BeeTheory – Grondslagen – Technische noot XIII

Invoergegevens en de drie testcorpora

De methodologie van Nota XII transformeert vijf waarnemingsinputs in een complete set geometrische parameters per melkwegstelsel, klaar voor de golfveldconvolutie. Deze noot presenteert deze parameters expliciet voor de drie testcorpora die gebruikt zullen worden om het model te evalueren: alleen de Melkweg, de kalibratieset van 22 sterrenstelsels en de blinde steekproef van 94 sterrenstelsels. Elke stap breidt de test uit met een orde van grootte in het aantal melkwegstelsels.

1. Het protocol in drie stappen

Drie corpora, drie rollen

Stap 1 – Melkweg (1 sterrenstelsel). Referentiepunt. Stelt de globale golfveldkoppeling $\lambda$ vast uit interne stellaire onderzoeken en 21-cm kaarten.

Stap 2 – Kalibratieset (22 sterrenstelsels). De eerste twintig items van de SPARC-catalogus plus drie extreme gevallen (dicht, klassieke spiraal, gasrijk). Het model wordt toegepast met de bevroren $lambda$ van stap 1, waardoor een globale herkalibratie mogelijk is indien nodig.

Stap 3 – Blinde test (94 sterrenstelsels). Alle parameters zijn bevroren vanaf stap 2. Geen verdere aanpassing. De rotatiecurven van de resterende SPARC sterrenstelsels zijn pure voorspellingen.

2. Universele theorieparameters (identiek voor alle drie de corpora)

Vijf getallen, één keer vastgesteld voor alle melkwegstelsels van alle groottes en typen. Ze definiëren de golfkern en de globale koppeling. Ze variëren niet tussen de drie stappen.

Parameter	Symbool	Waarde	Rol
Golfmassa-amplitude	$K_0$	$0.3759$	Stelt de dimensieloze schaal van de golfkern in
3D coherentie ratio	$c_text{sph}$	$0.41$	$ell_b / r_b$ voor de uitstulping
2D coherentieverhouding	$c_text{disk}$	$3.17$	Schijf / R_text{schaal}$ voor schijven en gasringen
Spiraalcoherentieverhouding	$c_text{arm}$	$2.0$	$\ell_text{arm} / R_d$ voor spiraalarmen
Verhouding tussen stellaire massa en licht	$Upsilon_ster	$0.5\,M_\odot/L_\odot$	Spitzer 3,6 µm (McGaugh 2014)

3. Stap 1 – De Melkweg

3.1 Waarnemingsinput

Hoeveelheid	Waarde	Bron
Hubble-type $T$	4 (Sbc)	de Vaucouleurs et al. 1991
Schijflengte $R_d$	$2.6$ kpc	Bovy & Rix 2013
Totale stellaire massa $M_star$	$4,0 maal 10^{10},M_odot$.	Fotometrische onderzoeken (Bland-Hawthorn & Gerhard 2016)
Totale gasmassa $M_text{gas}$ (HI + He)	$1,06 maal 10^{10},M_odot$.	21-cm kaarten
Waargenomen vlakke snelheid $V_f$	ong. 230$ km/s bij $R_odot$	Gaia DR3 (Ou et al. 2024)

3.2 Afgeleide geometrische parameters per component

Component	Massa ($10^{10},M_odot$)	Ruimtelijke schaal	coherentielengte $	Profiel
Uitstulping ($T \leq 4$ → geactiveerd)	1.240	$r_b$ = 0,61 kpc	$\ell_b$ = 0,25 kpc	3D Hernquist
Dunne schijf	2.070	$R_d$ = 2,60 kpc	$ell_text{thin}$ = 8,24 kpc	2D exponentieel
Dikke schijf	0.690	$1,5,R_d$ = 3,90 kpc	$ell_text{thick}$ = 12,36 kpc	2D exponentieel
Gasring	1.060	$R_g$ = 4,42 kpc	$ell_text{gas}$ = 14,01 kpc	2D exp. met gat
Spiraalarmen	0.2070	$R_d$ = 2,60 kpc	$\ell_text{arm}$ = 5,20 kpc	2D azimutraal

Opmerking over de input van de Melkweg: de Melkweg gebruikt directe observationele decomposities (Bland-Hawthorn & Gerhard 2016) in plaats van de fotometrische formule $M_star = 2pi R_d^2,Sigma_d,Upsilon_star$ die gebruikt wordt voor SPARC-stelsels. Dit komt doordat de Melkweg van binnenuit wordt geobserveerd, en de massacomponenten worden gemeten door stellaire onderzoeken, microlensing en dynamica te combineren in plaats van door een enkele geïntegreerde helderheid. De ontbinding in componenten en de golfveldvergelijkingen zijn verder identiek.

