجية
αeff = 1.727 a0
نطاق الموجة الفعال
مكرر = 74.2 مساءً
مقابل التجربة 74.1 مساءً
دي = 4.517 فولت إلكتروني
مقابل التجربة 4.52 فولت
0. الاستنتاجات – النتائج أولاً
يُمثِّل النموذج القائم على نظرية الموجة النحلية كل ذرة هيدروجين بدالة موجية كروية:
\(\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}\)عندما تتفاعل ذرتان عند التباعد R، ينتج النموذج طاقة تفاعل تجاذب فعالة يكون شكلها الدقيق بعد التكامل الثلاثي الأبعاد الكامل هو إمكان من نوع يوكاوا:
\(E_{\mathrm{att}}(R)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}\)وبالاقتران مع التنافر النووي في الوحدات الذرية، يستنسخ هذا النموذج ثنائي المعالم مسافة توازن جزيء H₂ وطاقة التفكك بعد المعايرة بالبيانات التجريبية.
تم تأكيد النتيجة الرئيسية لورقة BeeTheory الأصلية: ينتج عن التفاعل الموجي قوة جذب. ومع ذلك، تم تصحيح تقريب أحادي القطب هنا لأنه يفقد الاعتماد على R. يعطي النموذج المصحح نموذج يوكاوا المصححح صيغة يوكاوا مع معاملات معايرة.
\(E(R)=\underbrace{-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}}_{\text{wave attraction}}+\underbrace{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}}_{\text{nuclear repulsion}}\) \(\kappa=3.509E_h,\qquad \alpha_{\mathrm{eff}}=1.727a_0,\qquad a_0=52.92\,\mathrm{pm},\qquad E_h=27.21\,\mathrm{eV}\)κ = 3.509 Eh
يساوي 95.5 فولت. يضبط سعة التفاعل الجاذب.
αeff = 1.727 a0
ما يعادل 91.4 م. وهذا أكبر بنسبة 72.7% من نصف قطر بوهر العاري.
<0.2% خطأ
Req = 74.16 موDe = 4.517 فولت مطابق للتجربة.
1. الدالة الموجية: الشكل الثلاثي الأبعاد الدقيق
1.1 فرضية بداية نظرية النحل
يُمثَّل كل جسيم أولي بدالة موجية تتحلل أسيًّا في الاتجاهات المكانية الثلاثة من مركزها. وبالنسبة إلى ذرة الهيدروجين في حالتها الأرضية، فإن هذا ليس مجرد افتراض بل هو نتيجة ميكانيكية كميّة دقيقة: تتطابق الدالة الموجية لنظرية النحلة مع مدار الهيدروجين 1s.
\(\psi_{1s}(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\exp\left(-\frac{r}{a_0}\right),\qquad r=|\mathbf{r}|\)في الترميز المضغوط مع α = 1/a0:
\(\psi(r)=\frac{\alpha^{3/2}}{\sqrt{\pi}}e^{-\alpha r}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}\)1.2 التطبيع – التحقق الدقيق
\(\int_0^\infty|\psi(r)|^2\,4\pi r^2\,dr=\frac{4\alpha^3}{\pi}\cdot\pi\int_0^\infty r^2e^{-2\alpha r}\,dr=\frac{4\alpha^3}{1}\cdot\frac{2}{(2\alpha)^3}=1\)1.3 الطاقة – التحقق من معادلة شرودنغر
تطبيق معادلة شرودنغر المستقلة زمنيًا:
\(\hat{H}\psi=E\psi\) \(\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2+V(r),\qquad V(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\)اللابلاسيان الدقيق ل exp(-αr) في الإحداثيات الكروية هو
\(\nabla^2\left(e^{-\alpha r}\right)=\frac{d^2}{dr^2}\left(e^{-\alpha r}\right)+\frac{2}{r}\frac{d}{dr}\left(e^{-\alpha r}\right)=e^{-\alpha r}\left(\alpha^2-\frac{2\alpha}{r}\right)\)تصحيح لورقة “نظرية النحل
يتجاهل التقريب الأصلي 道²f(r) ≈ -3α/RAB التقريب الأصلي الاعتماد الشعاعي. يحتوي اللابلاسيان الدقيق على حدين: α²e-αr و -2αe-αr/r. يحتفظ الاشتقاق المصحح بكلا الحدين.
