1.一个图表中的计算
单向链
观测光度 $\;\longrightarrow\;$ 重子分解 $(\rho_\text{bar})$
$ （大下箭头
波场卷积 $\;\longrightarrow\;$ 波密度 $(\rho_\text{wave})$
$ （大/下箭头
质量积分 $;（长右箭头）;$ 封闭波质量 $(M_text{wave})$
$big\downarrow$
牛顿关系 $;（长右箭头）;$ 预测旋转曲线 $(V_c)$
没有倒置步骤。旋转曲线 $V_c(R)$ 从不用作输入。
2.观察投入
对于每个星系，计算需要五个已公布的观测数据。这些是唯一与星系相关的数据，其他数据都是根据它们计算出来的。在这一阶段，不对旋转曲线进行拟合。
| 符号 | 数量 | 资料来源 |
|---|---|---|
| $T$ | 哈勃形态类型 | 目录（de Vaucouleurs 等人，1991 年，SPARC） |
| $R_d$ | 恒星盘尺度长度（kpc） | 斯皮策 3.6 µm 光度计 (SPARC) |
| $\Sigma_d$ | 中心圆盘表面亮度 ($L_\odot/\text{pc}^2$) | 斯皮策 3.6 µm 光度计 (SPARC) |
| $M_\text{HI}$ | 原子氢总质量 ($M_odot$) | 21 厘米无线电观测（SPARC） |
| $Upsilon_\star$ | 3.6 µm 处的恒星质量光比 | 固定普及率：0.5\,M_\odot/L_\odot$ (McGaugh 2014) |
对于银河系，$R_d$、$Sigma_d$和$M_text{HI}$由内部恒星观测（Bovy & Rix 2013）和21厘米地图确定的类似值代替。使用相同的五量输入向量。
3.重子分解–五个几何成分
根据五个观测输入，重子质量被划分为五个不同的几何分量。每个分量都有自己的密度曲线和特征尺度。
3.1 恒星和气体总质量
$$M_star \;=\; 2\pi\,R_d^2\,\Sigma_d\,\Upsilon_\star$$
$$M_text{gas}\1.33 ， M_text{HI}\qquad \text{（He correction; Arnett 1996）}$$
3.2 分量和比例
| 组件 | 质量 | 规模 | 激活 |
|---|---|---|---|
| 凸起 | $M_b = 0.20\,M_\star$ | $r_b = \max(0.5\,R_d,\,0.3\text{ kpc})$ | 如果 $T \leq 4$ |
| 薄磁盘 | $M_\text{thin} = 0.75\,(M_\star – M_b)$ | $R_d$ | 始终如一 |
| 厚圆盘 | $M_\text{thick} = 0.25\,(M_\star – M_b)$ | 1.5 美元 | 始终如一 |
| 气环 | $M_\text{gas} = 1.33\,M_\text{HI}$ | $R_g = 1.7\,R_d$ (Broeils & Rhee 1997) | 始终如一 |
| 螺旋臂 | $M_\text{arm} = 0.10\,M_\text{thin}$ (有效) | R_d$（跟随薄磁盘） | 始终如一 |
3.3 密度曲线
隆起（3D 赫恩奎斯特）
$$\rho_b(r) \;=\; \frac{M_b\,r_b}{2\pi\,r\,(r + r_b)^3}$$
薄恒星盘和厚恒星盘（2D 指数）
$$\Sigma_\text{thin}(R) \;=\; \frac{M_\text{thin}}{2\pi\,R_d^2}\,e^{-R/R_d}$$
$$\Sigma_\text{thick}(R) \;=\; \frac{M_\text{thick}}{2\pi\,(1.5\,R_d)^2}\,e^{-R/(1.5R_d)}$$
气环（带中心孔的 2D 指数）
$$\Sigma_\text{gas}(R) \;=\; \frac{M_\text{gas}}{2\pi\,R_g^2}\,\exp\!\left(-\frac{R_\text{hole}}{R} -\frac{R}{R_g}\right), \quad R_\text{hole} = 0.5\,R_g$$