4. Stap 2 – Tweeëntwintig kalibratiesterrenstelsels

De eerste twintig items van de SPARC-catalogus (Lelli et al. 2016), aangevuld met drie extreme gevallen die de grenzen van het model testen: NGC 2841 (massief dicht vroeg-type), NGC 3198 (klassieke spiraal met groot ontwerp), DDO 154 (gasgedomineerde dwerg).

Voor elk sterrenstelsel worden de vijf waarnemingsingangen $(T, R_d, \Sigma_d, M_text{HI}, V_f)$ uit SPARC gehaald. Hieruit worden de massa’s en coherentielengtes van de vijf componenten berekend met de formules van Aantekening XII. In de tabel hieronder staan alle afgeleide grootheden.

Galaxy	Type	$R_d$ (kpc)	$Sigma_d$ ($L_\odot/$pc$^2$)	$M_tekst{gas}$ $(10^{10})$	$M_star$ $(10^{10})$	$f_text{gas}$	$M_b$ $(10^{10})$	$r_b$ (kpc)	$M_text{thin}$ $(10^{10})$	$M_text{thick}$ $(10^{10})$	$\ell_text{thin}$ (kpc)	$\ell_text{gas}$ (kpc)
CamB	Im	0.47	66	0.002	0.005	0.32	–	–	0.003	0.001	1.49	2.53
D631-7	Im	0.70	115	0.051	0.018	0.74	–	–	0.013	0.004	2.22	3.77
DDO064	Im	0.33	120	0.023	0.004	0.85	–	–	0.003	0.001	1.05	1.78
DDO154	Im (gas)	0.60	45	0.063	0.005	0.92	–	–	0.004	0.001	1.90	3.23
DDO161	Im	1.10	35	0.109	0.013	0.89	–	–	0.010	0.003	3.49	5.93
DDO168	Im	0.69	100	0.028	0.015	0.65	–	–	0.011	0.004	2.19	3.72
DDO170	Im	1.10	25	0.051	0.010	0.84	–	–	0.007	0.002	3.49	5.93
ESO116-G012	Sd	2.10	115	0.160	0.159	0.50	–	–	0.119	0.040	6.66	11.32
ESO444-G084	Im	0.55	60	0.016	0.006	0.74	–	–	0.004	0.001	1.74	2.96
F561-1	Im	2.50	30	0.120	0.059	0.67	–	–	0.044	0.015	7.92	13.47
F563-1	Im	2.70	20	0.160	0.046	0.78	–	–	0.034	0.011	8.56	14.55
F563-V1	Im	1.20	25	0.040	0.011	0.78	–	–	0.008	0.003	3.80	6.47
F563-V2	Im	1.10	30	0.047	0.011	0.80	–	–	0.009	0.003	3.49	5.93
F565-V2	Im	1.00	18	0.027	0.006	0.82	–	–	0.004	0.001	3.17	5.39
F567-2	Im	1.80	15	0.080	0.015	0.84	–	–	0.011	0.004	5.71	9.70
F568-1	Sd	3.20	40	0.239	0.129	0.65	–	–	0.097	0.032	10.14	17.24
F568-3	Sd	3.00	35	0.200	0.099	0.67	–	–	0.074	0.025	9.51	16.17
F568-V1	Im	2.10	20	0.106	0.028	0.79	–	–	0.021	0.007	6.66	11.32
F571-8	Sd	4.50	50	0.293	0.318	0.48	–	–	0.239	0.080	14.27	24.25
F574-1	Sd	3.60	30	0.253	0.122	0.67	–	–	0.092	0.031	11.41	19.40
NGC2841	Sb	3.50	605	1.104	2.328	0.32	0.466	1.75	1.397	0.466	11.09	18.86
NGC3198	Sc	3.14	153	1.144	0.474	0.71	–	–	0.355	0.118	9.95	16.92

Alle 22 melkwegstelsels van de kalibratieset. De massa’s en stralen van de uitstulping worden alleen weergegeven voor $T \leq 4$ (de laatste twee rijen, NGC 2841 en NGC 3198). De coherentielengtes $\ell_text{thick} = 1,5$ en $\ell_text{arm} = (2,0/3,17)$\ell_text{thin} zijn uit de tabel weggelaten om de tabel compact te houden.