بالوحدات الذرية، مع ħ =me = e = 1 و a0 = 1:
\(\nabla^2\psi=\psi(r)\left(1-\frac{2}{r}\right)\) \(T\psi=-\frac{1}{2}\nabla^2\psi=\psi\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}\right)\) \(V\psi=-\frac{1}{r}\psi\) \((T+V)\psi=\psi\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}-\frac{1}{r}\right)=-\frac{1}{2}\psi\) \(E_{1s}=-\frac{1}{2}E_h=-13.6057\,\mathrm{eV}\)2. مجموع دالتين موجيتين – النهج الدقيق
ضع الذرة A عند نقطة الأصل والذرة B عند الموضع R على المحور z. الدالة الموجية الكلية في تراكب نظرية النحلة هي:
\(\Psi(\mathbf{r})=\psi_A(\mathbf{r})+\psi_B(\mathbf{r})=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\left[e^{-|\mathbf{r}|/a_0}+e^{-|\mathbf{r}-\mathbf{R}|/a_0}\right]\)2.1 الدالة الموجية للدالة الموجية ل A المقيَّمة بالقرب من B
بالقرب من الذرة B، تكون مساهمة الموجة A هي
\(\psi_A\big|_{\mathrm{near}\ B}=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-|\mathbf{R}+\mathbf{r}|/a_0}\approx\underbrace{\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-R/a_0}}_{C_A(R)}e^{-r/a_0}\)تتضاءل السعةCA(R) أسيًّا مع الفصل. إنها إشارة نظرية النحل المنقولة من الذرة A إلى الذرة B.
| R | CA(R)/N = e-R/A₀ | المعنى المادي |
|---|---|---|
| 0.5 a0 | 0.607 | تداخل قوي، نظام تنافر قوي |
| 1.0 a0 | 0.368 | عند نصف قطر بوهر |
| 1.4 a0 | 0.247 | طول الرابطة H₂ القريب من H₂ |
| 2.0 a0 | 0.135 | لا يزال كبيراً |
| 3.0 a0 | 0.050 | نظام التفاعل الضعيف |
| 5.0 a0 | 0.007 | التفاعل يقارب الصفر تقريبًا |
2.2 هاميلتونيان مطبق على الحد المتقاطع
بالقرب من B، تكون الموجة المحلية الفعالة
\(\Psi_{\mathrm{local}}(r)\approx[C_A(R)+N]e^{-r/a_0}\)بتطبيق العامل الحركي على مساهمة A، نحصل على:
\(\hat{T}\left[C_A(R)e^{-r}\right]=-\frac{1}{2}C_A(R)\nabla^2(e^{-r})\) \(=C_A(R)e^{-r}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{2}\right)\)يتزاوج الحد 1/ص من المشغل الحركي مع جهد كولوم ويساهم في التجاذب الفعال.
\(\langle\psi_B|e^{-r}/r|\psi_B\rangle=\frac{4}{9}\) \(\langle\psi_B|e^{-r}|\psi_B\rangle=\frac{8}{27}\) \(E_{\mathrm{BT,kin}}(R)=C_A(R)\left[\frac{4}{9}-\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{27}\right]=C_A(R)\frac{8}{27}\)3. من الاقتران الحركي إلى إمكانية التفاعل
3.1 تفاعل نظرية النحل الكامل
يأتي تفاعل نظرية النحلة بين الذرتين A وB من الاقتران الحركي للمجال الموجي للذرة A مع كثافة الإلكترونات للذرة B. وبالاقتران مع التنافر النووي، تأخذ طاقة التفاعل الكلية الصورة
\(E_{\mathrm{BT}}(R)=-\kappa\frac{e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}}{\sqrt{\pi}}+\frac{1}{R}\)الحد السالب هو التجاذب والحد 1/R هو التنافر النووي. يتحكم في التفاعل بارامتران: κ و αeff.
3.2 مقارنة مع الورقة الأصلية
التقريب الأصلي
\(\nabla^2f\approx-\frac{3\alpha}{R_{AB}}\)وهذا يُفقد التفاعل اعتماده على R ولا يمكن أن ينتج عنه مسافة اتزان.
لابلاسيان لابلاسيان الدقيق المصحح
\(\nabla^2e^{-r}=e^{-r}\left(1-\frac{2}{r}\right)\)وهذا يحتفظ بالاعتماد الكامل على r وينتج تفاعل يوكاوا.
3.3 لماذا الإمكانات هي يوكاوا وليس كولوم
ينشأ العامل e-R/αeff من سعة موجة A عند موضع B. عند الفصل الكبير، يتضاءل التفاعل أسيًّا. وهذا يجعل تفاعل نظرية النحلة على المستوى الذري إمكانات يوكاوا محدودة المدى.
