BeeTheory – Fundamentos – Nota técnica XIII

Datos de entrada y los tres corpus de prueba

La metodología de la nota XII transforma cinco entradas observacionales en un conjunto completo de parámetros geométricos por galaxia, listo para la convolución del campo de ondas. Esta nota presenta esos parámetros explícitamente para los tres corpus de prueba que se utilizarán para evaluar el modelo: la Vía Láctea sola, el conjunto de calibración de 22 galaxias y la muestra ciega de 94 galaxias. Cada paso amplía la prueba en un orden de magnitud en el número de galaxias.

1. El protocolo de tres pasos

Tres corpus, tres papeles

Paso 1 – Vía Láctea (1 galaxia). Punto de referencia. Fija el acoplamiento global del campo de ondas $\lambda$ a partir de sondeos estelares internos y mapas de 21 cm.

Paso 2 – Conjunto de calibración (22 galaxias). Las veinte primeras entradas del catálogo SPARC más tres casos extremos (densa, espiral clásica, rica en gas). El modelo se aplica con $\lambda$ congelado desde el paso 1, lo que permite una recalibración global en caso necesario.

Paso 3 – Prueba ciega (94 galaxias). Todos los parámetros están congelados desde el Paso 2. No se realizan más ajustes. Las curvas de rotación de las galaxias SPARC restantes son puras predicciones.

2. Parámetros teóricos universales (idénticos para los tres corpus)

Cinco números, fijados una vez para todas las galaxias de todos los tamaños y tipos. Definen el núcleo de onda y el acoplamiento global. No variarán a lo largo de los tres pasos.

Parámetro	Símbolo	Valor	Papel
Amplitud de la masa de onda	$K_0$	$0.3759$	Establece la escala adimensional del núcleo de onda
Coeficiente de coherencia 3D	$c_\text{sph}$	$0.41$	$\ell_b / r_b$ para la protuberancia
Coeficiente de coherencia 2D	$c_\text{disco}$	$3.17$	$\ell / R_\text{scale}$ para discos y anillo de gas
Coeficiente de coherencia espiral	$c_\text{arm}$	$2.0$	$\ell_\text{arm} / R_d$ para los brazos en espiral
Relación masa-luz estelar	$\Upsilon_\star$	$0.5\,M_\odot/L_\odot$	Spitzer 3,6 µm (McGaugh 2014)

3. Paso 1 – La Vía Láctea

3.1 Entradas de observación

Cantidad	Valor	Fuente
Hubble tipo $T$	4 (Sbc)	de Vaucouleurs et al. 1991
Longitud de la escala del disco $R_d$	2,6$ kpc	Bovy y Rix 2013
Masa estelar total $M_\star$	$4.0 \times 10^{10}\$ M_\\odot$	Encuestas fotométricas (Bland-Hawthorn & Gerhard 2016)
Masa total de gas $M_\text{gas}$ (HI + He)	$1.06 \times 10^{10}\,M_\\odot$	Mapas de 21 cm
Velocidad plana observada $V_f$	$\aprox 230$ km/s a $R_\odot$	Gaia DR3 (Ou et al. 2024)

3.2 Parámetros geométricos derivados por componente

Componente	Masa ($10^{10}\,M_\odot$)	Escala espacial	Longitud de coherencia $\ell$	Perfil
Bulto ($T \leq 4$ → activado)	1.240	$r_b$ = 0,61 kpc	$\ell_b$ = 0,25 kpc	Hernquist 3D
Disco fino	2.070	$R_d$ = 2,60 kpc	$\ell_\text{thin}$ = 8,24 kpc	Exponencial 2D
Disco grueso	0.690	1,5\$,R_d$ = 3,90 kpc	$\ell_\text{thick}$ = 12,36 kpc	Exponencial 2D
Anillo de gas	1.060	$R_g$ = 4,42 kpc	$\ell_\text{gas}$ = 14,01 kpc	2D exp. con agujero
Brazos en espiral	0.2070	$R_d$ = 2,60 kpc	$\ell_\text{arm}$ = 5,20 kpc	2D azimutal

Nota sobre las entradas de la Vía Láctea: la Vía Láctea utiliza descomposiciones observacionales directas (Bland-Hawthorn & Gerhard 2016) en lugar de la fórmula fotométrica $M_estrella = 2pi R_d^2,Sigma_d,Upsilon_estrella$ utilizada para las galaxias SPARC. Esto se debe a que la Vía Láctea se observa desde dentro, y sus componentes de masa se miden combinando sondeos estelares, microlentes y dinámica en lugar de mediante una única luminosidad integrada. Por lo demás, la descomposición en componentes y las ecuaciones del campo de ondas son idénticas.