Dekking van de parameterruimte

De 22 kalibratiesterrenstelsels beslaan $R_d$ van $0,33$ tot $4,5$ kpc (factor 14), $Sigma_d$ van 15 tot 605 $L_odot/tekst{pc}^2$ (factor 40), en de stellaire massa van $4 keer 10^7$ tot $2,3 keer 10^{10},M_odot$ (factor 500). De Melkweg ($R_d = 2,6$ kpc, $M_star = 4 keer 10^{10}$) bevindt zich aan de bovenkant van het bereik, waardoor het een streng ijkanker is voor de dwergen die de steekproef domineren.

5. Stap 3 – Blinde test op 94 SPARC melkwegstelsels

De blinde testreeks bestaat uit 94 melkwegstelsels uit de SPARC-catalogus, los van de 22 kalibratiemelkwegstelsels. Deze omvatten het hele scala van schijfstelsels – van compacte dwergen tot reuzenspiralen – en zijn nooit gebruikt voor de kalibratie van enige parameter.

Kortheidshalve worden in de onderstaande tabel slechts twaalf representatieve melkwegstelsels getoond. De volledige lijst van 94 staat in Appendix A.

Galaxy	Type	$R_d$ (kpc)	$Sigma_d$	$M_tekst{gas}$ $(10^{10})$	$M_star$ $(10^{10})$	$f_text{gas}$	$M_b$ $(10^{10})$	$r_b$ (kpc)	$M_text{thin}$ $(10^{10})$	$M_text{thick}$ $(10^{10})$	$\ell_text{thin}$ (kpc)	$\ell_text{gas}$ (kpc)
F583-1	Im	1.80	22	0.093	0.022	0.81	–	–	0.017	0.006	5.71	9.70
IC2574	Sm	2.80	18	0.293	0.044	0.87	–	–	0.033	0.011	8.88	15.09
M33	Sc	1.40	190	0.146	0.117	0.56	–	–	0.088	0.029	4.44	7.54
NGC0801	Sc	5.80	190	0.931	2.008	0.32	–	–	1.506	0.502	18.39	31.26
NGC2403	Sc	1.80	186	0.279	0.189	0.60	–	–	0.142	0.047	5.71	9.70
NGC3521	Sbc	2.80	327	1.144	0.805	0.59	0.161	1.40	0.483	0.161	8.88	15.09
NGC5055	Sbc	3.50	250	0.998	0.962	0.51	0.192	1.75	0.577	0.192	11.09	18.86
UGC02885	Sc	8.50	150	2.394	3.405	0.41	–	–	2.554	0.851	26.95	45.81
UGC11455	Sc	5.50	40	1.064	0.380	0.74	–	–	0.285	0.095	17.43	29.64
NGC6503	Sc	2.40	210	0.466	0.380	0.55	–	–	0.285	0.095	7.61	12.93
NGC2915	Im	0.50	160	0.064	0.013	0.84	–	–	0.009	0.003	1.58	2.69
UGC02487	S0	7.50	300	1.596	5.301	0.23	1.060	3.75	3.181	1.060	23.77	40.42

Representatieve subset (12 van 94 blinde sterrenstelsels). De volledige lijst omvat Hubble-typen S0-Im en omvat zowel de meest massieve waargenomen schijfstelsels (UGC 02885, UGC 11455) als ultracompacte dwergen (NGC 6789, UGC 05764).

Testbereik

De 94 blinde sterrenstelsels breiden de parameterruimte uit tot ver buiten de kalibratieset. $R_d$ varieert van $0,30$ tot $8,50$ kpc, oppervlaktedichtheid van $12$ tot $605$ $L_odot/text{pc}^2$, en waargenomen vlakke snelheid van $17$ tot $330$ km/s. Het melkwegkalibratieanker op $R_d = 2,6$ kpc ligt ongeveer in de geometrische mediaan van deze verdeling.