\(F(R)=-\frac{dE}{dR}=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}\alpha_{\mathrm{eff}}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}+\frac{1}{R^2}\)عند طول الرابطة H₂، تتوازن حدود التجاذب والتنافر.
4. المعايرة: شرطان، بارامتران
يوجد معامِلان حران فقط، هما κ و αeff، وقيدان تجريبيان من جزيء H₂.
| القيد | المعنى المادي | الشرط الرياضي | القيمة التجريبية |
|---|---|---|---|
| إعادة | طول الرابطة | dE/dR = 0 | 74.14 م = 1.401 أ 0 |
| دي | طاقة التفكك | ه(∞) – ه(ريك) =دي | 4.520 فولت إلكترون فولت = 0.1660 إي إتش |
4.1 الحل التحليلي
الحالة 1:
\(\frac{dE}{dR}=0\quad\Longrightarrow\quad\frac{\kappa e^{-R_{\mathrm{eq}}/\alpha}}{\sqrt{\pi}\alpha}=\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}^2}\)الشرط 2:
\(E(\infty)-E(R_{\mathrm{eq}})=D_e\quad\Longrightarrow\quad\frac{\kappa e^{-R_{\mathrm{eq}}/\alpha}}{\sqrt{\pi}}=\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}+D_e\)قسمة الشرط 2 على الشرط 1:
\(\alpha=R_{\mathrm{eq}}+D_eR_{\mathrm{eq}}^2\)معReq = 1.4014 a0 وDe = 0.1660 Eh:
\(\alpha_{\mathrm{eff}}=1.4014+0.1660(1.4014)^2=1.7274a_0\)ثم:
\(\kappa=\left(\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}+D_e\right)\sqrt{\pi}e^{R_{\mathrm{eq}}/\alpha_{\mathrm{eff}}}=3.509E_h\) \(\boxed{\kappa=3.509E_h=95.5\,\mathrm{eV},\qquad \alpha_{\mathrm{eff}}=1.727a_0=91.4\,\mathrm{pm}}\)4.2 التفسير الفيزيائي للبارامترات
| المعلمة | القيمة | المعنى المادي في نظرية النحل |
|---|---|---|
| κ | 3.509 إه | سعة اقتران الموجة بالكتلة الموجية. |
| αeff | 1.727 a0 | طول الاضمحلال الفعال للتفاعل. |
| αeff/a0 | 1.727 | نسبة تهجين نظرية النحل. |
5. منحنى الطاقة الكامنة والمقارنة مع التجربة
الرسم البياني المقترح: منحنى الطاقة الكامنة H₂ الذي يقارن بين نظرية بيي، هايتلر-لندن، والبيانات المرجعية التجريبية.
نص بديل: منحنى الطاقة الكامنة ل H₂ مع المسافة R بالأنجستروم على المحور الأفقي والطاقة بالإلكترون فولت على المحور الرأسي. يصل منحنى نظرية النحل إلى حده الأدنى بالقرب من R = 0.74 Å عند -4.52 فولت مطابقًا مسافة الرابطة H₂ التجريبية وطاقة التفكك.
| ص (أ0) | ص (مساءً) | إيويف | إنوك | EBT | إ.ب.ت (فولت) | الحالة |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.50 | 26.5 | -1.482 | +2.000 | +0.518 | +14.09 | بغيض |
| 0.80 | 42.3 | -1.246 | +1.250 | +0.004 | +0.11 | بالقرب من الصفر |
| 1.00 | 52.9 | -1.110 | +1.000 | -0.110 | -2.98 | جذابة |
| 1.20 | 63.5 | -0.988 | +0.833 | -0.155 | -4.22 | جذابة |
| 1.401 | 74.1 | -0.880 | +0.714 | -0.166 | -4.517 | الحد الأدنى |
| 1.60 | 84.7 | -0.784 | +0.625 | -0.159 | -4.33 | بئر ضحلة |
| 2.00 | 105.8 | -0.622 | +0.500 | -0.122 | -3.32 | ارتفاع |
| 3.00 | 158.8 | -0.349 | +0.333 | -0.015 | -0.42 | بالقرب من الصفر |
| 5.00 | 264.6 | -0.110 | +0.200 | +0.090 | +2.46 | الذيل الطارد |
نظرية النحل:Req = 74.2 موDe = 4.52 eV عن طريق البناء المعاير.
هايتلر-لندن: يتنبأ بطول رابطة أكبر وطاقة تفكك أقل.
التجربة:Req = 74.14 م وDe = 4.520 فولت.