螺旋臂过度（二维，跟随薄圆盘）
$$\Sigma_\text{arm}(R) \;=\; 0.10\;\Sigma_\text{thin}(R)$$$
4.波核
每个重子质量元素都会产生一个蜂论波场。位于 $vec{r},’$ 的源元素产生的 $vec{r}$ 点的场，被 $D = |vec{r} – vec{r},’|$ 分隔开来，受从注释 I 的正则化波函数导出的尤卡瓦型核的支配：
蜂论波核
$$\mathcal{K}_i(D) =\; K_0\,\frac{(1 + \alpha_i\,D)\,e^{\-alpha_i\,D}}{D^2}, \qquad \alpha_i \;=\; \frac{1}{\ell_i}$$
这里的 $K_0$ 是通用波质量振幅（一个无量纲数），$\ell_i$ 是分量 $i$ 的相干长度。该内核在短距离内具有准牛顿1/D^2$的特性，在超过$\ell_i$的尺度上受指数截止的调制。(1 + \alpha D)\,e^{-\alpha D}$的形式确保了连续性和无穷大时有限的总封闭质量。
4.1 分量相干长度
每个分量的相干长度由其自然几何尺度设定，并乘以与其尺寸相关的无量纲常数：
| 组件 | 相干长度 | 几何常数 |
|---|---|---|
| 凸起（三维球体） | $\ell_b = c_text{sph}\,r_b$ | $c_\text{sph}$ |
| 薄盘（2D） | $ell_text{thin} = c_text{disk}\,R_d$ | $c_\text{disk}$ |
| 厚圆盘（2D） | $ell_text{thick} = c_text{disk}\,(1.5\,R_d)$ | $c_\text{disk}$ |
| 气环 (2D) | $ell_text{gas} = c_text{disk}\,R_g$ | $c_\text{disk}$ |
| 螺旋臂（二维，方位角集中） | $ell_\text{arm} = c_\text{arm}\,R_d$ | $c_\text{arm}$ |
三个几何常数$(c_\text{sph},\,c_\text{disk},\,c_\text{arm})$是通用的–它们不会因星系而异。它们与全局波质量振幅 $K_0$ 和波场耦合 $\lambda$ 一起，构成了理论级参数的完整集合。
5.波场卷积–每个分量的积分方程
位置 $\vec{r}$ 上的波场密度是重子源分布与波核的卷积。对于银河对称系统（轴对称、单极近似），每个重子分量的贡献都是相加的：
半径 $r$ 处的总波场密度
\rho_\text{wave}(r) \;=\; \lambda \;\sum_{i \in \{text{薄, 厚, 气体, 臂, 隆起}/}}}。\rho_\text{wave}^{(i)}(r)$$
下面写出了五个积分，每个分量一个。每个积分将重子质量分布转换为同一空间点的波场质量分布。
5.1 凸起–三维壳体集成
$$\rho_\text{wave}^{(b)}(r) \;=\; \int_0^{r_text\{max}}\rho_b(r’)\\mathcal{K}_b\!\left(\sqrt{r^2 + r’^2}\right)\;4\pi r’^2\,dr’$$
对半径为 $r’$ 的同心球壳进行积分。在单极近似中，位于中心半径 $r$ 处的场点看到每个球壳的有效间隔为 $D = \sqrt{r^2 + r’^2}$。积分一直延伸到 $r_\text{max} = 6\,r_b$ ，超过这个范围，凸起密度在数值上就可以忽略不计了。
5.2 薄圆盘–二维环整合
$$\rho_\text{wave}^{(\text{thin})}(r) \;=\; \int_0^{R_\text{max}}\mathcal{K}_text{thin}（left(sqrt{r^2 + R’^2}（right））\;2（pi R’\,dR’$$）。