4. Paso 2 – Veintidós galaxias de calibración

Las veinte primeras entradas del catálogo SPARC (Lelli et al. 2016), aumentadas con tres casos extremos que ponen a prueba los límites del modelo: NGC 2841 (masiva densa de tipo temprano), NGC 3198 (espiral clásica de gran diseño), DDO 154 (enana dominada por el gas).

Para cada galaxia, las cinco entradas observacionales $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, V_f)$ se toman del SPARC. A partir de ellas, se calculan las masas y las longitudes de coherencia de los cinco componentes utilizando las fórmulas de la nota XII. La tabla siguiente enumera todas las cantidades derivadas.

Galaxia	Tipo	$R_d$ (kpc)	$\Sigma_d$ ($L_\odot/$pc$^2$)	$M_\texto{gas}$ $(10^{10})$	$M_\star$ $(10^{10})$	$f_\text{gas}$	$M_b$ $(10^{10})$	$r_b$ (kpc)	$M_\texto{delgado}$ $(10^{10})$	$M_\texto{grueso}$ $(10^{10})$	$\ell_\text{thin}$ (kpc)	$\ell_\text{gas}$ (kpc)
CamB	Im	0.47	66	0.002	0.005	0.32	–	–	0.003	0.001	1.49	2.53
D631-7	Im	0.70	115	0.051	0.018	0.74	–	–	0.013	0.004	2.22	3.77
DDO064	Im	0.33	120	0.023	0.004	0.85	–	–	0.003	0.001	1.05	1.78
DDO154	Im (gas)	0.60	45	0.063	0.005	0.92	–	–	0.004	0.001	1.90	3.23
DDO161	Im	1.10	35	0.109	0.013	0.89	–	–	0.010	0.003	3.49	5.93
DDO168	Im	0.69	100	0.028	0.015	0.65	–	–	0.011	0.004	2.19	3.72
DDO170	Im	1.10	25	0.051	0.010	0.84	–	–	0.007	0.002	3.49	5.93
ESO116-G012	Sd	2.10	115	0.160	0.159	0.50	–	–	0.119	0.040	6.66	11.32
ESO444-G084	Im	0.55	60	0.016	0.006	0.74	–	–	0.004	0.001	1.74	2.96
F561-1	Im	2.50	30	0.120	0.059	0.67	–	–	0.044	0.015	7.92	13.47
F563-1	Im	2.70	20	0.160	0.046	0.78	–	–	0.034	0.011	8.56	14.55
F563-V1	Im	1.20	25	0.040	0.011	0.78	–	–	0.008	0.003	3.80	6.47
F563-V2	Im	1.10	30	0.047	0.011	0.80	–	–	0.009	0.003	3.49	5.93
F565-V2	Im	1.00	18	0.027	0.006	0.82	–	–	0.004	0.001	3.17	5.39
F567-2	Im	1.80	15	0.080	0.015	0.84	–	–	0.011	0.004	5.71	9.70
F568-1	Sd	3.20	40	0.239	0.129	0.65	–	–	0.097	0.032	10.14	17.24
F568-3	Sd	3.00	35	0.200	0.099	0.67	–	–	0.074	0.025	9.51	16.17
F568-V1	Im	2.10	20	0.106	0.028	0.79	–	–	0.021	0.007	6.66	11.32
F571-8	Sd	4.50	50	0.293	0.318	0.48	–	–	0.239	0.080	14.27	24.25
F574-1	Sd	3.60	30	0.253	0.122	0.67	–	–	0.092	0.031	11.41	19.40
NGC2841	Sb	3.50	605	1.104	2.328	0.32	0.466	1.75	1.397	0.466	11.09	18.86
NGC3198	Sc	3.14	153	1.144	0.474	0.71	–	–	0.355	0.118	9.95	16.92

Las 22 galaxias del conjunto de calibración. Las masas y los radios de la protuberancia sólo aparecen para $T \leq 4$ (las dos últimas filas, NGC 2841 y NGC 3198). Las longitudes de coherencia $\ell_\text{grueso} = 1,5\ell_\text{delgado}$ y $\ell_\text{brazo} = (2,0/3,17)\ell_\text{delgado}$ se omiten en la tabla para mantenerla compacta.