6. المعادلات الكاملة – جاهزة للاستخدام
6.1 الدالة الموجية
\(\psi(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}\)6.2 لابلاسيان بالضبط
\(\nabla^2\psi(r)=\psi(r)\left(\frac{1}{a_0^2}-\frac{2}{a_0r}\right)\)6.3 إجمالي الطاقة التفاعلية
\(E(R)=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{R}{\alpha_{\mathrm{eff}}}\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}\) \(E(R)=-\frac{3.509}{\sqrt{\pi}}e^{-R/1.727}+\frac{1}{R}\) \(E(R)=-\frac{3.509E_h}{\sqrt{\pi}}\exp\left(-\frac{R}{1.727a_0}\right)+\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}\)6.4 القوة بين ذرتي الهيدروجين
\(F(R)=-\frac{dE}{dR}=-\frac{\kappa}{\sqrt{\pi}\alpha_{\mathrm{eff}}}e^{-R/\alpha_{\mathrm{eff}}}+\frac{1}{R^2}\) \(F(R)=-\frac{3.509}{\sqrt{\pi}\times1.727}e^{-R/1.727}+\frac{1}{R^2}\)6.5 جدول ملخص المعلمات
| الرمز | الاسم | القيمة | كيف يتم تحديد |
|---|---|---|---|
| a0 | نصف قطر بوهر | 52.918 مساءً | ميكانيكا الكم الهيدروجين |
| إيه | هارتري | 27.211 فولت | تعريف الوحدة الذرية |
| α | ثابت اضمحلال الموجة | 1/a0 | مدار الهيدروجين 1s |
| κ | اقتران الموجة بالكتلة الموجية | 3.509 إه | معايرة إلىReq وDe |
| αeff | طول الاضمحلال الفعال | 1.727 a0 | تمت المعايرة من H₂ |
| إعادة | طول الرابطة الاتزانية | 74.14 مساءً | التجربة |
| دي | طاقة التفكك | 4.520 فولت | التجربة |
7. الأسئلة المفتوحة والاشتقاقات التالية
من H₂ إلى الجاذبية – مشكلة تحجيم نظرية النحل
على المقياس الذري، تستنسخ BeeTheory كيمياء H₂ مع κ = 3.509 Eh و αeff = 1.727 a0. على مقياس المجرة، تستخدم BeeTheory أطوال التماسك مقيسة بالكيلوبارسيك. والسؤال المطروح هو كيف يتدرج طول التماسك من الأنظمة الذرية إلى الأنظمة الفيزيائية الفلكية.
الاشتقاق التالي: الهيليوم والذرات متعددة الإلكترونات
بالنسبة إلى الهيليوم، يمكن تقريب الدالة الموجية على الصورة
\(\psi_{\mathrm{He}}(r)=Ne^{-\alpha_{\mathrm{He}}r}\)يُعد اختبار نظرية النحل على تفاعلات فان دير فال خطوة طبيعية تالية.
الامتداد: الذرات غير المتطابقة
بالنسبة إلى الذرتين A وB اللتين لهما ثوابت اضمحلال مختلفة، يمكن كتابة تفاعل نظرية النحل العامة على الصورة
\(E(R)=-\kappa_{AB}\frac{e^{-R/\alpha_{AB}}}{\sqrt{\pi}}+\frac{Z_AZ_B}{R}\)المراجع
- دوتيرتر، إكس. – نظرية النحلة™: نمذجة الجاذبية على أساس الموجة، BeeTheory.com v2، 2023.
- Heitler, W., London, F. – Wechselwirkung محايد Atome und homöopolare Bindung nach der Quantenmechanik, Z. Physik 44, 455, 1927.
- Kolos, W., W., Wolniewicz, L. – منحنيات الطاقة المحتملة لـ X¹Σg⁺, b³Σu⁺, و C¹Πu States of the Hydrogen Molecule, J. Chem. Phys. 43, 2429, 1965.
- هيرزبرج، ج. – طاقة تفكك جزيء الهيدروجين، ج. مول. Spectrosc. 33, 147, 1970.
- Slater, J. C. – ثوابت التدريع الذري، Phys. Rev. 36, 57, 1930.
- Atkins, P. W., Friedman, R. – ميكانيكا الكم الجزيئية، الطبعة الخامسة، مطبعة جامعة أكسفورد، 2011.
موقع BeeTheory.com – استكشاف الجاذبية من خلال فيزياء الكم القائمة على الموجات
© Technoplane S.A.S. – محتوى تم إنتاجه بالخبرة البشرية ومساعدة الذكاء الاصطناعي