圆盘被分解成半径为$R’$、宽度为$dR’$的同心圆环，每个圆环的表面质量为$\Sigma_text{thin}(R’)\,2\pi R’\,dR’$。同样的单极近似也适用：中心半径 $r$ 处的波场接收来自有效间隔 $D = \sqrt{r^2 + R’^2}$ 的每个环的贡献。积分范围为 $R_\text{max} = 8\,R_d$ 。
5.3 厚圆盘–二维环整合
$$\rho_\text{wave}^{(\text{thick})}(r) \;=\; \int_0^{R_\text{max}}\mathcal{K}_text{thick}（left(sqrt{r^2 + R’^2}（right））\;2pi R’\,dR’$$
与薄盘积分相同，源密度为$\Sigma_text\{thick}(R’)$，核参数为$\alpha_text{thick}=1/(c_\text{disk}\,\cdot 1.5\,R_d)$。厚圆盘的径向范围较宽，因此波相干范围略大。
5.4 气环–带中心损耗的二维气环集成
$$\rho_\text{wave}^{(\text{gas})}(r) \;=\; \int_{R_\text{hole}}^{R_\text{max}}\Sigma_\text{gas}(R’)\;\mathcal{K}_\text{gas}\!\left(\sqrt{r^2 + R’^2}\right)\;2\pi R’\,dR’$$
气体分布有一个中心空洞，在积分下限的$R_\text{hole} = 0.5\,R_g$ 处被径向截断捕获。在这个截断点之外，气体比恒星盘延伸得更远；这反映在更大的特征尺度 $R_g = 1.7\,R_d$ 上，而这个尺度又被纳入相干长度 $\ell_\text{gas} = c_\text{disk}\,R_g$。
5.5 螺旋臂过度 – 振幅减小的二维环形集成
$$\rho_\text{wave}^{(\text{arm})}(r) \;=\; \int_0^{R_\text{max}}\Sigma_\text{arm}(R’)\;\mathcal{K}_\text{arm}\!\left(\sqrt{r^2 + R’^2}\right)\;2\pi R’\,dR’$$
旋臂被视为薄盘表面密度在 $10\%$ 水平上的轴向平均增强，其自身的相干长度为 $\ell_\text{arm} = c_\text{arm}\,R_d$。因此，核比薄盘核更窄，反映了螺旋结构的方位集中。
6.封闭波质量和预测旋转曲线
一旦知道了总波场密度 $\rho_\text{wave}(r)$ ，就可以通过径向积分得到半径为 $R$ 的球体内的封闭波场质量：
封闭波场质量
$$M_text{wave}(R) =\; \int_0^{R} 4\pi\,r^2\,\rho_\text{wave}(r)\,dr$$
然后，根据牛顿关系，结合重子和波场的正交贡献，得出半径为 $R$ 的预测圆周速度：
预测圆周速度
$$V_c^2(R) \;=\; V_text{bar}^2(R) \;+\; \frac{G\,M_\text{wave}(R)}{R}$$
重子速度 $V_\text{bar}(R)$本身就是四个类圆盘成分（弗里曼 1970 年公式中的每个指数剖面）和隆起（赫恩奎斯特封闭质量公式）贡献的二次和：
$$V_text{bar}^2(R) = V_text{bulge}^2 + V_text{thin}^2 + V_text{thick}^2 + V_text{gas}^2$$
其中，每个 $V_i(R)$ 是相应质量分布的标准牛顿圆周速度。
7.理论层面的参数
应用于星系的完整蜜蜂理论框架在理论层面上包含五个参数。这些参数是通用的：它们不会因星系而异。
| 符号 | 意义 | 角色 |
|---|---|---|
| $K_0$ | 波质振幅 | 设置波核的无量纲刻度 |
| $c_\text{sph}$ | 三维几何常数 | 球面源（隆起）的 $\ell/r_text{scale}$ 比率 |
| $c_\text{disk}$ | 二维几何常数 | 盘源和环源的比率 $\ell/R_text\{scale}$ |
| $c_\text{arm}$ | 螺旋几何常数 | 方位集中臂过量的比率 $\ell/R_d$ |
| $\lambda$ | 全局波场耦合 | 缩放总波场密度 |