Cobertura del espacio de parámetros

Las 22 galaxias de calibración abarcan $R_d$ de 0,33$ a 4,5$ kpc (factor 14), $Sigma_d$ de 15 a 605 $L_odot/text{pc}^2$ (factor 40), y la masa estelar de 4 veces 10^7$ a 2,3 veces 10^{10},M_odot$ (factor 500). La Vía Láctea ($R_d = 2,6$ kpc, $M_estrella = 4 veces 10^{10}$) se sitúa en el extremo masivo superior del rango, lo que la convierte en un estricto ancla de calibración para las enanas que dominan la muestra.

5. Paso 3 – Prueba ciega en 94 galaxias SPARC

El conjunto de prueba ciego está formado por 94 galaxias extraídas del catálogo SPARC, distintas de las 22 galaxias de calibración. Abarcan toda la gama de galaxias de disco -desde enanas compactas hasta espirales gigantes- y nunca se utilizaron en la calibración de ningún parámetro.

En aras de la brevedad, en la siguiente tabla sólo se muestran doce galaxias representativas. La lista completa de 94 figura en el Apéndice A.

Galaxia	Tipo	$R_d$ (kpc)	$\Sigma_d$	$M_\texto{gas}$ $(10^{10})$	$M_\star$ $(10^{10})$	$f_\text{gas}$	$M_b$ $(10^{10})$	$r_b$ (kpc)	$M_\texto{delgado}$ $(10^{10})$	$M_\texto{grueso}$ $(10^{10})$	$\ell_\text{thin}$ (kpc)	$\ell_\text{gas}$ (kpc)
F583-1	Im	1.80	22	0.093	0.022	0.81	–	–	0.017	0.006	5.71	9.70
IC2574	Sm	2.80	18	0.293	0.044	0.87	–	–	0.033	0.011	8.88	15.09
M33	Sc	1.40	190	0.146	0.117	0.56	–	–	0.088	0.029	4.44	7.54
NGC0801	Sc	5.80	190	0.931	2.008	0.32	–	–	1.506	0.502	18.39	31.26
NGC2403	Sc	1.80	186	0.279	0.189	0.60	–	–	0.142	0.047	5.71	9.70
NGC3521	Sbc	2.80	327	1.144	0.805	0.59	0.161	1.40	0.483	0.161	8.88	15.09
NGC5055	Sbc	3.50	250	0.998	0.962	0.51	0.192	1.75	0.577	0.192	11.09	18.86
UGC02885	Sc	8.50	150	2.394	3.405	0.41	–	–	2.554	0.851	26.95	45.81
UGC11455	Sc	5.50	40	1.064	0.380	0.74	–	–	0.285	0.095	17.43	29.64
NGC6503	Sc	2.40	210	0.466	0.380	0.55	–	–	0.285	0.095	7.61	12.93
NGC2915	Im	0.50	160	0.064	0.013	0.84	–	–	0.009	0.003	1.58	2.69
UGC02487	S0	7.50	300	1.596	5.301	0.23	1.060	3.75	3.181	1.060	23.77	40.42

Subconjunto representativo (12 de 94 galaxias ciegas). La lista completa abarca los tipos S0-Im de Hubble e incluye las galaxias de disco más masivas observadas (UGC 02885, UGC 11455), así como enanas ultracompactas (NGC 6789, UGC 05764).

Ámbito de prueba

Las 94 galaxias ciegas amplían el espacio de parámetros mucho más allá del conjunto de calibración. $R_d$ oscila entre 0,30$ y 8,50$ kpc, la densidad superficial entre 12$ y 605$ $L_\odot/\text{pc}^2$, y la velocidad plana observada entre 17$ y 330$ km/s. El ancla de calibración de la Vía Láctea en $R_d = 2,6$ kpc se sitúa aproximadamente en la mediana geométrica de esta distribución.

