الملخص الرياضي (مجموع موجات e-αr)
1) أنساتز (جسيمان A و B)
نمذجة كل جسيم كمصدر أحادي اللون، وموضعي، ومتساوي الخواص لمجال قياسي مركب (“موجة المادة”):
\[ \psi_A(\mathbf r,t)= \\A\,e^{- \\ألفا \mathbf r-\mathbf r_A|}\، e^^{-i\umga_1 t}, \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\\beta \mathbf r-\mathbf r_B|}\,e^^-{-i\omega_2_t} \]
وتراكب:
\[ \Psi(\mathbf r,t)= \psi_A(\mathbf r,t)+ \psi_B(\mathbf r,t) \]
التحويل إلى الإحداثيات الكروية حول B: اكتب \(\\mathbf r=\mathbf r_B+\mathbf s\) مع \(r= \mathbf s|||ll R\)، وعرّف
\[ R= |\\mathbf r_B-\mathbf r_B_b_b=r,\quad |\\mathbf r-\mathbf r_B|= \r,\quad |\\mathbf r-\mathbf r_A_|=|\mathbf R-\mathbf s| \]
بالنسبة لـ \(r\ll R\):
\[ \\mathbf R- \mathbf s \mathbf s \mathbf s \\mathbf s \\mathbf s \mathbf R- r\cos\theta + O(r^2/R) \]
بالقرب من ب:
\[ \ppsi_A(\mathbf r,t)\approx A\\,e^^- \alpha R} \,e^++\alpha r\cos\theta} \,e^-^-i\umga_1 t \qquad \psi_B(\mathbf r,t)=B\,e^{-\\beta r}\,e^{-i\\omega_2 t} \]
عند النقطة \(B_0\\) (أي \(ص=0\)، تكون المساهمة من A هي
\[ \\psi_A(B_0,t)=A\,e^^{- \ألفا R}\,e^{-i\omega_1 t} \]
2) ما المعادلة الموجية التي يجب استخدامها؟
معادلة شرودنجر الحرة الصحيحة هي:
\[ i\hbar \,\partial_t\Psi = – \frac{\hbar ^2}{2m}\، \nabla^2\Psi \]
وحالاتها الثابتة هي موجات مستوية/كروية متذبذبة؛ فالظرف \(e^-{- \ألفا ص}\) وحده ليس حلًا دقيقًا من حلول شرودنجر الحرة.
للحصول على التشكيلات الأسية استخدم معادلة هيلمهولتز أو معادلة بواسون:
\[ (\nabla^2-\mu^2)\,\phi(\mathbf r,t)= 4\pi\,S(\mathbf r)\,e^^{-i\omega t} \؛ \\؛ \Rightarrow\؛ \; G_\mu(r)= \frac{e^^-\mu r}{4\pi r} \]
بالنسبة للمصدر النقطي:
\[ \phi_A(\mathbf r,t)=\frac{S_A}{4\pi}\، \frac{e^{-\mu|||mathbf r-\mathbf r_A|}}{\mathbf r-\mathbf r_A|}\، e^{-I\mathbf r_A|} \]
في الحد شبه الساكن \(\mu\ إلى 0\):
\[ G_0(r)= \frac{1}{4\pi r} \]
3) الإمكانات الفعالة وقانون 1/R
إذا اقترن المجال B بمجال A مع اقتران \(g_B\)، فإن طاقة التفاعل تساوي
\[ V_{AB}(R,t)= \\frac{g_A_g_g_B}{4\pi}\، \frac{e^^{-\mu R}}{R}\R}\cos(\omega_1 t+\varphi) \]
After time averaging (or if \(\omega_1\simeq\omega_2\)):
\[ V_{AB}(R)\Propto \frac{e^^{-\mu R}}{R} \]
القوة المقابلة هي:
\[ \\mathbf F(R)=- \frac{g_a_g_g_B}{4\pi}\، \^^{-\mu R}\lft(\frac{{1}{R^2}+\frac{\mu}{R}\R}\right)\ما{\mathbf R} \]
في الحد بعيد المدى \(\mu R\ll 1\)، فإن هذا يستنسخ قانون جاذبية شبيه بقانون الجاذبية 1/R².
4) الهويات المفيدة (التحقق السريع)
لابلاسيان الأسية الشعاعية:
\[ \nabla^2(\^{- \ألفا ص})= \^{- \ألفا ص}\ليسار (\ألفا^2-\frac{2\ألفا}{ر}\يمين) \]
هوية الدالة الخضراء:
\[ \nabla^2\!\left(\frac{e^{-\mu r}}{r}\right)=\mu^2\frac{e^{-\mu r}}{r}-4\pi\delta(\mathbf r) \]
يأتي التفرد 1/r (وقانون المجال البعيد 1/R) من بنية الدالة الخضراء \(G(r)\(G(r)\sim 1/r\)، وليس من العامل \(e^^{-\ألفا r}\) المجرد \(1/r\).
في سطرين
- تراكب الموجات الموضعية: \(\\Psi=\psi_A+\psi_B\) مع المغلفات \(e^^-\ألفا ص\).
- للحصول على الإمكانات \(\(\sim 1/R\) (والقوة \(\sim 1/R^2\))، يجب أن يخضع الوسيط لبويسون/هيلمهولتز: \(\(G(r)\sim e^^{-\mu r}/r\). إذًا \(V_{AB}(R)\propto e^{-\mu R}\R\)، وبالنسبة إلى \(\mu\ إلى 0\) \(\(V\propto 1/R\).