参数的普遍性
所有五个参数都是全球性的。同样的数值适用于银河系、矮不规则星系和大质量螺旋星系。星系特有的信息只通过五个观测输入$(T,\,R_d,\,\Sigma_d,\,M_text{HI},\,\Upsilon_\star)$进入。该模型不包含任何每个星系的可调参数。
8.计算的单向性
开放链–无反馈
整个计算从输入到输出，单向流动。测光和 21 厘米观测数据决定重子分解。重子分解决定了波场密度。波场密度决定了封闭波质量。封闭波质量决定了预测的旋转曲线。在任何时候，旋转曲线都不会影响计算的任何早期步骤。
这种单向性产生了三个重要后果。
(a)一旦五个理论参数固定下来，旋转曲线就是严格的预测，而不是拟合。与观测到的自转曲线进行比较是一种测试，而不是校准。
(b)模型没有逐个星系调整的机制。对旋转曲线预测的每一次修改都必须来自对输入向量 $(T,\,R_d,\,Sigma_d,\,M_\text{HI},\,Upsilon_\star)$ 的修改，或者来自对通用理论级参数 $(K_0,\,c_\text{sph},\,c_\text{disk},\,c_\text{arm},\,\lambda)$ 的修改。
(c)在一个参照星系上校准$lambda$，并不等于把它拟合到该星系的旋转曲线上。校准确定的是一个单一的全局数字；参照星系所有其他半径上的旋转曲线，以及所有其他星系的旋转曲线，都是校准框架的严格预测。
9.中心表面密度的作用（修订说明 XI）
注释 XI 的诊断发现，残差预测误差与重子中心表面密度 $\Sigma_d$ 高度相关，与磁盘尺度长度 $R_d$ 无关。上面介绍的形式化是模型在纳入这一发现之前的版本–它在相干长度表达式 $\ell_i = c_i\,R_d$ 中只使用了 $R_d$。
细化将进入何处
在改进后的模型中，相干长度 $\ell_i$ 将同时取决于 $R_d$ 和 $\Sigma_d$，用函数 $\ell_i = c_i\,R_d$来取代严格的线性关系 $\ell_i=c_i\,R_d\,\phi(\Sigma_d/\Sigma_text{ref})$，以吸收注释 XI 中确定的残差。$\phi$的函数形式及其参数将在后续注释中确定，首先在22个星系校准集上确定，然后通过对剩余SPARC样本的盲预测进行验证。
这种改进保留了计算的单向结构：$\Sigma_d$ 是观测输入，修改后的相干长度输入相同的卷积积分，旋转曲线如之前一样出现。只增加了一个操作环节–$\ell_i$对第二个观测值的依赖。
10.方法概要
1.输入。每个星系的五个观测值：哈勃类型 $T$，盘面尺度 $R_d$，表面亮度 $\Sigma_d$，HI 质量 $M_\text{HI}$，以及通用恒星质量光比 $\Upsilon_\star$。
2.重子分解。五个组成部分：隆起（如果 $T \leq 4$）、薄盘、厚盘、气体环、旋臂过度。每个部分都有一个分析密度曲线。
3.波核通用育川型形式 $\mathcal{K}_i(D) = K_0\,(1 + \alpha_i D)\,e^{-\alpha_i D}/D^2$，相干长度 $\ell_i = c_i\,R_\text{scale}$ 由每个分量的几何范围决定。
4.卷积。每个分量通过对环（二维分量）或壳（三维凸起）的一维积分产生波场密度。总波场密度是五个分量的总和，按全局耦合$\lambda$缩放。
5.输出。封闭的波质量 $M_\text{wave}(R)$ 与重子速度 $V_\text{bar}(R)$ 相结合，得出预测的旋转曲线 $V_c(R)$。
6.理论层面的参数。$(K_0,\,c_text{sph},\,c_text{disk},\,c_text{arm},\,lambda)$–通用的，没有针对每个星系的调整。正在研究的改进将增加对 $\Sigma_d$ 的依赖。
7.方向输入 → 重子 → 波场 → 旋转曲线。无反馈。旋转曲线是一种预测，而不是拟合。
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BeeTheory.com – 波基量子引力 – 银河方法论 – © Technoplane S.A.S. 2026