6. La estructura de los tres corpus – resumen comparativo

Propiedad	Paso 1 – Vía Láctea	Paso 2 – 22 galaxias de calibración	Paso 3 – 94 galaxias ciegas
Número de galaxias	1	22	94
Papel	Ancla	Calibración / ajuste global de $\lambda	Predicción
Rango $R_d	2,6 kpc (fijo)	0,33$ – 4,5$ kpc	0,30 $ – 8,5 $ kpc
Rango $\Sigma_d	(masas directas)	15 – 605 $L_\odot/\text{pc}^2$	12 – 605 $L_\odot/\text{pc}^2$
$M_\star$ rango	$4 \times 10^{10}\$,M_\odot$	4 \times 10^7$ – 2,3 \times 10^{10}$	3 \times 10^7$ – 5,3 \times 10^{10}$
Rango $V_f	230 km/s	2 – 278 km/s	17 – 330 km/s
Tipos de Hubble cubiertos	Sbc	S0a, Sb, Sc, Sd, Im	S0, Sa, Sb, Sbc, Sc, Sd, Im, Sm
Protuberancias activadas ($T \leq 4$)	Sí	2 de 22	$\sim$30 de 94
Qué está equipado	$\lambda$ (acoplamiento global)	$\lambda$ puede reajustarse globalmente	Nada – totalmente ciego

7. Lo que establece esta nota

Entradas totalmente especificadas antes de cualquier cálculo

Para cada una de las 117 galaxias (1 + 22 + 94), las cinco entradas observacionales $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, \Upsilon_\star)$ y la descomposición geométrica resultante se fijan antes de comenzar el cálculo del campo de ondas. Las ecuaciones del campo de ondas de la nota XII operan con estas entradas sin ningún ajuste específico de la galaxia más allá de los parámetros universales $(K_0, c_\text{sph}, c_\text{disk}, c_\text{arm}, \lambda)$.

Una prueba graduada de generalización

Los tres pasos forman una cascada natural de gravedad creciente de la prueba. El paso 1 establece que el marco puede describir la Vía Láctea utilizando su contenido bariónico observado. El paso 2 verifica que la calibración se generaliza a una pequeña muestra heterogénea que incluye casos extremos. El paso 3 coloca el marco en un modo predictivo verdadero, sin más ajustes de los parámetros, en una muestra lo suficientemente grande como para que las estadísticas residuales sean significativas.

Unidireccional en todo

En cada paso, la curva de rotación se calcula a partir de las entradas bariónicas, nunca al revés. La comparación con la observación es una prueba, no un bucle de calibración. El número único $\lambda$ se fija una vez en la Vía Láctea (Paso 1), posiblemente se refina globalmente en las 22 galaxias de calibración (Paso 2), y luego se congela para la predicción ciega en las 94 galaxias restantes (Paso 3).

8. Resumen

1. El marco BeeTheory se aplicará en tres etapas sucesivas: 1 galaxia (Vía Láctea), luego 22 (calibración), luego 94 (a ciegas).

2. Para cada galaxia, las cinco entradas observacionales $(T, R_d, \Sigma_d, M_\text{HI}, \Upsilon_\star)$ producen una descomposición de cinco componentes con masas, escalas y longitudes de coherencia explícitas, calculadas una vez mediante las fórmulas de la Nota XII.

3. Los cinco parámetros universales de la teoría $(K_0, c_\text{sph}, c_\text{disk}, c_\text{arm}, \Upsilon_\star)$ se aplican de forma idéntica a las 117 galaxias. El acoplamiento global $\lambda$ se ajusta como muy tarde en el paso 2 y se congela para el paso 3.

4. El conjunto de calibración cubre un factor de 14 en $R_d$, 40 en $\Sigma_d$ y 500 en $M_\star$. El conjunto ciego amplía aún más estos rangos. El ancla de la Vía Láctea se sitúa dentro de ambos.

5. Cada paso es una prueba de generalización del modelo. El paso ciego es puramente predictivo: ninguna información sobre las curvas de rotación de las 94 galaxias entra en el cálculo en ninguna etapa.

Referencias. Lelli, F., McGaugh, S. S., Schombert, J. M. – SPARC: Modelos de masa para 175 galaxias de disco con fotometría Spitzer y curvas de rotación precisas, AJ 152, 157 (2016). Fuente del catálogo. – Bland-Hawthorn, J., Gerhard, O. – La galaxia en su contexto, ARA&A 54, 529 (2016). Parámetros estructurales de la Vía Láctea. – Bovy, J., Rix, H.-W. – Una medición dinámica directa del perfil de densidad de la superficie del disco de la Vía Láctea, ApJ 779, 115 (2013). – McGaugh, S. S. – La tercera ley de la rotación galáctica, Galaxies 2, 601 (2014). $\Upsilon_\star$ a 3,6 µm. – Ou, X. et al. – El perfil de materia oscura de la Vía Láctea, MNRAS 528, 693 (2024). Curva de rotación de Gaia 2024. – Dutertre, X. – Teoría Bee™: Wave-Based Modeling of Gravity, v2, BeeTheory.com (2023).