6. De structuur van de drie corpora – vergelijkende samenvatting

Eigendom	Stap 1 – Melkweg	Stap 2 – 22 kalibratiestelsels	Stap 3 – 94 blinde sterrenstelsels
Aantal sterrenstelsels	1	22	94
Rol	Anker	Kalibratie / globale aanpassing van $lambda$	Voorspelling
Bereik $R_d$	2,6 kpc (vast)	$0,33$ – $4,5$ kpc	$0,30$ – $8,5$ kpc
Bereik $Sigma_d$	(directe massa’s)	15 – 605 $L_\odot/{pc}^2$	12 – 605 $L_\odot/{pc}^2$
Bereik $M_star$	$4 maal 10^{10},M_odot$.	$4 \times 10^7$ – $2.3 \times 10^{10}$	$3 \times 10^7$ – $5,3 \times 10^{10}$
Bereik $V_f$	230 km/s	2 – 278 km/s	17 – 330 km/s
Hubble-types	Sbc	S0a, Sb, Sc, Sd, Im	S0, Sa, Sb, Sbc, Sc, Sd, Im, Sm
Uitstulpingen geactiveerd ($T ≤ 4$)	Ja	2 van 22	$sim$30 van 94
Wat is gemonteerd	$lambda$ (globale koppeling)	$lambda$ kan globaal worden aangepast	Niets – volledig blind

7. Wat deze noot vaststelt

Invoer volledig gespecificeerd voor elke berekening

Voor elk van de 117 sterrenstelsels (1 + 22 + 94) zijn de vijf waarnemingsingangen $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, \Upsilon_\star)$ en de resulterende geometrische decompositie vastgesteld voordat de golfveldberekening begint. De golfveldvergelijkingen van Noot XII werken op deze invoer zonder melkwegspecifieke afstemming buiten de universele parameters $(K_0, c_text{sph}, c_text{disk}, c_text{arm}, \lambda)$.

Een getrapte generalisatietest

De drie stappen vormen een natuurlijke cascade van toenemende testzwaarte. Stap 1 stelt vast dat het raamwerk de Melkweg kan beschrijven aan de hand van de waargenomen baryonische inhoud. Stap 2 verifieert dat de kalibratie generaliseert naar een kleine heterogene steekproef, inclusief extreme gevallen. Stap 3 plaatst het raamwerk in een echt voorspellende modus, zonder verdere parameteraanpassingen, op een steekproef die groot genoeg is om de reststatistieken zinvol te laten zijn.

In alle richtingen

Bij elke stap wordt de rotatiecurve berekend vanuit de baryonische input, nooit andersom. De vergelijking met de waarneming is een test, geen ijklus. Het enkelvoudige getal $lambda$ wordt eenmaal vastgesteld voor de Melkweg (Stap 1), eventueel globaal verfijnd voor de 22 kalibratiegalaxieën (Stap 2), en dan bevroren voor de blinde voorspelling voor de 94 resterende galaxieën (Stap 3).

8. Samenvatting

1. Het raamwerk van BeeTheory zal in drie opeenvolgende stappen worden toegepast: 1 sterrenstelsel (Melkweg), dan 22 (kalibratie), dan 94 (blind).

2. Voor elk sterrenstelsel leveren de vijf waarnemingsingangen $(T, R_d, \Sigma_d, M_text{HI}, \Upsilon_\star)$ een vijfcomponenten-decompositie op met expliciete massa’s, schalen en coherentielengtes, eenmalig berekend via de formules van Nota XII.

3. De vijf universele theorieparameters $(K_0, c_text{sph}, c_text{disk}, c_text{arm}, \Upsilon_star)$ gelden identiek voor alle 117 melkwegstelsels. De globale koppeling $lambda$ wordt uiterlijk in stap 2 toegepast en bevroren voor stap 3.

4. De kalibratieset bestrijkt een factor 14 in $R_d$, 40 in $\Sigma_d$, en 500 in $M_star$. De blindset breidt deze bereiken verder uit. Het anker van de Melkweg valt binnen beide.

5. Elke stap is een veralgemeningstest van het model. De blinde stap is puur voorspellend: er komt in geen enkel stadium informatie over de rotatiecurves van de 94 sterrenstelsels in de berekening terecht.

Referenties. Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. – SPARC: Mass Models for 175 Disk Galaxies with Spitzer Photometry and Accurate Rotation Curves, AJ 152, 157 (2016). Catalogusbron. – Bland-Hawthorn, J., Gerhard, O. – The Galaxy in Context, ARA&A 54, 529 (2016). Structurele parameters van de Melkweg. – Bovy, J., Rix, H.-W. – Een directe dynamische meting van het dichtheidsprofiel van het schijfoppervlak van de Melkweg, ApJ 779, 115 (2013). – McGaugh, S. S. – De derde wet van galactische rotatie, Galaxies 2, 601 (2014). $Upsilon_ster$ bij 3,6 µm. – Ou, X. et al. – Het donkere materieprofiel van de Melkweg, MNRAS 528, 693 (2024). Gaia 2024 rotatiecurve. – Dutertre, X. – Bee Theory™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023).